Στα μαθηματικά, οι αντίστροφες συναρτήσεις είναι αμοιβαία αντίστοιχες εκφράσεις που μετατρέπονται η μία στην άλλη. Για να καταλάβετε τι σημαίνει αυτό, αξίζει να εξετάσετε ένα συγκεκριμένο παράδειγμα. Ας πούμε ότι έχουμε y=cos(x). Αν πάρουμε το συνημίτονο από το όρισμα, τότε μπορούμε να βρούμε την τιμή του y. Προφανώς, για αυτό πρέπει να έχετε x. Τι γίνεται όμως αν ο παίκτης δοθεί αρχικά; Εδώ είναι που φτάνει στην ουσία του θέματος. Για την επίλυση του προβλήματος απαιτείται η χρήση αντίστροφης συνάρτησης. Στην περίπτωσή μας, αυτό είναι το συνημίτονο τόξου.
Μετά από όλους τους μετασχηματισμούς, παίρνουμε: x=arccos(y).
Δηλαδή, για να βρείτε μια συνάρτηση αντίστροφη σε μια δεδομένη, αρκεί απλώς να εκφράσετε ένα όρισμα από αυτήν. Αλλά αυτό λειτουργεί μόνο εάν το αποτέλεσμα θα έχει μία μόνο τιμή (περισσότερα για αυτήν αργότερα).
Γενικά, αυτό το γεγονός μπορεί να γραφτεί ως εξής: f(x)=y, g(y)=x.
Ορισμός
Έστω f μια συνάρτηση της οποίας το πεδίο ορισμού είναι το σύνολο X καιτο εύρος των τιμών είναι το σύνολο Y. Τότε, εάν υπάρχει g του οποίου οι τομείς εκτελούν αντίθετες εργασίες, τότε το f είναι αναστρέψιμο.
Εξάλλου, σε αυτήν την περίπτωση το g είναι μοναδικό, πράγμα που σημαίνει ότι υπάρχει ακριβώς μία συνάρτηση που ικανοποιεί αυτήν την ιδιότητα (ούτε περισσότερο, ούτε λιγότερο). Τότε ονομάζεται αντίστροφη συνάρτηση και γραπτώς συμβολίζεται ως εξής: g(x)=f -1(x).
Με άλλα λόγια, μπορούν να θεωρηθούν ως δυαδική σχέση. Η αναστρεψιμότητα πραγματοποιείται μόνο όταν ένα στοιχείο του συνόλου αντιστοιχεί σε μια τιμή από ένα άλλο.
Δεν υπάρχει πάντα αντίστροφη συνάρτηση. Για να γίνει αυτό, κάθε στοιχείο y є Y πρέπει να αντιστοιχεί το πολύ σε ένα x є X. Τότε η f ονομάζεται ένα προς ένα ή ένεση. Εάν η f -1 ανήκει στο Y, τότε κάθε στοιχείο αυτού του συνόλου πρέπει να αντιστοιχεί σε κάποιο x ∈ X. Οι συναρτήσεις με αυτήν την ιδιότητα ονομάζονται υπερκείμενα. Ισχύει εξ ορισμού εάν το Y είναι μια εικόνα f, αλλά αυτό δεν συμβαίνει πάντα. Για να είναι αντίστροφη, μια συνάρτηση πρέπει να είναι και έγχυση και έγχυση. Τέτοιες εκφράσεις ονομάζονται bijections.
Παράδειγμα: συναρτήσεις τετραγώνου και ρίζας
Η συνάρτηση ορίζεται στο [0, ∞) και δίνεται από τον τύπο f (x)=x2.
Τότε δεν είναι ενέσιμη, γιατί κάθε πιθανό αποτέλεσμα Υ (εκτός από το 0) αντιστοιχεί σε δύο διαφορετικά Χ - ένα θετικό και ένα αρνητικό, επομένως δεν είναι αναστρέψιμο. Σε αυτή την περίπτωση, θα είναι αδύνατο να ληφθούν τα αρχικά δεδομένα από τα ληφθέντα, κάτι που έρχεται σε αντίθεσηθεωρίες. Δεν θα είναι ενέσιμη.
Εάν ο τομέας ορισμού περιορίζεται υπό όρους σε μη αρνητικές τιμές, τότε όλα θα λειτουργούν όπως πριν. Τότε είναι διχαστικό και επομένως αντιστρέψιμο. Η αντίστροφη συνάρτηση εδώ ονομάζεται θετική.
Σημείωση για την είσοδο
Ας ο χαρακτηρισμός f -1 (x) μπορεί να μπερδέψει ένα άτομο, αλλά σε καμία περίπτωση δεν πρέπει να χρησιμοποιείται ως εξής: (f (x)) - 1 . Αναφέρεται σε μια εντελώς διαφορετική μαθηματική έννοια και δεν έχει καμία σχέση με την αντίστροφη συνάρτηση.
Κατά γενικό κανόνα, ορισμένοι συγγραφείς χρησιμοποιούν εκφράσεις όπως sin-1 (x).
Ωστόσο, άλλοι μαθηματικοί πιστεύουν ότι αυτό μπορεί να προκαλέσει σύγχυση. Για να αποφευχθούν τέτοιες δυσκολίες, οι αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις υποδηλώνονται συχνά με το πρόθεμα "τόξο" (από το λατινικό τόξο). Στην περίπτωσή μας, μιλάμε για το τόξο. Μπορείτε επίσης να βλέπετε περιστασιακά το πρόθεμα "ar" ή "inv" για ορισμένες άλλες συναρτήσεις.
