Leonhard Euler (1707-1783) - διάσημος Ελβετός και Ρώσος μαθηματικός, μέλος της Ακαδημίας Επιστημών της Αγίας Πετρούπολης, έζησε το μεγαλύτερο μέρος της ζωής του στη Ρωσία. Ο πιο διάσημος στη μαθηματική ανάλυση, τη στατιστική, την επιστήμη των υπολογιστών και τη λογική είναι ο κύκλος Euler (διάγραμμα Euler-Venn), που χρησιμοποιείται για να υποδηλώσει το εύρος των εννοιών και των συνόλων στοιχείων.
John Venn (1834-1923) - Άγγλος φιλόσοφος και λογικός, συν-συγγραφέας του διαγράμματος Euler-Venn.
Συμβατές και ασύμβατες έννοιες
Κάτω από την έννοια στη λογική σημαίνει μια μορφή σκέψης που αντανακλά τα βασικά χαρακτηριστικά μιας κατηγορίας ομοιογενών αντικειμένων. Υποδηλώνονται με μία ή μια ομάδα λέξεων: "παγκόσμιος χάρτης", "κυρίαρχη πέμπτη-έβδομη συγχορδία", "Δευτέρα" κ.λπ.
Στην περίπτωση που τα στοιχεία του εύρους μιας έννοιας ανήκουν πλήρως ή εν μέρει στο πεδίο μιας άλλης, μιλάμε για συμβατές έννοιες. Εάν, ωστόσο, κανένα στοιχείο του εύρους μιας συγκεκριμένης έννοιας δεν ανήκει στο πεδίο εφαρμογής μιας άλλης, έχουμε ασυμβίβαστες έννοιες.
Με τη σειρά του, κάθε τύπος έννοιας έχει το δικό του σύνολο πιθανών σχέσεων. Για συμβατές έννοιες, αυτές είναι:
- ταυτότητα (ισοδυναμία) τόμων;
- διασταύρωση (μερική αντιστοίχιση)τόμοι;
- υποταγή (υποταγή).
Για ασυμβίβαστο:
- υποταγή (συντονισμός);
- αντίθετα (αντίθεση);
- contradiction (contradiction).
Σχηματικά, οι σχέσεις μεταξύ των εννοιών στη λογική συνήθως υποδεικνύονται χρησιμοποιώντας κύκλους Euler-Venn.
Ισοδύναμες σχέσεις
Σε αυτήν την περίπτωση, οι έννοιες σημαίνουν το ίδιο θέμα. Κατά συνέπεια, οι όγκοι αυτών των εννοιών είναι εντελώς οι ίδιοι. Για παράδειγμα:
A - Sigmund Freud;
Ο
B είναι ο ιδρυτής της ψυχανάλυσης.
Ή:
Α είναι ένα τετράγωνο;
Το
B είναι ισόπλευρο ορθογώνιο,
Το
C είναι ένας ισογωνικός ρόμβος.
Οι κύκλοι του Euler που συμπίπτουν πλήρως χρησιμοποιούνται για τον χαρακτηρισμό.
Διατομή (μερική αντιστοίχιση)
Αυτή η κατηγορία περιλαμβάνει έννοιες που έχουν κοινά στοιχεία που σχετίζονται με τη διέλευση. Δηλαδή, ο όγκος μιας από τις έννοιες περιλαμβάνεται εν μέρει στον τόμο της άλλης:
A - δάσκαλος;
B είναι λάτρης της μουσικής.
Όπως φαίνεται από αυτό το παράδειγμα, οι όγκοι των εννοιών συμπίπτουν εν μέρει: μια συγκεκριμένη ομάδα δασκάλων μπορεί να αποδειχθεί ότι είναι λάτρεις της μουσικής και το αντίστροφο - μπορεί να υπάρχουν εκπρόσωποι του επαγγέλματος του δασκάλου μεταξύ των μουσικόφιλων. Μια παρόμοια στάση θα είναι στην περίπτωση που η έννοια Α είναι, για παράδειγμα, «πολίτης» και ο Β είναι «οδηγός».
Υποταγή (υποταγή)
Σχηματικά δηλώνεται ως κύκλοι Euler διαφορετικών κλιμάκων. Συγγένειεςμεταξύ των εννοιών στην περίπτωση αυτή χαρακτηρίζονται από το γεγονός ότι η δευτερεύουσα έννοια (μικρότερη σε όγκο) περιλαμβάνεται πλήρως στη δευτερεύουσα (μεγαλύτερη σε όγκο). Ταυτόχρονα, η υποτελής έννοια δεν εξαντλεί πλήρως την υποδεέστερη.
Για παράδειγμα:
A - δέντρο;
B - πεύκο.
Η έννοια Β θα είναι υποδεέστερη της έννοιας Α. Δεδομένου ότι το πεύκο ανήκει σε δέντρα, η έννοια Α σε αυτό το παράδειγμα γίνεται δευτερεύουσα, "απορροφώντας" το εύρος της έννοιας Β.
Συντονισμός (συντονισμός)
Σχέση χαρακτηρίζει δύο ή περισσότερες έννοιες που αποκλείουν η μία την άλλη, αλλά ανήκουν σε έναν συγκεκριμένο κοινό γενικό κύκλο. Για παράδειγμα:
A – κλαρίνο;
B - κιθάρα;
C - βιολί;
D είναι ένα μουσικό όργανο.
Οι έννοιες Α, Β, Γ δεν τέμνονται μεταξύ τους, ωστόσο ανήκουν όλες στην κατηγορία των μουσικών οργάνων (η έννοια Δ).
Αντίθετα (αντίθετα)
Οι αντίθετες σχέσεις μεταξύ των εννοιών υποδηλώνουν ότι αυτές οι έννοιες ανήκουν στο ίδιο γένος. Ταυτόχρονα, η μία από τις έννοιες έχει ορισμένες ιδιότητες (χαρακτηριστικά), ενώ η άλλη τις αρνείται, αντικαθιστώντας τις με αντίθετες στη φύση. Έτσι, έχουμε να κάνουμε με αντώνυμα. Για παράδειγμα:
A είναι νάνος;
B είναι ένας γίγαντας.
Κύκλος Euler με αντίθετες σχέσεις μεταξύ των εννοιώνχωρίζεται σε τρία τμήματα, το πρώτο από τα οποία αντιστοιχεί στην έννοια Α, το δεύτερο στην έννοια Β και το τρίτο σε όλες τις άλλες πιθανές έννοιες.
Αντίφαση (αντίθεση)
Σε αυτήν την περίπτωση, και οι δύο έννοιες είναι είδη του ίδιου γένους. Όπως και στο προηγούμενο παράδειγμα, μία από τις έννοιες υποδεικνύει ορισμένες ιδιότητες (χαρακτηριστικά), ενώ η άλλη τις αρνείται. Ωστόσο, σε αντίθεση με τη σχέση των αντιθέτων, η δεύτερη, αντίθετη έννοια δεν αντικαθιστά τις αρνούμενες ιδιότητες με άλλες, εναλλακτικές. Για παράδειγμα:
Α είναι μια δύσκολη εργασία,
Το
B είναι μια εύκολη δουλειά (όχι-Α).
Εκφράζοντας τον όγκο των εννοιών αυτού του είδους, ο κύκλος Euler χωρίζεται σε δύο μέρη - ο τρίτος, ενδιάμεσος σύνδεσμος σε αυτήν την περίπτωση δεν υπάρχει. Έτσι, οι έννοιες είναι και αντώνυμες. Ταυτόχρονα, ένα από αυτά (Α) γίνεται θετικό (επιβεβαιώνοντας κάποιο χαρακτηριστικό) και το δεύτερο (Β ή μη Α) γίνεται αρνητικό (αναιρώντας το αντίστοιχο χαρακτηριστικό): "λευκό χαρτί" - "όχι λευκό χαρτί", " εθνική ιστορία» – «ξένη ιστορία», κ.λπ.
Έτσι, η αναλογία των όγκων των εννοιών σε σχέση μεταξύ τους είναι ένα βασικό χαρακτηριστικό που καθορίζει τους κύκλους Euler.
Σχέσεις μεταξύ σετ
Είναι επίσης απαραίτητο να γίνει διάκριση μεταξύ των εννοιών των στοιχείων και των συνόλων, ο όγκος των οποίων εμφανίζεται με κύκλους Euler. Η έννοια του συνόλου είναι δανεισμένη από τη μαθηματική επιστήμη και έχει ένα αρκετά ευρύ νόημα. Παραδείγματα στη λογική και τα μαθηματικά το εμφανίζουν ως ένα ορισμένο σύνολο αντικειμένων. Τα ίδια τα αντικείμενα είναιστοιχεία αυτού του συνόλου. "Πολλοί είναι πολλοί σκέφτονται ως ένα" (Georg Kantor, ιδρυτής της θεωρίας συνόλων).
Τα σύνολα χαρακτηρίζονται με κεφαλαία γράμματα: A, B, C, D… κ.λπ., τα στοιχεία των συνόλων ορίζονται με πεζά γράμματα: a, b, c, d… κ.λπ. Παραδείγματα συνόλου μπορούν να είναι μαθητές που βρίσκονται σε μία τάξη, βιβλία σε ένα συγκεκριμένο ράφι (ή, για παράδειγμα, όλα τα βιβλία σε μια συγκεκριμένη βιβλιοθήκη), σελίδες σε ένα ημερολόγιο, μούρα σε ένα ξέφωτο δάσους, κ.λπ.
Με τη σειρά του, αν ένα συγκεκριμένο σύνολο δεν περιέχει ένα μόνο στοιχείο, τότε ονομάζεται κενό και συμβολίζεται με το πρόσημο Ø. Για παράδειγμα, το σύνολο των σημείων τομής των παράλληλων ευθειών, το σύνολο των λύσεων της εξίσωσης x2=-5.
Επίλυση προβλήματος
Οι κύκλοι Euler χρησιμοποιούνται ενεργά για την επίλυση μεγάλου αριθμού προβλημάτων. Τα παραδείγματα στη λογική καταδεικνύουν ξεκάθαρα τη σύνδεση μεταξύ λογικών πράξεων και θεωρίας συνόλων. Σε αυτή την περίπτωση, χρησιμοποιούνται πίνακες αλήθειας εννοιών. Για παράδειγμα, ο κύκλος με την ένδειξη A αντιπροσωπεύει την περιοχή αλήθειας. Άρα η περιοχή έξω από τον κύκλο θα αντιπροσωπεύει ψευδή. Για να προσδιορίσετε την περιοχή του διαγράμματος για μια λογική πράξη, θα πρέπει να σκιάσετε τις περιοχές που ορίζουν τον κύκλο Euler, στις οποίες οι τιμές του για τα στοιχεία A και B θα είναι αληθείς.
Η χρήση των κύκλων Euler έχει βρει ευρεία πρακτική εφαρμογή σε διάφορους κλάδους. Για παράδειγμα, σε μια κατάσταση με επαγγελματική επιλογή. Εάν το υποκείμενο ενδιαφέρεται για την επιλογή ενός μελλοντικού επαγγέλματος, μπορεί να καθοδηγηθεί από τα ακόλουθα κριτήρια:
W – τι μου αρέσει να κάνω;
D – τι κάνω;
Σ– πώς μπορώ να βγάλω καλά χρήματα;
Ας το σχεδιάσουμε ως διάγραμμα: κύκλοι Euler (παραδείγματα στη λογική - σχέση τομής):
Το αποτέλεσμα θα είναι αυτά τα επαγγέλματα που θα βρίσκονται στη διασταύρωση και των τριών κύκλων.
Οι κύκλοι Euler-Venn καταλαμβάνουν ξεχωριστή θέση στα μαθηματικά (θεωρία συνόλων) κατά τον υπολογισμό συνδυασμών και ιδιοτήτων. Οι κύκλοι Euler του συνόλου των στοιχείων περικλείονται στην εικόνα ενός ορθογωνίου που δηλώνει το καθολικό σύνολο (U). Αντί για κύκλους, μπορούν να χρησιμοποιηθούν και άλλες κλειστές φιγούρες, αλλά η ουσία αυτού δεν αλλάζει. Τα σχήματα τέμνονται μεταξύ τους, σύμφωνα με τις συνθήκες του προβλήματος (στη γενικότερη περίπτωση). Επίσης, αυτά τα στοιχεία θα πρέπει να επισημαίνονται ανάλογα. Τα στοιχεία των υπό εξέταση συνόλων μπορεί να είναι σημεία που βρίσκονται μέσα σε διαφορετικά τμήματα του διαγράμματος. Με βάση αυτό, μπορείτε να σκιάζετε συγκεκριμένες περιοχές, προσδιορίζοντας έτσι τα νεοσχηματισμένα σύνολα.
Με αυτά τα σύνολα είναι δυνατό να εκτελεστούν βασικές μαθηματικές πράξεις: πρόσθεση (άθροισμα συνόλων στοιχείων), αφαίρεση (διαφορά), πολλαπλασιασμός (προϊόν). Επιπλέον, χάρη στα διαγράμματα Euler-Venn, είναι δυνατή η σύγκριση των συνόλων με τον αριθμό των στοιχείων που περιλαμβάνονται σε αυτά, χωρίς να τα υπολογίζουμε.
