Τα μαθηματικά είναι σαν ένα παζλ. Αυτό ισχύει ιδιαίτερα για τη διαίρεση και τον πολλαπλασιασμό σε μια στήλη. Στο σχολείο, αυτές οι ενέργειες μελετώνται από απλές έως σύνθετες. Επομένως, είναι σίγουρα απαραίτητο να κυριαρχήσετε τον αλγόριθμο για την εκτέλεση των παραπάνω πράξεων χρησιμοποιώντας απλά παραδείγματα. Έτσι ώστε αργότερα δεν θα υπάρχουν δυσκολίες με τη διαίρεση των δεκαδικών κλασμάτων σε μια στήλη. Εξάλλου, αυτή είναι η πιο δύσκολη έκδοση τέτοιων εργασιών.
Συμβουλές για όσους θέλουν να είναι καλοί στα μαθηματικά
Αυτό το θέμα απαιτεί συνεπή μελέτη. Τα κενά στη γνώση είναι απαράδεκτα εδώ. Αυτή την αρχή πρέπει να μάθει κάθε μαθητής ήδη στην πρώτη τάξη. Επομένως, εάν παραλείψετε πολλά μαθήματα στη σειρά, θα πρέπει να κυριαρχήσετε μόνοι σας στο υλικό. Διαφορετικά, αργότερα θα υπάρξουν προβλήματα όχι μόνο με τα μαθηματικά, αλλά και με άλλα θέματα που σχετίζονται με αυτά.
Η δεύτερη προϋπόθεση για μια επιτυχημένη μελέτη των μαθηματικών είναι να προχωρήσουμε σε παραδείγματα μακράς διαίρεσης μόνο αφού έχουν κατακτηθεί η πρόσθεση, η αφαίρεση και ο πολλαπλασιασμός.
Παιδίθα είναι δύσκολο να διαιρεθεί αν δεν έχει μάθει τον πίνακα πολλαπλασιασμού. Παρεμπιπτόντως, είναι καλύτερο να το μάθετε από τον Πυθαγόρειο πίνακα. Δεν υπάρχει τίποτα περιττό και ο πολλαπλασιασμός είναι πιο εύκολος στην πέψη σε αυτήν την περίπτωση.
Πώς πολλαπλασιάζονται οι φυσικοί αριθμοί σε μια στήλη;
Αν υπάρχει δυσκολία στην επίλυση παραδειγμάτων σε μια στήλη για διαίρεση και πολλαπλασιασμό, τότε είναι απαραίτητο να ξεκινήσετε την επίλυση του προβλήματος με πολλαπλασιασμό. Επειδή η διαίρεση είναι το αντίστροφο του πολλαπλασιασμού:
- Πριν πολλαπλασιάσετε δύο αριθμούς, πρέπει να τους εξετάσετε προσεκτικά. Επιλέξτε αυτό με περισσότερα ψηφία (μακρύτερα), γράψτε το πρώτα. Τοποθετήστε το δεύτερο κάτω από αυτό. Επιπλέον, οι αριθμοί της αντίστοιχης κατηγορίας θα πρέπει να βρίσκονται στην ίδια κατηγορία. Δηλαδή, το δεξιότερο ψηφίο του πρώτου αριθμού πρέπει να είναι πάνω από το δεξιότερο ψηφίο του δεύτερου.
- Πολλαπλασιάστε το δεξιότερο ψηφίο του κάτω αριθμού με κάθε ψηφίο του επάνω αριθμού, ξεκινώντας από τα δεξιά. Γράψε την απάντηση κάτω από τη γραμμή έτσι ώστε το τελευταίο της ψηφίο να είναι κάτω από αυτό που πολλαπλασιάσατε με.
- Επαναλάβετε το ίδιο με το άλλο ψηφίο του κάτω αριθμού. Αλλά το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού πρέπει να μετατοπιστεί ένα ψηφίο προς τα αριστερά. Σε αυτήν την περίπτωση, το τελευταίο ψηφίο του θα είναι κάτω από αυτό με το οποίο πολλαπλασιάστηκε.
Συνεχίστε αυτόν τον πολλαπλασιασμό σε μια στήλη μέχρι να εξαντληθούν οι αριθμοί του δεύτερου πολλαπλασιαστή. Τώρα πρέπει να διπλωθούν. Αυτή θα είναι η επιθυμητή απάντηση.
Αλγόριθμος για τον πολλαπλασιασμό σε μια στήλη δεκαδικών κλασμάτων
Πρώτον, υποτίθεται ότι δεν δίνονται δεκαδικά κλάσματα, αλλά φυσικά. Δηλαδή, αφαιρέστε κόμματα από αυτά και στη συνέχεια προχωρήστε όπως περιγράφεται στο προηγούμενοπερίπτωση.
Η διαφορά ξεκινά όταν καταγράφεται η απάντηση. Σε αυτό το σημείο, είναι απαραίτητο να μετρηθούν όλοι οι αριθμοί που βρίσκονται μετά την υποδιαστολή και στα δύο κλάσματα. Αυτό είναι πόσα από αυτά πρέπει να μετρήσετε από το τέλος της απάντησης και να βάλετε κόμμα εκεί.
Είναι βολικό να επεξηγηθεί αυτός ο αλγόριθμος με ένα παράδειγμα: 0,25 x 0,33:
- Γράψτε αυτά τα κλάσματα έτσι ώστε ο αριθμός 33 να είναι μικρότερος από 25.
- Τώρα το σωστό τριπλάσιο πρέπει να πολλαπλασιαστεί με 25. Αποδεικνύεται 75. Υποτίθεται ότι γράφεται έτσι ώστε το πέντε είναι κάτω από το τριπλό με το οποίο έγινε ο πολλαπλασιασμός.
- Στη συνέχεια πολλαπλασιάστε το 25 με το πρώτο 3. Και πάλι θα είναι 75, αλλά θα γραφτεί έτσι ώστε το 5 να είναι κάτω από το 7 του προηγούμενου αριθμού.
- Αφού προσθέσουμε αυτούς τους δύο αριθμούς, παίρνουμε 825. Στα δεκαδικά κλάσματα, 4 ψηφία χωρίζονται με κόμματα. Επομένως, στην απάντηση, πρέπει επίσης να διαχωρίσετε 4 ψηφία με κόμμα. Αλλά υπάρχουν μόνο τρεις από αυτούς. Για να το κάνετε αυτό, θα πρέπει να γράψετε 0 πριν από το 8, να βάλετε κόμμα, πριν από αυτό άλλο 0.
- Η απάντηση στο παράδειγμα θα είναι ο αριθμός 0, 0825.
Πώς να αρχίσετε να μαθαίνετε να διαιρείτε;
Πριν λύσετε παραδείγματα μακράς διαίρεσης, θα πρέπει να θυμάστε τα ονόματα των αριθμών που χρησιμοποιούνται στο παράδειγμα διαίρεσης. Το πρώτο από αυτά (αυτό που είναι διαιρετό) είναι το διαιρετέο. Το δεύτερο (διαιρούμενο σε αυτό) είναι διαιρέτης. Η απάντηση είναι πηλίκο.
Στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας ένα απλό καθημερινό παράδειγμα, θα εξηγήσουμε την ουσία αυτής της μαθηματικής πράξης. Για παράδειγμα, αν πάρετε 10 γλυκά, τότε είναι εύκολο να τα μοιράσετε εξίσου μεταξύ της μαμάς και του μπαμπά. Τι γίνεται όμως αν χρειαστεί να τα μοιράσετε στους γονείς και τον αδερφό σας;
Μετά από αυτό, μπορείτε να εξοικειωθείτε με τους κανόνεςδιαιρέσεις και να τις κατακτήσετε με συγκεκριμένα παραδείγματα. Πρώτα απλά και μετά προχωρήστε σε όλο και πιο σύνθετα.
Αλγόριθμος για τη διαίρεση αριθμών σε στήλη
Πρώτον, παρουσιάζουμε τη διαδικασία για φυσικούς αριθμούς που διαιρούνται με ένα μονοψήφιο. Θα αποτελέσουν επίσης τη βάση για πολυψήφιους διαιρέτες ή δεκαδικά κλάσματα. Μόνο τότε υποτίθεται ότι πρέπει να γίνουν μικρές αλλαγές, αλλά περισσότερα για αυτό αργότερα:
- Πριν κάνετε μεγάλη διαίρεση, πρέπει να υπολογίσετε πού είναι το μέρισμα και ο διαιρέτης.
- Γράψτε το μέρισμα. Στα δεξιά του βρίσκεται ο διαιρέτης.
- Σχεδιάστε αριστερά και κάτω κοντά στην τελευταία γωνία.
- Προσδιορίστε το ημιτελές μέρισμα, δηλαδή τον αριθμό που θα είναι το ελάχιστο για διαίρεση. Συνήθως αποτελείται από ένα ψηφίο, το πολύ δύο.
- Επιλέξτε τον αριθμό που θα γράψει πρώτος στην απάντηση. Πρέπει να είναι ο αριθμός των φορών που χωράει ο διαιρέτης στο μέρισμα.
- Γράψτε το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού αυτού του αριθμού με τον διαιρέτη.
- Γράψτε το κάτω από τον ημιτελή διαιρέτη. Αφαιρέστε.
- Καταργήστε το πρώτο ψηφίο μετά το τμήμα που έχει ήδη διαιρεθεί.
- Πάρτε ξανά την απάντηση.
- Επανάληψη πολλαπλασιασμού και αφαίρεσης. Εάν το υπόλοιπο είναι μηδέν και το μέρισμα έχει τελειώσει, τότε το παράδειγμα έχει ολοκληρωθεί. Διαφορετικά, επαναλάβετε τα βήματα: καταργήστε τον αριθμό, σηκώστε τον αριθμό, πολλαπλασιάστε, αφαιρέστε.
Πώς να λύσετε διαίρεση μεγάλου μήκους εάν ο διαιρέτης έχει περισσότερα από ένα ψηφία;
Ο ίδιος ο αλγόριθμος συμπίπτει πλήρως με αυτό που περιγράφηκε παραπάνω. Η διαφορά θα είναι ο αριθμός των ψηφίων στο ημιτελές μέρισμα. Τουςτώρα θα πρέπει να υπάρχουν τουλάχιστον δύο, αλλά αν αποδειχθούν λιγότερα από τον διαιρέτη, τότε υποτίθεται ότι λειτουργεί με τα τρία πρώτα ψηφία.
Υπάρχει μια ακόμη απόχρωση σε αυτή τη διαίρεση. Το γεγονός είναι ότι το υπόλοιπο και ο αριθμός που μεταφέρεται σε αυτό μερικές φορές δεν διαιρούνται με διαιρέτη. Στη συνέχεια, υποτίθεται ότι αποδίδει ένα ακόμη σχήμα με τη σειρά. Αλλά ταυτόχρονα, η απάντηση πρέπει να είναι μηδενική. Εάν οι τριψήφιοι αριθμοί χωριστούν σε μια στήλη, τότε ίσως χρειαστεί να καταργηθούν περισσότερα από δύο ψηφία. Στη συνέχεια εισάγεται ένας κανόνας: θα πρέπει να υπάρχει ένας μικρότερος αριθμός μηδενικών στην απάντηση από τον αριθμό των ψηφίων που αφαιρέθηκαν.
Μπορείτε να εξετάσετε μια τέτοια διαίρεση χρησιμοποιώντας το παράδειγμα - 12082: 863.
- Ημιτελής διαιρετέος σε αυτό είναι ο αριθμός 1208. Ο αριθμός 863 τοποθετείται σε αυτόν μόνο μία φορά. Επομένως, ως απόκριση, υποτίθεται ότι βάζει 1 και κάτω από 1208 γράφει 863.
- Μετά την αφαίρεση, το υπόλοιπο είναι 345.
- Πρέπει να κατεδαφίσετε τον αριθμό 2 σε αυτό.
- Ο αριθμός 3452 ταιριάζει τέσσερις φορές στο 863.
- Τα τέσσερα πρέπει να γράφονται ως απάντηση. Επιπλέον, όταν πολλαπλασιαστεί με το 4, προκύπτει αυτός ο αριθμός.
- Το υπόλοιπο μετά την αφαίρεση είναι μηδέν. Δηλαδή, η διαίρεση τελείωσε.
Η απάντηση στο παράδειγμα θα είναι ο αριθμός 14.
Τι γίνεται αν το μέρισμα τελειώσει στο μηδέν;
Ή μερικά μηδενικά; Σε αυτήν την περίπτωση, προκύπτει ένα μηδενικό υπόλοιπο και υπάρχουν ακόμη μηδενικά στο μέρισμα. Μην απελπίζεστε, όλα είναι πιο εύκολα από ό,τι φαίνεται. Αρκεί απλώς να προσθέσετε στην απάντηση όλα τα μηδενικά που έμειναν αδιαίρετα.
Για παράδειγμα, πρέπει να διαιρέσετε το 400 με το 5. Το ημιτελές μέρισμα είναι 40. Το πέντε τοποθετείται σε αυτό 8 φορές. Αυτό σημαίνει ότι η απάντηση υποτίθεται ότι γράφεται 8. Πότεδεν υπάρχει υπόλοιπο για αφαίρεση. Δηλαδή, η διαίρεση τελείωσε, αλλά το μηδέν παραμένει στο μέρισμα. Θα πρέπει να προστεθεί στην απάντηση. Άρα το 400 διαιρούμενο με το 5 είναι 80.
Τι γίνεται αν χρειαστεί να διαιρέσετε ένα δεκαδικό;
Και πάλι, αυτός ο αριθμός μοιάζει με φυσικός αριθμός, εκτός από το κόμμα που χωρίζει το ακέραιο από το κλασματικό μέρος. Αυτό υποδηλώνει ότι η μεγάλη διαίρεση των δεκαδικών είναι παρόμοια με αυτή που περιγράφεται παραπάνω.
Η μόνη διαφορά θα είναι το ερωτηματικό. Υποτίθεται ότι θα απαντηθεί αμέσως, μόλις αφαιρεθεί το πρώτο ψηφίο από το κλασματικό μέρος. Με άλλο τρόπο, μπορεί να ειπωθεί ως εξής: η διαίρεση του ακέραιου μέρους έχει τελειώσει - βάλτε κόμμα και συνεχίστε τη λύση περαιτέρω.
Όταν λύνετε παραδείγματα για διαίρεση σε στήλη με δεκαδικά κλάσματα, πρέπει να θυμάστε ότι οποιοσδήποτε αριθμός μηδενικών μπορεί να εκχωρηθεί στο τμήμα μετά την υποδιαστολή. Μερικές φορές αυτό είναι απαραίτητο για να συμπληρώσετε τους αριθμούς μέχρι το τέλος.
Διαίρεση δύο δεκαδικών
Μπορεί να φαίνεται περίπλοκο. Αλλά μόνο στην αρχή. Εξάλλου, ο τρόπος διαίρεσης σε μια στήλη κλασμάτων με έναν φυσικό αριθμό είναι ήδη ξεκάθαρος. Επομένως, πρέπει να μειώσουμε αυτό το παράδειγμα στην ήδη γνωστή μορφή.
Είναι εύκολο να το κάνετε. Πρέπει να πολλαπλασιάσετε και τα δύο κλάσματα με 10, 100, 1.000 ή 10.000 ή ίσως ένα εκατομμύριο εάν το απαιτεί η εργασία. Ο πολλαπλασιαστής υποτίθεται ότι επιλέγεται με βάση πόσα μηδενικά υπάρχουν στο δεκαδικό μέρος του διαιρέτη. Δηλαδή, ως αποτέλεσμα, αποδεικνύεται ότι θα πρέπει να διαιρέσετε το κλάσμα με έναν φυσικό αριθμό.
Και αυτόθα είναι στη χειρότερη περίπτωση. Μετά από όλα, μπορεί να αποδειχθεί ότι το μέρισμα από αυτή τη λειτουργία γίνεται ακέραιος. Τότε η λύση του παραδείγματος με διαίρεση σε στήλη κλασμάτων θα μειωθεί στην απλούστερη επιλογή: πράξεις με φυσικούς αριθμούς.
Για παράδειγμα: 28, 4 διαιρούμενο με 3, 2:
- Πρώτον, πρέπει να πολλαπλασιαστούν με το 10, καθώς ο δεύτερος αριθμός έχει μόνο ένα ψηφίο μετά την υποδιαστολή. Ο πολλαπλασιασμός θα δώσει 284 και 32.
- Υποτίθεται ότι είναι χωρισμένοι. Και αμέσως ολόκληρος ο αριθμός 284 επί 32.
- Ο πρώτος αντιστοιχισμένος αριθμός για την απάντηση είναι 8. Πολλαπλασιάζοντας τον δίνουμε 256. Το υπόλοιπο είναι 28.
- Η διαίρεση του ακέραιου μέρους έχει τελειώσει και υποτίθεται ότι στην απάντηση μπαίνει κόμμα.
- Παύλα για ισορροπία 0.
- Πάρτε ξανά 8.
- Remainder: 24. Προσθέστε άλλο 0 σε αυτό.
- Τώρα πρέπει να πάρετε το 7.
- Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού είναι 224, το υπόλοιπο είναι 16.
- Κατεδάφιση άλλου 0. Πάρτε 5 το καθένα και πάρτε ακριβώς 160. Το υπόλοιπο είναι 0.
Η διαίρεση τελείωσε. Το αποτέλεσμα του παραδείγματος 28, 4:3, 2 είναι 8, 875.
Τι γίνεται αν ο διαιρέτης είναι 10, 100, 0, 1 ή 0,01;
Όπως και με τον πολλαπλασιασμό, εδώ δεν χρειάζεται διαίρεση μεγάλου μήκους. Αρκεί απλώς να μετακινήσετε το κόμμα στη σωστή κατεύθυνση για έναν ορισμένο αριθμό ψηφίων. Επιπλέον, σύμφωνα με αυτήν την αρχή, μπορείτε να λύσετε παραδείγματα τόσο με ακέραιους όσο και με δεκαδικά κλάσματα.
Έτσι, αν χρειάζεται να διαιρέσετε με το 10, το 100 ή το 1000, τότε το κόμμα μετακινείται προς τα αριστερά κατά τόσα ψηφία όσα μηδενικά υπάρχουν στον διαιρέτη. Δηλαδή, όταν ένας αριθμός διαιρείται με το 100, το κόμμαπρέπει να μετακινηθεί δύο ψηφία προς τα αριστερά. Εάν το μέρισμα είναι ένας φυσικός αριθμός, τότε υποτίθεται ότι το κόμμα βρίσκεται στο τέλος του.
Αυτή η ενέργεια παράγει το ίδιο αποτέλεσμα σαν να πολλαπλασιαζόταν ο αριθμός με 0, 1, 0, 01 ή 0,001. Σε αυτά τα παραδείγματα, το κόμμα μετακινείται επίσης προς τα αριστερά κατά έναν αριθμό ψηφίων ίσο με το μήκος του κλασματικού μέρους.
Κατά τη διαίρεση με το 0, το 1 (κ.λπ.) ή τον πολλαπλασιασμό με το 10 (κ.λπ.), το κόμμα πρέπει να μετακινηθεί προς τα δεξιά κατά ένα ψηφίο (ή δύο, τρία, ανάλογα με τον αριθμό των μηδενικών ή το μήκος του τα κλασματικά μέρη).
Αξίζει να σημειωθεί ότι ο αριθμός των ψηφίων που δίνονται στο μέρισμα ενδέχεται να μην είναι επαρκής. Στη συνέχεια, τα μηδενικά που λείπουν μπορούν να προστεθούν στα αριστερά (στο ακέραιο μέρος) ή στα δεξιά (μετά την υποδιαστολή).
Διαίρεση επαναλαμβανόμενων κλασμάτων
Σε αυτήν την περίπτωση, δεν θα μπορείτε να λάβετε την ακριβή απάντηση κατά τη διαίρεση σε στήλη. Πώς να λύσετε ένα παράδειγμα εάν συναντήσετε ένα κλάσμα με τελεία; Εδώ είναι απαραίτητο να προχωρήσουμε σε συνηθισμένα κλάσματα. Και στη συνέχεια εκτελέστε τη διαίρεση τους σύμφωνα με τους κανόνες που μελετήθηκαν προηγουμένως.
Για παράδειγμα, πρέπει να διαιρέσετε το 0, (3) με το 0, 6. Το πρώτο κλάσμα είναι περιοδικό. Μετατρέπεται στο κλάσμα 3/9, το οποίο μετά την αναγωγή θα δώσει το 1/3. Το δεύτερο κλάσμα είναι το τελικό δεκαδικό. Είναι ακόμα πιο εύκολο να γράψετε ένα συνηθισμένο: 6/10, που ισούται με 3/5. Ο κανόνας για τη διαίρεση των συνηθισμένων κλασμάτων ορίζει την αντικατάσταση της διαίρεσης με πολλαπλασιασμό και του διαιρέτη με την αντίστροφη. Δηλαδή, το παράδειγμα καταλήγει στον πολλαπλασιασμό του 1/3 επί 5/3. Η απάντηση θα είναι 5/9.
Αν το παράδειγμα έχει διαφορετικά κλάσματα…
Τότε, υπάρχουν πολλές πιθανές λύσεις. Πρώτον, ένα συνηθισμένο κλάσμα μπορεί να είναιπροσπαθήστε να μετατρέψετε σε δεκαδικό. Στη συνέχεια, διαιρέστε ήδη δύο δεκαδικά ψηφία σύμφωνα με τον παραπάνω αλγόριθμο.
Δεύτερον, κάθε τελικό δεκαδικό κλάσμα μπορεί να γραφτεί ως κοινό κλάσμα. Απλώς δεν είναι πάντα βολικό. Τις περισσότερες φορές, τέτοια κλάσματα αποδεικνύονται τεράστια. Ναι, και οι απαντήσεις είναι δυσκίνητες. Επομένως, η πρώτη προσέγγιση θεωρείται προτιμότερη.
