Τα άλυτα προβλήματα είναι τα 7 πιο ενδιαφέροντα μαθηματικά προβλήματα. Κάθε ένα από αυτά προτάθηκε κάποια στιγμή από γνωστούς επιστήμονες, κατά κανόνα, με τη μορφή υποθέσεων. Για πολλές δεκαετίες, οι μαθηματικοί σε όλο τον κόσμο ταράζουν το μυαλό τους για τη λύση τους. Όσοι πετύχουν θα ανταμειφθούν με ένα εκατομμύριο δολάρια ΗΠΑ που προσφέρει το Ινστιτούτο Clay.
Backstory
Το 1900, ο μεγάλος Γερμανός μαθηματικός David Hilbert παρουσίασε μια λίστα με 23 προβλήματα.
Η έρευνα που διεξήχθη για την επίλυσή τους είχε τεράστιο αντίκτυπο στην επιστήμη του 20ού αιώνα. Προς το παρόν, τα περισσότερα από αυτά έχουν πάψει να είναι μυστήρια. Μεταξύ των ανεπίλυτων ή μερικώς επιλυμένων ήταν:
- πρόβλημα συνέπειας αριθμητικών αξιωμάτων;
- γενικός νόμος της αμοιβαιότητας στο διάστημα οποιουδήποτε πεδίου αριθμού;
- μαθηματική μελέτη φυσικών αξιωμάτων;
- μελέτη τετραγωνικών μορφών για αυθαίρετα αλγεβρικά αριθμητικάπιθανότητες;
- το πρόβλημα της αυστηρής αιτιολόγησης της υπολογιστικής γεωμετρίας του Fyodor Schubert;
- κλπ.
Ανεξερεύνητα είναι: το πρόβλημα της επέκτασης του γνωστού θεωρήματος Kronecker σε οποιαδήποτε αλγεβρική περιοχή του ορθολογισμού και η υπόθεση Riemann.
The Clay Institute
Αυτό είναι το όνομα ενός ιδιωτικού μη κερδοσκοπικού οργανισμού που εδρεύει στο Κέιμπριτζ της Μασαχουσέτης. Ιδρύθηκε το 1998 από τον μαθηματικό του Χάρβαρντ A. Jeffey και τον επιχειρηματία L. Clay. Στόχος του Ινστιτούτου είναι η εκλαΐκευση και ανάπτυξη της μαθηματικής γνώσης. Για να το πετύχει αυτό, ο οργανισμός απονέμει βραβεία σε επιστήμονες και χορηγούς πολλά υποσχόμενη έρευνα.
Στις αρχές του 21ου αιώνα, το Ινστιτούτο Μαθηματικών Clay πρόσφερε ένα βραβείο σε όσους λύνουν αυτά που είναι γνωστά ως τα πιο δύσκολα άλυτα προβλήματα, ονομάζοντας τη λίστα τους Προβλήματα Βραβείου Χιλιετίας. Μόνο η υπόθεση Riemann συμπεριλήφθηκε στη λίστα Hilbert.
Προκλήσεις χιλιετίας
Η λίστα του Ινστιτούτου Clay αρχικά περιελάμβανε:
- Υπόθεση του κύκλου Hodge;
- κβαντικές εξισώσεις θεωρίας Yang-Mills;
- Υπόθεση Πουανκαρέ;
- το πρόβλημα της ισότητας των κλάσεων P και NP;
- Υπόθεση Riemann;
- Εξισώσεις Navier-Stokes, σχετικά με την ύπαρξη και την ομαλότητα των λύσεών τους,
- Πρόβλημα Birch-Swinnerton-Dyer.
Αυτά τα ανοιχτά μαθηματικά προβλήματα παρουσιάζουν μεγάλο ενδιαφέρον, καθώς μπορούν να έχουν πολλές πρακτικές εφαρμογές.
Τι απέδειξε ο Grigory Perelman
Το 1900, ο διάσημος φιλόσοφος Henri Poincaré πρότεινε ότι κάθε απλά συνδεδεμένη συμπαγής 3 πολλαπλότητα χωρίς σύνορα είναι ομοιομορφική σε μια τρισδιάστατη σφαίρα. Η απόδειξή του στη γενική υπόθεση δεν βρέθηκε για έναν αιώνα. Μόλις το 2002-2003, ο μαθηματικός της Αγίας Πετρούπολης G. Perelman δημοσίευσε μια σειρά από άρθρα με μια λύση στο πρόβλημα Poincaré. Είχαν την επίδραση μιας βόμβας που εκρήγνυται. Το 2010, η υπόθεση του Πουανκαρέ εξαιρέθηκε από τη λίστα με τα «Άλυτα Προβλήματα» του Ινστιτούτου Κλέι και στον ίδιο τον Πέρελμαν προτάθηκε να λάβει σημαντική αμοιβή που του οφείλονταν, την οποία ο τελευταίος αρνήθηκε χωρίς να εξηγήσει τους λόγους της απόφασής του.
Η πιο κατανοητή εξήγηση αυτού που κατάφερε να αποδείξει ο Ρώσος μαθηματικός μπορεί να δοθεί με το να φανταστεί κανείς ότι ένας λαστιχένιος δίσκος τραβιέται σε ένα ντόνατ (τόρος) και μετά προσπαθούν να τραβήξουν τις άκρες του κύκλου του σε ένα σημείο. Προφανώς αυτό δεν είναι δυνατό. Κάτι άλλο, αν κάνετε αυτό το πείραμα με μια μπάλα. Σε αυτή την περίπτωση, μια φαινομενικά τρισδιάστατη σφαίρα, που προκύπτει από έναν δίσκο του οποίου η περιφέρεια τραβήχτηκε σε ένα σημείο από ένα υποθετικό κορδόνι, θα ήταν τρισδιάστατη για την κατανόηση ενός συνηθισμένου ανθρώπου, αλλά δισδιάστατη από την άποψη των μαθηματικών.
Ο Poincare πρότεινε ότι μια τρισδιάστατη σφαίρα είναι το μόνο τρισδιάστατο «αντικείμενο» του οποίου η επιφάνεια μπορεί να συστέλλεται σε ένα σημείο, και ο Perelman κατάφερε να το αποδείξει. Έτσι, η λίστα με τα «άλυτα προβλήματα» σήμερα αποτελείται από 6 προβλήματα.
θεωρία Yang-Mills
Αυτό το μαθηματικό πρόβλημα προτάθηκε από τους συγγραφείς του το 1954. Η επιστημονική διατύπωση της θεωρίας έχει ως εξής:για οποιαδήποτε απλή συμπαγή ομάδα μετρητών, η κβαντική χωρική θεωρία που δημιουργήθηκε από τους Yang και Mills υπάρχει και ταυτόχρονα έχει ελάττωμα μηδενικής μάζας.
Μιλώντας σε μια γλώσσα κατανοητή από έναν απλό άνθρωπο, οι αλληλεπιδράσεις μεταξύ φυσικών αντικειμένων (σωματίδια, σώματα, κύματα κ.λπ.) χωρίζονται σε 4 τύπους: ηλεκτρομαγνητική, βαρυτική, ασθενή και ισχυρή. Για πολλά χρόνια, οι φυσικοί προσπαθούν να δημιουργήσουν μια γενική θεωρία πεδίου. Θα πρέπει να γίνει ένα εργαλείο για την εξήγηση όλων αυτών των αλληλεπιδράσεων. Η θεωρία Yang-Mills είναι μια μαθηματική γλώσσα με την οποία κατέστη δυνατή η περιγραφή 3 από τις 4 κύριες δυνάμεις της φύσης. Δεν ισχύει για τη βαρύτητα. Επομένως, δεν μπορεί να θεωρηθεί ότι οι Yang και Mills κατάφεραν να δημιουργήσουν μια θεωρία πεδίου.
Εξάλλου, η μη γραμμικότητα των προτεινόμενων εξισώσεων καθιστά εξαιρετικά δύσκολη την επίλυσή τους. Για μικρές σταθερές σύζευξης, μπορούν να λυθούν κατά προσέγγιση με τη μορφή μιας σειράς θεωρίας διαταραχών. Ωστόσο, δεν είναι ακόμη σαφές πώς μπορούν να λυθούν αυτές οι εξισώσεις με ισχυρή σύζευξη.
Εξισώσεις Navier-Stokes
Αυτές οι εκφράσεις περιγράφουν διεργασίες όπως ρεύματα αέρα, ροή ρευστού και αναταράξεις. Για ορισμένες ειδικές περιπτώσεις, έχουν ήδη βρεθεί αναλυτικές λύσεις της εξίσωσης Navier-Stokes, αλλά μέχρι στιγμής κανείς δεν έχει καταφέρει να το κάνει αυτό για τη γενική. Ταυτόχρονα, αριθμητικές προσομοιώσεις για συγκεκριμένες τιμές ταχύτητας, πυκνότητας, πίεσης, χρόνου και ούτω καθεξής μπορούν να επιτύχουν εξαιρετικά αποτελέσματα. Μένει να ελπίζουμε ότι κάποιος θα μπορέσει να εφαρμόσει τις εξισώσεις Navier-Stokes αντίστροφακατεύθυνση, δηλαδή να υπολογίσετε τις παραμέτρους χρησιμοποιώντας τις ή να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει μέθοδος λύσης.
πρόβλημα Birch-Swinnerton-Dyer
Η κατηγορία των «Αλύτων Προβλημάτων» περιλαμβάνει επίσης την υπόθεση που προτάθηκε από Βρετανούς επιστήμονες από το Πανεπιστήμιο του Κέιμπριτζ. Ακόμη και πριν από 2300 χρόνια, ο αρχαίος Έλληνας επιστήμονας Ευκλείδης έδωσε μια πλήρη περιγραφή των λύσεων της εξίσωσης x2 + y2=z2.
Αν για κάθε πρώτο αριθμό μετρήσουμε τον αριθμό των σημείων στην καμπύλη, θα λάβουμε ένα άπειρο σύνολο ακεραίων. Εάν το «κολλήσετε» συγκεκριμένα σε 1 συνάρτηση μιας σύνθετης μεταβλητής, τότε λαμβάνετε τη συνάρτηση ζήτα Hasse-Weil για μια καμπύλη τρίτης τάξης, που συμβολίζεται με το γράμμα L. Περιέχει πληροφορίες σχετικά με το modulo συμπεριφοράς όλων των πρώτων αριθμών ταυτόχρονα.
Ο Brian Birch και ο Peter Swinnerton-Dyer έκαναν εικασίες σχετικά με τις ελλειπτικές καμπύλες. Σύμφωνα με αυτό, η δομή και ο αριθμός του συνόλου των ορθολογικών λύσεών του σχετίζονται με τη συμπεριφορά της συνάρτησης L στην ταυτότητα. Η επί του παρόντος αναπόδεικτη εικασία Birch-Swinnerton-Dyer εξαρτάται από την περιγραφή των αλγεβρικών εξισώσεων 3ου βαθμού και είναι ο μόνος σχετικά απλός γενικός τρόπος υπολογισμού της κατάταξης των ελλειπτικών καμπυλών.
Για να κατανοήσουμε την πρακτική σημασία αυτής της εργασίας, αρκεί να πούμε ότι στη σύγχρονη κρυπτογραφία μια ολόκληρη κατηγορία ασύμμετρων συστημάτων βασίζεται σε ελλειπτικές καμπύλες και τα εγχώρια πρότυπα ψηφιακής υπογραφής βασίζονται στην εφαρμογή τους.
Ισότητα κλάσεων p και np
Αν οι υπόλοιπες Προκλήσεις της Χιλιετίας είναι καθαρά μαθηματικές, τότε αυτή έχεισχέση με την πραγματική θεωρία των αλγορίθμων. Το πρόβλημα σχετικά με την ισότητα των κλάσεων p και np, γνωστό και ως πρόβλημα Cooke-Levin, μπορεί να διατυπωθεί σε κατανοητή γλώσσα ως εξής. Ας υποθέσουμε ότι μια θετική απάντηση σε μια συγκεκριμένη ερώτηση μπορεί να ελεγχθεί αρκετά γρήγορα, δηλαδή σε πολυωνυμικό χρόνο (PT). Τότε είναι σωστή η δήλωση ότι η απάντηση σε αυτήν μπορεί να βρεθεί αρκετά γρήγορα; Ακόμα πιο απλό αυτό το πρόβλημα ακούγεται ως εξής: δεν είναι πραγματικά πιο δύσκολο να ελέγξετε τη λύση του προβλήματος από το να το βρείτε; Εάν ποτέ αποδειχθεί η ισότητα των κλάσεων p και np, τότε όλα τα προβλήματα επιλογής μπορούν να λυθούν για ΦΒ. Αυτή τη στιγμή, πολλοί ειδικοί αμφιβάλλουν για την αλήθεια αυτής της δήλωσης, αν και δεν μπορούν να αποδείξουν το αντίθετο.
Υπόθεση Riemann
Μέχρι το 1859, δεν βρέθηκε κανένα μοτίβο που να περιγράφει πώς οι πρώτοι αριθμοί κατανέμονται μεταξύ των φυσικών αριθμών. Ίσως αυτό οφειλόταν στο γεγονός ότι η επιστήμη ασχολήθηκε με άλλα θέματα. Ωστόσο, από τα μέσα του 19ου αιώνα, η κατάσταση είχε αλλάξει και έγιναν ένα από τα πιο σημαντικά με τα οποία άρχισαν να ασχολούνται τα μαθηματικά.
Η υπόθεση Riemann, η οποία εμφανίστηκε κατά τη διάρκεια αυτής της περιόδου, είναι η υπόθεση ότι υπάρχει ένα συγκεκριμένο μοτίβο στην κατανομή των πρώτων αριθμών.
Σήμερα, πολλοί σύγχρονοι επιστήμονες πιστεύουν ότι εάν αποδειχθεί, τότε θα χρειαστεί να αναθεωρηθούν πολλές από τις θεμελιώδεις αρχές της σύγχρονης κρυπτογραφίας, οι οποίες αποτελούν τη βάση ενός σημαντικού μέρους των μηχανισμών του ηλεκτρονικού εμπορίου.
Σύμφωνα με την υπόθεση Riemann, ο χαρακτήραςη κατανομή των πρώτων μπορεί να είναι σημαντικά διαφορετική από αυτή που υποτίθεται επί του παρόντος. Γεγονός είναι ότι μέχρι στιγμής δεν έχει ανακαλυφθεί κανένα σύστημα κατανομής πρώτων αριθμών. Για παράδειγμα, υπάρχει το πρόβλημα των «διδύμων», η διαφορά μεταξύ των οποίων είναι 2. Αυτοί οι αριθμοί είναι 11 και 13, 29. Άλλοι πρώτοι αριθμοί σχηματίζουν συστάδες. Αυτά είναι τα 101, 103, 107 κ.λπ. Οι επιστήμονες υποψιάζονταν εδώ και καιρό ότι τέτοια σμήνη υπάρχουν ανάμεσα σε πολύ μεγάλους πρώτους αριθμούς. Εάν βρεθούν, τότε η ισχύς των σύγχρονων κρυπτοκλειδιών θα αμφισβητηθεί.
Υπόθεση του κύκλου Hodge
Αυτό το ακόμη άλυτο πρόβλημα διατυπώθηκε το 1941. Η υπόθεση του Hodge προτείνει τη δυνατότητα προσέγγισης του σχήματος οποιουδήποτε αντικειμένου «κολλώντας» μεταξύ τους απλά σώματα υψηλότερων διαστάσεων. Αυτή η μέθοδος είναι γνωστή και χρησιμοποιείται με επιτυχία εδώ και πολύ καιρό. Ωστόσο, δεν είναι γνωστό σε ποιο βαθμό μπορεί να γίνει απλοποίηση.
Τώρα ξέρετε ποια άλυτα προβλήματα υπάρχουν αυτή τη στιγμή. Αποτελούν αντικείμενο έρευνας από χιλιάδες επιστήμονες σε όλο τον κόσμο. Μένει να ελπίζουμε ότι θα επιλυθούν στο εγγύς μέλλον και η πρακτική εφαρμογή τους θα βοηθήσει την ανθρωπότητα να εισέλθει σε έναν νέο γύρο τεχνολογικής ανάπτυξης.
