Ο παραλληλισμός των επιπέδων είναι μια έννοια που εμφανίστηκε για πρώτη φορά στην Ευκλείδεια γεωμετρία πριν από δύο χιλιάδες χρόνια.
Κύρια χαρακτηριστικά της κλασικής γεωμετρίας
Η γέννηση αυτού του επιστημονικού κλάδου συνδέεται με το περίφημο έργο του αρχαίου Έλληνα στοχαστή Ευκλείδη, ο οποίος έγραψε το φυλλάδιο «Αρχές» τον τρίτο αιώνα π. Χ. Χωρισμένα σε δεκατρία βιβλία, τα Στοιχεία ήταν το υψηλότερο επίτευγμα όλων των αρχαίων μαθηματικών και έθεσαν τα θεμελιώδη αξιώματα που σχετίζονται με τις ιδιότητες των επίπεδων μορφών.
Η κλασική συνθήκη για τον παραλληλισμό των επιπέδων διατυπώθηκε ως εξής: δύο επίπεδα μπορούν να ονομαστούν παράλληλα εάν δεν έχουν κοινά σημεία μεταξύ τους. Αυτό ήταν το πέμπτο αξίωμα της ευκλείδειας εργασίας.
Ιδιότητες παράλληλων επιπέδων
Στην Ευκλείδεια γεωμετρία, υπάρχουν συνήθως πέντε από αυτά:
Η πρώτη ιδιότητα (περιγράφει τον παραλληλισμό των επιπέδων και τη μοναδικότητά τους). Μέσα από ένα σημείο που βρίσκεται έξω από ένα συγκεκριμένο δεδομένο επίπεδο, μπορούμε να σχεδιάσουμε ένα και μόνο επίπεδο παράλληλο με αυτό
- Δεύτερη ιδιότητα (ονομάζεται επίσης η ιδιότητα τριών παραλλήλων). Όταν δύο αεροπλάνα είναιπαράλληλα με το τρίτο, είναι επίσης παράλληλα μεταξύ τους.
Η τρίτη ιδιότητα (με άλλα λόγια, ονομάζεται η ιδιότητα μιας ευθείας που τέμνει τον παραλληλισμό των επιπέδων). Αν μια ευθεία τέμνει ένα από αυτά τα παράλληλα επίπεδα, τότε θα τέμνει το άλλο
Τέταρτη ιδιότητα (ιδιότητα ευθειών κομμένων σε επίπεδα παράλληλα μεταξύ τους). Όταν δύο παράλληλα επίπεδα τέμνονται με ένα τρίτο (σε οποιαδήποτε γωνία), οι γραμμές τομής τους είναι επίσης παράλληλες
Πέμπτη ιδιότητα (ιδιότητα που περιγράφει τμήματα διαφορετικών παράλληλων ευθειών που περικλείονται μεταξύ επιπέδων παράλληλα μεταξύ τους). Τα τμήματα αυτών των παράλληλων ευθειών που περικλείονται ανάμεσα σε δύο παράλληλα επίπεδα είναι απαραίτητα ίσα
Παραλληλισμός επιπέδων σε μη Ευκλείδειες γεωμετρίες
Τέτοιες προσεγγίσεις είναι, ειδικότερα, η γεωμετρία των Lobachevsky και Riemann. Αν η γεωμετρία του Ευκλείδη υλοποιήθηκε σε επίπεδα διαστήματα, τότε η γεωμετρία του Λομπατσέφσκι υλοποιήθηκε σε αρνητικά καμπυλωμένους χώρους (απλά καμπυλωτούς) και στον Ρίμαν βρίσκει την πραγματοποίησή της σε θετικά καμπύλους χώρους (με άλλα λόγια, σφαίρες). Υπάρχει μια πολύ κοινή στερεοτυπική άποψη ότι τα παράλληλα επίπεδα (και οι ευθείες επίσης) του Λομπατσέφσκι τέμνονται.
Ωστόσο, αυτό δεν είναι σωστό. Πράγματι, η γέννηση της υπερβολικής γεωμετρίας συνδέθηκε με την απόδειξη του πέμπτου αξιώματος του Ευκλείδη και την αλλαγήΩστόσο, από τις απόψεις σχετικά με αυτό, ο ίδιος ο ορισμός των παράλληλων επιπέδων και γραμμών υπονοεί ότι δεν μπορούν να τέμνονται ούτε στον Λομπατσέφσκι ούτε στον Ρίμαν, ανεξάρτητα από τους χώρους που πραγματοποιούνται. Και η αλλαγή σε απόψεις και διατυπώσεις ήταν η εξής. Το αξίωμα ότι μόνο ένα παράλληλο επίπεδο μπορεί να σχεδιαστεί μέσω ενός σημείου που δεν βρίσκεται σε ένα δεδομένο επίπεδο έχει αντικατασταθεί από μια άλλη διατύπωση: μέσω ενός σημείου που δεν βρίσκεται σε ένα δεδομένο συγκεκριμένο επίπεδο, δύο, τουλάχιστον, ευθείες που βρίσκονται σε το ίδιο επίπεδο με το δεδομένο και μην το τέμνουμε.
