Το 1900, ένας από τους μεγαλύτερους επιστήμονες του περασμένου αιώνα, ο David Hilbert, συνέταξε μια λίστα με 23 άλυτα προβλήματα στα μαθηματικά. Η εργασία πάνω τους είχε τεράστιο αντίκτυπο στην ανάπτυξη αυτού του τομέα της ανθρώπινης γνώσης. 100 χρόνια αργότερα, το Μαθηματικό Ινστιτούτο Clay παρουσίασε μια λίστα με 7 προβλήματα γνωστά ως Προβλήματα της Χιλιετίας. Σε καθένα από αυτά προσφέρθηκε ένα έπαθλο 1 εκατομμυρίου $.
Το μόνο πρόβλημα που εμφανίστηκε και στις δύο λίστες με παζλ που στοιχειώνουν τους επιστήμονες για περισσότερο από έναν αιώνα ήταν η υπόθεση Riemann. Ακόμη περιμένει την απόφασή της.
Σύντομο βιογραφικό σημείωμα
Ο Georg Friedrich Bernhard Riemann γεννήθηκε το 1826 στο Αννόβερο, σε μια μεγάλη οικογένεια ενός φτωχού πάστορα και έζησε μόνο 39 χρόνια. Κατάφερε να εκδώσει 10 έργα. Ωστόσο, ήδη κατά τη διάρκεια της ζωής του, ο Riemann θεωρούνταν ο διάδοχος του δασκάλου του Johann Gauss. Σε ηλικία 25 ετών, ο νεαρός επιστήμονας υπερασπίστηκε τη διατριβή του «Βασικές αρχές της θεωρίας των συναρτήσεων μιας μιγαδικής μεταβλητής». Αργότερα διατύπωσεη περίφημη υπόθεσή του.
Πρώτοι αριθμοί
Τα μαθηματικά εμφανίστηκαν όταν ο άνθρωπος έμαθε να μετράει. Ταυτόχρονα, προέκυψαν οι πρώτες ιδέες για τους αριθμούς, τις οποίες αργότερα προσπάθησαν να ταξινομήσουν. Ορισμένα από αυτά έχουν παρατηρηθεί ότι έχουν κοινές ιδιότητες. Ειδικότερα, μεταξύ των φυσικών αριθμών, δηλαδή αυτών που χρησιμοποιούνταν για την καταμέτρηση (αρίθμηση) ή τον προσδιορισμό του αριθμού των αντικειμένων, διακρίθηκε μια ομάδα που διαιρούνταν μόνο με ένα και από τους εαυτούς τους. Λέγονται απλά. Μια κομψή απόδειξη του θεωρήματος του απείρου του συνόλου τέτοιων αριθμών δόθηκε από τον Ευκλείδη στα Στοιχεία του. Προς το παρόν η έρευνά τους συνεχίζεται. Συγκεκριμένα, ο μεγαλύτερος αριθμός που είναι ήδη γνωστός είναι 274 207 281 – 1.
φόρμουλα Euler
Μαζί με την έννοια του άπειρου του συνόλου των πρώτων, ο Ευκλείδης προσδιόρισε επίσης το δεύτερο θεώρημα σχετικά με τη μόνη δυνατή αποσύνθεση σε πρώτους παράγοντες. Σύμφωνα με αυτό, οποιοσδήποτε θετικός ακέραιος είναι το γινόμενο μόνο ενός συνόλου πρώτων αριθμών. Το 1737, ο μεγάλος Γερμανός μαθηματικός Leonhard Euler εξέφρασε το πρώτο θεώρημα του απείρου του Ευκλείδη ως τον παρακάτω τύπο.
Ονομάζεται συνάρτηση ζήτα, όπου το s είναι μια σταθερά και το p παίρνει όλες τις πρώτες τιμές. Η δήλωση του Ευκλείδη σχετικά με τη μοναδικότητα της επέκτασης που ακολούθησε άμεσα από αυτήν.
Συνάρτηση Riemann Zeta
Ο τύπος του Euler, μετά από προσεκτικότερη εξέταση, είναι εντελώςεκπληκτικό γιατί ορίζει τη σχέση μεταξύ πρώτων και ακεραίων. Εξάλλου, άπειρες εκφράσεις που εξαρτώνται μόνο από πρώτους αριθμούς πολλαπλασιάζονται στην αριστερή πλευρά του και το άθροισμα που σχετίζεται με όλους τους θετικούς ακέραιους βρίσκεται στα δεξιά.
Ο Riemann πήγε πιο μακριά από τον Euler. Για να βρει το κλειδί στο πρόβλημα της κατανομής των αριθμών, πρότεινε να οριστεί ένας τύπος τόσο για πραγματικές όσο και για μιγαδικές μεταβλητές. Ήταν αυτή που έλαβε στη συνέχεια το όνομα της συνάρτησης ζήτα Riemann. Το 1859, ο επιστήμονας δημοσίευσε ένα άρθρο με τίτλο «Σχετικά με τον αριθμό των πρώτων αριθμών που δεν υπερβαίνουν μια δεδομένη τιμή», όπου συνόψισε όλες τις ιδέες του.
Ο Riemann πρότεινε τη χρήση της σειράς Euler, η οποία συγκλίνει για οποιοδήποτε πραγματικό s>1. Εάν χρησιμοποιείται ο ίδιος τύπος για μιγαδικούς s, τότε η σειρά θα συγκλίνει για οποιαδήποτε τιμή αυτής της μεταβλητής με πραγματικό μέρος μεγαλύτερο από 1. Ο Riemann εφάρμοσε τη διαδικασία αναλυτικής συνέχειας, επεκτείνοντας τον ορισμό του ζήτα σε όλους τους μιγαδικούς αριθμούς, αλλά «πέταξε έξω» τη μονάδα. Αποκλείστηκε επειδή στο s=1 η συνάρτηση ζήτα αυξάνεται στο άπειρο.
Πρακτική έννοια
Ανακύπτει ένα λογικό ερώτημα: γιατί είναι ενδιαφέρουσα και σημαντική η συνάρτηση ζήτα, η οποία είναι βασική στο έργο του Riemann για τη μηδενική υπόθεση; Όπως γνωρίζετε, αυτή τη στιγμή δεν έχει εντοπιστεί κανένα απλό μοτίβο που να περιγράφει την κατανομή των πρώτων αριθμών μεταξύ των φυσικών αριθμών. Ο Riemann μπόρεσε να ανακαλύψει ότι ο αριθμός pi(x) των πρώτων αριθμών που δεν ξεπερνούσε το x εκφράζεται ως προς την κατανομή των μη τετριμμένων μηδενικών της συνάρτησης ζήτα. Επιπλέον, η υπόθεση Riemann είναιαπαραίτητη προϋπόθεση για την απόδειξη εκτιμήσεων χρόνου για τη λειτουργία ορισμένων κρυπτογραφικών αλγορίθμων.
Υπόθεση Riemann
Μία από τις πρώτες διατυπώσεις αυτού του μαθηματικού προβλήματος, που δεν έχει αποδειχθεί μέχρι σήμερα, ακούγεται ως εξής: οι μη τετριμμένες συναρτήσεις 0 ζήτα είναι μιγαδικοί αριθμοί με πραγματικό μέρος ίσο με ½. Με άλλα λόγια, βρίσκονται στη γραμμή Re s=½.
Υπάρχει επίσης μια γενικευμένη υπόθεση Riemann, η οποία είναι η ίδια πρόταση, αλλά για γενικεύσεις των συναρτήσεων ζήτα, που συνήθως ονομάζονται συναρτήσεις Dirichlet L (βλ. φωτογραφία παρακάτω).
Στον τύπο χ(n) - κάποιος αριθμητικός χαρακτήρας (modulo k).
Η δήλωση Riemannian θεωρείται η λεγόμενη μηδενική υπόθεση, καθώς έχει ελεγχθεί ως προς τη συνέπεια με τα υπάρχοντα δείγματα δεδομένων.
Όπως υποστήριξε ο Riemann
Η παρατήρηση του Γερμανού μαθηματικού αρχικά διατυπώθηκε μάλλον επιπόλαια. Το γεγονός είναι ότι εκείνη την εποχή ο επιστήμονας επρόκειτο να αποδείξει το θεώρημα για την κατανομή των πρώτων αριθμών και σε αυτό το πλαίσιο, αυτή η υπόθεση δεν είχε ιδιαίτερη σημασία. Ωστόσο, ο ρόλος του στην επίλυση πολλών άλλων ζητημάτων είναι τεράστιος. Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο η υπόθεση του Riemann αναγνωρίζεται πλέον από πολλούς επιστήμονες ως το πιο σημαντικό από τα μη αποδεδειγμένα μαθηματικά προβλήματα.
Όπως ήδη αναφέρθηκε, η πλήρης υπόθεση Riemann δεν χρειάζεται για να αποδειχθεί το θεώρημα κατανομής, και αρκεί να δικαιολογηθεί λογικά ότι το πραγματικό μέρος οποιουδήποτε μη τετριμμένου μηδενός της συνάρτησης ζήτα βρίσκεται στομεταξύ 0 και 1. Από αυτήν την ιδιότητα προκύπτει ότι το άθροισμα όλων των 0 της συνάρτησης ζήτα που εμφανίζεται στον ακριβή τύπο παραπάνω είναι μια πεπερασμένη σταθερά. Για μεγάλες τιμές του x, μπορεί να χαθεί εντελώς. Το μόνο μέλος του τύπου που παραμένει το ίδιο ακόμη και για πολύ μεγάλο x είναι το ίδιο το x. Οι υπόλοιποι σύνθετοι όροι εξαφανίζονται ασυμπτωτικά σε σύγκριση με αυτό. Άρα το σταθμισμένο άθροισμα τείνει στο x. Αυτή η περίσταση μπορεί να θεωρηθεί επιβεβαίωση της αλήθειας του θεωρήματος για την κατανομή των πρώτων αριθμών. Έτσι, τα μηδενικά της συνάρτησης ζήτα Riemann έχουν ιδιαίτερο ρόλο. Συνίσταται στην απόδειξη ότι τέτοιες τιμές δεν μπορούν να συμβάλουν σημαντικά στον τύπο αποσύνθεσης.
Οπαδοί του Riemann
Ο τραγικός θάνατος από φυματίωση δεν επέτρεψε σε αυτόν τον επιστήμονα να φέρει το πρόγραμμά του στο λογικό του τέλος. Ωστόσο, ο Sh-Zh πήρε τη σκυτάλη από αυτόν. de la Vallée Poussin και Jacques Hadamard. Ανεξάρτητα ο ένας από τον άλλον, συνήγαγαν ένα θεώρημα για την κατανομή των πρώτων αριθμών. Οι Hadamard και Poussin κατάφεραν να αποδείξουν ότι όλες οι μη τετριμμένες συναρτήσεις 0 ζήτα βρίσκονται εντός της κρίσιμης ζώνης.
Χάρη στο έργο αυτών των επιστημόνων, εμφανίστηκε μια νέα κατεύθυνση στα μαθηματικά - η αναλυτική θεωρία των αριθμών. Αργότερα, αρκετές ακόμη πρωτόγονες αποδείξεις του θεωρήματος στο οποίο δούλευε ο Riemann αποκτήθηκαν από άλλους ερευνητές. Συγκεκριμένα, ο Pal Erdős και ο Atle Selberg ανακάλυψαν ακόμη και μια πολύ περίπλοκη λογική αλυσίδα που την επιβεβαίωσε, η οποία δεν απαιτούσε τη χρήση σύνθετης ανάλυσης. Ωστόσο, σε αυτό το σημείο, πολλά σημαντικάθεωρήματα, συμπεριλαμβανομένων των προσεγγίσεων πολλών συναρτήσεων της θεωρίας αριθμών. Από αυτή την άποψη, η νέα δουλειά των Erdős και Atle Selberg ουσιαστικά δεν επηρέασε τίποτα.
Μία από τις πιο απλές και όμορφες αποδείξεις του προβλήματος βρέθηκε το 1980 από τον Ντόναλντ Νιούμαν. Βασίστηκε στο περίφημο θεώρημα Cauchy.
Η υπόθεση του Ρίμαν απειλεί τα θεμέλια της σύγχρονης κρυπτογραφίας
Η κρυπτογράφηση δεδομένων προέκυψε μαζί με την εμφάνιση ιερογλυφικών, πιο συγκεκριμένα, οι ίδιοι μπορούν να θεωρηθούν οι πρώτοι κωδικοί. Αυτή τη στιγμή, υπάρχει ένας ολόκληρος χώρος ψηφιακής κρυπτογραφίας, ο οποίος αναπτύσσει αλγόριθμους κρυπτογράφησης.
Πρώτοι και «ημιπρώτοι» αριθμοί, δηλαδή αυτοί που διαιρούνται μόνο με 2 άλλους αριθμούς από την ίδια κλάση, αποτελούν τη βάση του συστήματος δημόσιου κλειδιού που είναι γνωστό ως RSA. Έχει την ευρύτερη εφαρμογή. Συγκεκριμένα, χρησιμοποιείται κατά τη δημιουργία ηλεκτρονικής υπογραφής. Μιλώντας με όρους προσβάσιμους στα ανδρείκελα, η υπόθεση Riemann βεβαιώνει την ύπαρξη ενός συστήματος στην κατανομή των πρώτων αριθμών. Έτσι, η ισχύς των κρυπτογραφικών κλειδιών, από τα οποία εξαρτάται η ασφάλεια των διαδικτυακών συναλλαγών στον τομέα του ηλεκτρονικού εμπορίου, μειώνεται σημαντικά.
Άλλα άλυτα μαθηματικά προβλήματα
Αξίζει να ολοκληρώσετε το άρθρο αφιερώνοντας λίγα λόγια σε άλλους στόχους της χιλιετίας. Αυτά περιλαμβάνουν:
- Ισότητα κλάσεων P και NP. Το πρόβλημα διατυπώνεται ως εξής: εάν μια θετική απάντηση σε μια συγκεκριμένη ερώτηση ελέγχεται σε πολυωνυμικό χρόνο, τότε είναι αλήθεια ότι η ίδια η απάντηση σε αυτήν την ερώτησημπορεί να βρεθεί γρήγορα;
- Εικασία του Hodge. Με απλά λόγια, μπορεί να διατυπωθεί ως εξής: για ορισμένους τύπους προβολικών αλγεβρικών ποικιλιών (χώρων), οι κύκλοι Hodge είναι συνδυασμοί αντικειμένων που έχουν γεωμετρική ερμηνεία, δηλαδή αλγεβρικούς κύκλους.
- εικασία του Πουανκαρέ. Αυτή είναι η μόνη Πρόκληση της Χιλιετίας που έχει αποδειχθεί μέχρι στιγμής. Σύμφωνα με αυτήν, κάθε τρισδιάστατο αντικείμενο που έχει τις συγκεκριμένες ιδιότητες μιας τρισδιάστατης σφαίρας πρέπει να είναι σφαίρα, μέχρι παραμόρφωσης.
- Επιβεβαίωση της κβαντικής θεωρίας του Yang - Mills. Απαιτείται να αποδειχθεί ότι η κβαντική θεωρία που προτάθηκε από αυτούς τους επιστήμονες για τον χώρο R 4 υπάρχει και έχει ένα ελάττωμα 0ης μάζας για οποιαδήποτε απλή συμπαγή ομάδα μετρητή G.
- Υπόθεση Birch-Swinnerton-Dyer. Αυτό είναι ένα άλλο θέμα που σχετίζεται με την κρυπτογραφία. Αγγίζει ελλειπτικές καμπύλες.
- Το πρόβλημα της ύπαρξης και της ομαλότητας των λύσεων στις εξισώσεις Navier-Stokes.
Τώρα γνωρίζετε την υπόθεση Riemann. Με απλά λόγια, διατυπώσαμε μερικές από τις άλλες Προκλήσεις της Χιλιετίας. Το ότι θα λυθούν ή θα αποδειχθεί ότι δεν έχουν λύση είναι θέμα χρόνου. Επιπλέον, είναι απίθανο αυτό να χρειαστεί να περιμένει πολύ, καθώς τα μαθηματικά χρησιμοποιούν όλο και περισσότερο τις υπολογιστικές δυνατότητες των υπολογιστών. Ωστόσο, δεν υπόκεινται τα πάντα στην τεχνολογία, και πρώτα απ 'όλα, απαιτείται διαίσθηση και δημιουργικότητα για την επίλυση επιστημονικών προβλημάτων.
