Τα Μαθηματικά προέρχονται από την Αρχαιότητα. Χάρη σε αυτήν, η αρχιτεκτονική, η κατασκευή και η στρατιωτική επιστήμη έδωσαν έναν νέο γύρο ανάπτυξης, τα επιτεύγματα που αποκτήθηκαν με τη βοήθεια των μαθηματικών οδήγησαν στην κίνηση της προόδου. Μέχρι σήμερα, τα μαθηματικά παραμένουν η κύρια επιστήμη που βρίσκεται σε όλους τους άλλους κλάδους.
Για να μορφωθούν, τα παιδιά από την πρώτη δημοτικού αρχίζουν να συγχωνεύονται σταδιακά σε αυτό το περιβάλλον. Είναι πολύ σημαντικό να κατανοήσουμε τα μαθηματικά, καθώς, στον ένα ή τον άλλο βαθμό, συμβαίνουν σε κάθε άτομο σε όλη του τη ζωή. Αυτό το άρθρο θα αναλύσει ένα από τα βασικά στοιχεία - την εύρεση και την εφαρμογή παραγώγων. Δεν μπορεί κάθε άτομο να φανταστεί πόσο ευρέως χρησιμοποιείται αυτή η έννοια. Εξετάστε περισσότερες από 10 εφαρμογές παραγώγων σε ορισμένους τομείς ή επιστήμες.
Εφαρμογή της παραγώγου στη μελέτη συνάρτησης
Η παράγωγος είναι ένα τέτοιο όριοο λόγος της αύξησης μιας συνάρτησης προς την αύξηση του ορίσματός της όταν ο εκθέτης του ορίσματος τείνει στο μηδέν. Η παράγωγος είναι ένα απαραίτητο πράγμα στη μελέτη μιας συνάρτησης. Για παράδειγμα, μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον προσδιορισμό της αύξησης και της μείωσης του τελευταίου, των άκρων, της κυρτότητας και της κοιλότητας. Ο διαφορικός λογισμός περιλαμβάνεται στο υποχρεωτικό πρόγραμμα σπουδών για φοιτητές 1ου και 2ου έτους των μαθηματικών πανεπιστημίων.
Εύρος και συνάρτηση μηδενικά
Το πρώτο στάδιο οποιασδήποτε μελέτης του γραφήματος ξεκινά με την εύρεση του τομέα ορισμού, σε πιο σπάνιες περιπτώσεις - της τιμής. Ο τομέας ορισμού ορίζεται κατά μήκος του άξονα της τετμημένης, με άλλα λόγια, αυτές είναι αριθμητικές τιμές στον άξονα OX. Συχνά το εύρος έχει ήδη οριστεί, αλλά αν δεν είναι, τότε θα πρέπει να αξιολογηθεί η τιμή του ορίσματος x. Ας υποθέσουμε ότι, εάν για ορισμένες τιμές του ορίσματος η συνάρτηση δεν έχει νόημα, τότε αυτό το όρισμα εξαιρείται από το πεδίο εφαρμογής.
Τα μηδενικά της συνάρτησης βρίσκονται με έναν απλό τρόπο: η συνάρτηση f(x) πρέπει να ισοδυναμεί με μηδέν και η εξίσωση που προκύπτει θα πρέπει να λυθεί σε σχέση με μία μεταβλητή x. Οι ρίζες της εξίσωσης που λαμβάνονται είναι τα μηδενικά της συνάρτησης, δηλαδή σε αυτά τα x η συνάρτηση είναι 0.
Αύξηση και μείωση
Η χρήση της παραγώγου για τη μελέτη συναρτήσεων για μονοτονία μπορεί να εξεταστεί από δύο θέσεις. Μια μονοτονική συνάρτηση είναι μια κατηγορία που έχει μόνο θετικές τιμές της παραγώγου ή μόνο αρνητικές τιμές. Με απλά λόγια, η συνάρτηση αυξάνεται ή μειώνεται μόνο σε ολόκληρο το υπό μελέτη διάστημα:
- Αύξηση παραμέτρου. ΛειτουργίαΗ f(x) θα αυξηθεί εάν η παράγωγος της f`(x) είναι μεγαλύτερη από το μηδέν.
- Φθίνουσα παράμετρος. Η συνάρτηση f(x) θα μειωθεί εάν η παράγωγος της f`(x) είναι μικρότερη από το μηδέν.
εφαπτομένη και κλίση
Η εφαρμογή της παραγώγου στη μελέτη μιας συνάρτησης καθορίζεται επίσης από την εφαπτομένη (ευθεία γραμμή κατευθυνόμενη υπό γωνία) στη γραφική παράσταση της συνάρτησης σε ένα δεδομένο σημείο. Εφαπτομένη σε σημείο (x0) - μια ευθεία που διέρχεται από ένα σημείο και ανήκει στη συνάρτηση της οποίας οι συντεταγμένες είναι (x0, f(x 0 )) και με κλίση f`(x0).
y=f(x0) + f`(x0)(x - x0) - η εξίσωση της εφαπτομένης στο δεδομένο σημείο της γραφικής παράστασης της συνάρτησης.
Γεωμετρική σημασία της παραγώγου: η παράγωγος της συνάρτησης f(x) είναι ίση με την κλίση της σχηματιζόμενης εφαπτομένης στη γραφική παράσταση αυτής της συνάρτησης σε ένα δεδομένο σημείο x. Ο γωνιακός συντελεστής, με τη σειρά του, είναι ίσος με την εφαπτομένη της γωνίας κλίσης της εφαπτομένης στον άξονα ΟΧ (τετμημένη) στη θετική κατεύθυνση. Αυτό το συμπέρασμα είναι θεμελιώδες για την εφαρμογή της παραγώγου στο γράφημα μιας συνάρτησης.
Ακραία σημεία
Η εφαρμογή μιας παραγώγου σε μια μελέτη περιλαμβάνει την εύρεση υψηλών και χαμηλών σημείων.
Για να βρείτε και να καθορίσετε τους ελάχιστους και μέγιστους πόντους, πρέπει:
- Βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης f(x).
- Ορίστε την εξίσωση που προκύπτει στο μηδέν.
- Βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης.
- Βρείτε υψηλούς και χαμηλούς πόντους.
Για να βρείτε τα άκραχαρακτηριστικά:
- Βρείτε τους ελάχιστους και μέγιστους βαθμούς χρησιμοποιώντας την παραπάνω μέθοδο.
- Αντικαταστήστε αυτά τα σημεία στην αρχική εξίσωση και υπολογίστε τα ymax και yλεπτά
Το μέγιστο σημείο της συνάρτησης είναι η μεγαλύτερη τιμή της συνάρτησης f(x) στο διάστημα, με άλλα λόγια xmax.
Το ελάχιστο σημείο της συνάρτησης είναι η μικρότερη τιμή της συνάρτησης f(x) στο διάστημα, με άλλα λόγια xόνομα
Τα άκρα σημεία είναι ίδια με τα μέγιστα και ελάχιστα σημεία και το άκρο της συνάρτησης (yμέγ. και yελάχιστο) - τιμές συναρτήσεων που αντιστοιχούν σε ακραία σημεία.
Κυρτότητα και κοιλότητα
Μπορείτε να προσδιορίσετε την κυρτότητα και την κοιλότητα καταφεύγοντας στη χρήση της παραγώγου για γραφική παράσταση:
- Μια συνάρτηση f(x) που εξετάζεται στο διάστημα (a, b) είναι κοίλη εάν η συνάρτηση βρίσκεται κάτω από όλες τις εφαπτομένες της εντός αυτού του διαστήματος.
- Η συνάρτηση f(x) που μελετήθηκε στο διάστημα (a, b) είναι κυρτή αν η συνάρτηση βρίσκεται πάνω από όλες τις εφαπτομένες της μέσα σε αυτό το διάστημα.
Το σημείο που διαχωρίζει την κυρτότητα και την κοιλότητα ονομάζεται σημείο καμπής της συνάρτησης.
Για να βρείτε σημεία καμπής:
- Βρείτε κρίσιμα σημεία του δεύτερου είδους (δεύτερη παράγωγος).
- Τα σημεία καμπής είναι εκείνα τα κρίσιμα σημεία που χωρίζουν δύο αντίθετα ζώδια.
- Υπολογισμός τιμών συναρτήσεων σε σημεία καμπής συναρτήσεων.
Μερικά παράγωγα
ΑίτησηΥπάρχουν παράγωγοι αυτού του τύπου σε προβλήματα όπου χρησιμοποιούνται περισσότερες από μία άγνωστες μεταβλητές. Τις περισσότερες φορές, τέτοιες παράγωγες συναντώνται όταν σχεδιάζουμε ένα γράφημα συνάρτησης, για να είμαστε πιο ακριβείς, επιφάνειες στο χώρο, όπου αντί για δύο άξονες υπάρχουν τρεις, επομένως, τρεις ποσότητες (δύο μεταβλητές και μία σταθερά).
Ο βασικός κανόνας κατά τον υπολογισμό των μερικών παραγώγων είναι να επιλέξετε μία μεταβλητή και να αντιμετωπίζετε τις υπόλοιπες ως σταθερές. Επομένως, κατά τον υπολογισμό της μερικής παραγώγου, η σταθερά γίνεται σαν μια αριθμητική τιμή (σε πολλούς πίνακες παραγώγων, συμβολίζονται ως C=const). Η έννοια μιας τέτοιας παραγώγου είναι ο ρυθμός μεταβολής της συνάρτησης z=f(x, y) κατά μήκος των αξόνων OX και OY, δηλαδή χαρακτηρίζει την απότομη κλίση των βαθουλωμάτων και των εξογκωμάτων της κατασκευασμένης επιφάνειας.
Παράγωγο στη φυσική
Η χρήση του παραγώγου στη φυσική είναι ευρέως διαδεδομένη και σημαντική. Φυσική έννοια: η παράγωγος της διαδρομής ως προς το χρόνο είναι η ταχύτητα και η επιτάχυνση είναι η παράγωγος της ταχύτητας ως προς το χρόνο. Από τη φυσική σημασία, πολλοί κλάδοι μπορούν να αντληθούν σε διάφορους κλάδους της φυσικής, διατηρώντας παράλληλα πλήρως τη σημασία της παραγώγου.
Με τη βοήθεια της παραγώγου, βρίσκονται οι ακόλουθες τιμές:
- Ταχύτητα στην κινηματική, όπου υπολογίζεται η παράγωγος της διανυθείσας απόστασης. Αν βρεθεί η δεύτερη παράγωγος της διαδρομής ή η πρώτη παράγωγος της ταχύτητας, τότε βρίσκεται η επιτάχυνση του σώματος. Επιπλέον, είναι δυνατό να βρεθεί η στιγμιαία ταχύτητα ενός υλικού σημείου, αλλά για αυτό είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε την αύξηση ∆t και ∆r.
- Στην ηλεκτροδυναμική:υπολογισμός της στιγμιαίας ισχύος του εναλλασσόμενου ρεύματος, καθώς και του EMF της ηλεκτρομαγνητικής επαγωγής. Υπολογίζοντας την παράγωγο, μπορείτε να βρείτε τη μέγιστη ισχύ. Η παράγωγος της ποσότητας του ηλεκτρικού φορτίου είναι η ισχύς του ρεύματος στον αγωγό.
Παράγωγο στη χημεία και τη βιολογία
Χημεία: Το παράγωγο χρησιμοποιείται για τον προσδιορισμό του ρυθμού μιας χημικής αντίδρασης. Η χημική σημασία της παραγώγου: συνάρτηση p=p(t), στην περίπτωση αυτή p είναι η ποσότητα μιας ουσίας που εισέρχεται σε μια χημική αντίδραση στο χρόνο t. ∆t - προσαύξηση χρόνου, ∆p - αύξηση ποσότητας ουσίας. Το όριο του λόγου ∆p προς ∆t, στο οποίο το ∆t τείνει στο µηδέν, ονοµάζεται ταχύτητα χηµικής αντίδρασης. Η μέση τιμή μιας χημικής αντίδρασης είναι ο λόγος Δp/Δt. Κατά τον προσδιορισμό της ταχύτητας, είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε ακριβώς όλες τις απαραίτητες παραμέτρους, συνθήκες, να γνωρίζουμε τη συνολική κατάσταση της ουσίας και του μέσου ροής. Αυτή είναι μια αρκετά μεγάλη πτυχή στη χημεία, η οποία χρησιμοποιείται ευρέως σε διάφορες βιομηχανίες και ανθρώπινες δραστηριότητες.
Βιολογία: η έννοια του παραγώγου χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό του μέσου ρυθμού αναπαραγωγής. Βιολογική σημασία: έχουμε συνάρτηση y=x(t). ∆t - χρονική αύξηση. Στη συνέχεια, με τη βοήθεια κάποιων μετασχηματισμών, λαμβάνουμε τη συνάρτηση y`=P(t)=x`(t) - τη ζωτική δραστηριότητα του πληθυσμού του χρόνου t (μέσος ρυθμός αναπαραγωγής). Αυτή η χρήση του παραγώγου σάς επιτρέπει να διατηρείτε στατιστικά στοιχεία, να παρακολουθείτε τον ρυθμό αναπαραγωγής και ούτω καθεξής.
Παράγωγο στη γεωγραφία και τα οικονομικά
Η παράγωγος επιτρέπει στους γεωγράφους να αποφασίζουνεργασίες όπως εύρεση πληθυσμού, υπολογισμός τιμών στη σεισμογραφία, υπολογισμός ραδιενέργειας πυρηνικών γεωφυσικών δεικτών, υπολογισμός παρεμβολής.
Στα οικονομικά, ένα σημαντικό μέρος των υπολογισμών είναι ο διαφορικός λογισμός και ο υπολογισμός της παραγώγου. Πρώτα απ 'όλα, αυτό μας επιτρέπει να καθορίσουμε τα όρια των απαραίτητων οικονομικών αξιών. Για παράδειγμα, η υψηλότερη και η χαμηλότερη παραγωγικότητα εργασίας, κόστος, κέρδη. Βασικά, αυτές οι τιμές υπολογίζονται από γραφήματα συναρτήσεων, όπου βρίσκουν άκρα, καθορίζουν τη μονοτονία της συνάρτησης στην επιθυμητή περιοχή.
Συμπέρασμα
Ο ρόλος αυτού του διαφορικού λογισμού εμπλέκεται, όπως σημειώνεται στο άρθρο, σε διάφορες επιστημονικές δομές. Η χρήση παραγώγων συναρτήσεων είναι ένα σημαντικό στοιχείο στο πρακτικό μέρος της επιστήμης και της παραγωγής. Δεν είναι τυχαίο που μας έμαθαν στο γυμνάσιο και στο πανεπιστήμιο να φτιάχνουμε πολύπλοκα γραφήματα, να εξερευνούμε και να δουλεύουμε πάνω σε συναρτήσεις. Όπως μπορείτε να δείτε, χωρίς παράγωγα και διαφορικούς υπολογισμούς, θα ήταν αδύνατο να υπολογιστούν ζωτικοί δείκτες και ποσότητες. Η ανθρωπότητα έχει μάθει να μοντελοποιεί διάφορες διαδικασίες και να τις εξερευνά, να λύνει πολύπλοκα μαθηματικά προβλήματα. Πράγματι, τα μαθηματικά είναι η βασίλισσα όλων των επιστημών, γιατί αυτή η επιστήμη αποτελεί τη βάση όλων των άλλων φυσικών και τεχνικών κλάδων.
