Ένα ευρύ φάσμα σχέσεων στο παράδειγμα των συνόλων συνοδεύεται από μεγάλο αριθμό εννοιών, ξεκινώντας από τους ορισμούς τους και τελειώνοντας με μια αναλυτική ανάλυση των παραδόξων. Η ποικιλία της έννοιας που συζητείται στο άρθρο για το σετ είναι άπειρη. Αν και, όταν μιλάμε για διπλούς τύπους, αυτό σημαίνει δυαδικές σχέσεις μεταξύ πολλών τιμών. Και επίσης μεταξύ αντικειμένων ή δηλώσεων.
Κατά κανόνα, οι δυαδικές σχέσεις συμβολίζονται με το σύμβολο R, δηλαδή, εάν xRx για οποιαδήποτε τιμή x από το πεδίο R, μια τέτοια ιδιότητα ονομάζεται ανακλαστική, στην οποία τα x και x είναι αποδεκτά αντικείμενα σκέψης, και το R χρησιμεύει ως σημάδι του αν ή άλλης μορφής σχέσης μεταξύ ατόμων. Ταυτόχρονα, εάν εκφράζετε xRy® ή yRx, τότε αυτό υποδηλώνει μια κατάσταση συμμετρίας, όπου το ® είναι ένα υπονοούμενο σύμβολο παρόμοιο με την ένωση «εάν … τότε …». Και, τέλος, η αποκωδικοποίηση του επιγραφή (xRy Ùy Rz) ®xRz λέει για μεταβατική σχέση και το σύμβολο Ù είναι σύνδεσμος.
Μια δυαδική σχέση που είναι ταυτόχρονα αντανακλαστική, συμμετρική και μεταβατική ονομάζεται σχέση ισοδυναμίας. Η σχέση f είναι συνάρτηση και η ισότητα y=z προκύπτει από Î f και Î f. Μια απλή δυαδική συνάρτηση μπορεί να εφαρμοστεί εύκολασε δύο απλά επιχειρήματα με συγκεκριμένη σειρά, και μόνο σε αυτή την περίπτωση του παρέχει ένα νόημα που απευθύνεται σε αυτές τις δύο εκφράσεις που λαμβάνονται σε μια συγκεκριμένη περίπτωση.
Θα πρέπει να ειπωθεί ότι η f αντιστοιχίζει το x στο y,
αν η f είναι μια συνάρτηση με εύρος x και εύρος y. Ωστόσο, όταν η f προεκτείνει το x σε y και το y Í z, αυτό αναγκάζει το f να δείχνει το x στο z. Ένα απλό παράδειγμα: αν η f(x)=2x ισχύει για οποιονδήποτε ακέραιο x, τότε η f λέγεται ότι αντιστοιχίζει το προσημασμένο σύνολο όλων των γνωστών ακεραίων στο σύνολο των ίδιων ακεραίων, αλλά αυτή τη φορά ζυγών αριθμών. Όπως αναφέρθηκε παραπάνω, οι δυαδικές σχέσεις που είναι και αντανακλαστικές, συμμετρικές και μεταβατικές είναι σχέσεις ισοδυναμίας.
Με βάση τα παραπάνω, οι σχέσεις ισοδυναμίας των δυαδικών σχέσεων καθορίζονται από τις ιδιότητες:
- ανακλαστικότητα - λόγος (M ~ N);
- συμμετρίες - εάν η ισότητα είναι M ~ N, τότε θα υπάρχει N ~ M;
- μεταβατικότητα - εάν δύο ισότητες M ~ N και N ~ P, τότε ως αποτέλεσμα M ~ P.
Ας εξετάσουμε τις δηλωμένες ιδιότητες των δυαδικών σχέσεων με περισσότερες λεπτομέρειες. Η ανακλαστικότητα είναι ένα από τα χαρακτηριστικά ορισμένων συνδέσεων, όπου κάθε στοιχείο του υπό μελέτη συνόλου βρίσκεται σε μια δεδομένη ισότητα με τον εαυτό του. Για παράδειγμα, μεταξύ των αριθμών a=c και a³ c υπάρχουν αντανακλαστικές συνδέσεις, αφού πάντα a=a, c=c, a³ a, c³ c. Ταυτόχρονα, η σχέση της ανισότητας a>c είναι αντιανακλαστική λόγω της αδυναμίας ύπαρξης της ανισότητας a>a. Το αξίωμα αυτής της ιδιότητας κωδικοποιείται από τα σημάδια: aRc®aRa Ù cRc, εδώ το σύμβολο ® σημαίνει τη λέξη "περιλαμβάνει" (ή "εννοεί"), και το σύμβολο Ù - είναι η ένωση "και" (ή σύνδεσμος). Από αυτή τη δήλωση προκύπτει ότι εάν η κρίση aRc είναι αληθής, οι εκφράσεις aRa και cRc είναι επίσης αληθείς.
Η συμμετρία συνεπάγεται την παρουσία μιας σχέσης ακόμη και αν ανταλλάσσονται νοητικά αντικείμενα, δηλαδή με μια συμμετρική σχέση, η αναδιάταξη των αντικειμένων δεν οδηγεί σε μετασχηματισμό του τύπου «δυαδικές σχέσεις». Για παράδειγμα, η σχέση ισότητας a=c είναι συμμετρική λόγω της ισοδυναμίας της σχέσης c=a. η πρόταση a¹c είναι επίσης η ίδια, αφού αντιστοιχεί στη σύνδεση με¹a.
Ένα μεταβατικό σύνολο είναι μια ιδιότητα που ικανοποιεί την ακόλουθη απαίτηση: y н x, z н y ® z н x, όπου ® είναι ένα σύμβολο που αντικαθιστά τις λέξεις: "αν …, τότε …". Ο τύπος διαβάζεται προφορικά ως εξής: "Αν το y εξαρτάται από το x, το z ανήκει στο y, τότε το z εξαρτάται επίσης από το x".
