Η συμβολική λογική είναι ένας κλάδος της επιστήμης που μελετά τις σωστές μορφές συλλογισμού. Διαδραματίζει θεμελιώδη ρόλο στη φιλοσοφία, τα μαθηματικά και την επιστήμη των υπολογιστών. Όπως η φιλοσοφία και τα μαθηματικά, η λογική έχει αρχαίες ρίζες. Οι παλαιότερες πραγματείες για τη φύση του ορθού συλλογισμού γράφτηκαν πριν από περισσότερα από 2.000 χρόνια. Μερικοί από τους πιο διάσημους φιλοσόφους της αρχαίας Ελλάδας έγραψαν για τη φύση της διατήρησης πριν από περισσότερα από 2.300 χρόνια. Οι αρχαίοι Κινέζοι στοχαστές έγραφαν για λογικά παράδοξα περίπου την ίδια εποχή. Αν και οι ρίζες της πάνε πολύ πίσω, η λογική εξακολουθεί να είναι ένα ζωντανό πεδίο μελέτης.
Μαθηματική συμβολική λογική
Πρέπει επίσης να είστε σε θέση να κατανοείτε και να συλλογίζεστε, γι' αυτό δόθηκε ιδιαίτερη προσοχή στα λογικά συμπεράσματα όταν δεν υπήρχε ειδικός εξοπλισμός για την ανάλυση και τη διάγνωση διαφόρων τομέων της ζωής. Η σύγχρονη συμβολική λογική προέκυψε από το έργο του Αριστοτέλη (384-322 π. Χ.), του μεγάλου Έλληνα φιλοσόφου και ενός από τους πιο σημαντικούς στοχαστές όλων των εποχών. Περαιτέρω επιτυχίες ήταναπό τον Έλληνα στωικό φιλόσοφο Χρύσιππο, ο οποίος ανέπτυξε τα θεμέλια αυτού που σήμερα ονομάζουμε προτασιακή λογική.
Η μαθηματική ή συμβολική λογική αναπτύχθηκε ενεργά μόνο τον 19ο αιώνα. Εμφανίστηκαν τα έργα των Boole, de Morgan, Schroeder, στα οποία οι επιστήμονες αλγεβράρισαν τις διδασκαλίες του Αριστοτέλη, αποτελώντας έτσι τη βάση για τον προτασιακό λογισμό. Ακολούθησε η εργασία των Frege και Preece, στην οποία εισήχθησαν οι έννοιες των μεταβλητών και των ποσοτικών δεικτών, οι οποίες άρχισαν να εφαρμόζονται στη λογική. Έτσι σχηματίστηκε ο υπολογισμός κατηγορημάτων - δηλώσεων για το θέμα.
Η λογική υπονοούσε την απόδειξη αδιαμφισβήτητων γεγονότων όταν δεν υπήρχε άμεση επιβεβαίωση της αλήθειας. Οι λογικές εκφράσεις έπρεπε να πείσουν τον συνομιλητή για την αλήθεια.
Οι λογικοί τύποι βασίστηκαν στην αρχή της μαθηματικής απόδειξης. Έτσι έπεισαν τους συνομιλητές για ακρίβεια και αξιοπιστία.
Ωστόσο, όλες οι μορφές επιχειρημάτων γράφτηκαν με λέξεις. Δεν υπήρχαν επίσημοι μηχανισμοί που θα δημιουργούσαν έναν λογικό λογισμό έκπτωσης. Οι άνθρωποι άρχισαν να αμφιβάλλουν αν ο επιστήμονας κρυβόταν πίσω από μαθηματικούς υπολογισμούς, κρύβοντας πίσω τους το παράλογο των εικασιών του, γιατί ο καθένας μπορεί να παρουσιάσει τα επιχειρήματά του με διαφορετικό τρόπο.
Γέννηση της σημασίας: σταθερή λογική στα μαθηματικά ως απόδειξη της αλήθειας
Προς το τέλος του 18ου αιώνα, η μαθηματική ή συμβολική λογική εμφανίστηκε ως επιστήμη, η οποία περιλάμβανε τη διαδικασία μελέτης της ορθότητας των συμπερασμάτων. Υποτίθεται ότι είχαν ένα λογικό τέλος και μια σύνδεση. Αλλά πώς ήταν να αποδειχθείή να δικαιολογήσετε τα δεδομένα της έρευνας;
Ο μεγάλος Γερμανός φιλόσοφος και μαθηματικός Gottfried Leibniz ήταν ένας από τους πρώτους που συνειδητοποίησε την ανάγκη επισημοποίησης των λογικών επιχειρημάτων. Ήταν το όνειρο του Leibniz: να δημιουργήσει μια καθολική επίσημη γλώσσα της επιστήμης που θα μείωνε όλες τις φιλοσοφικές διαφωνίες σε έναν απλό υπολογισμό, επεξεργάζοντας εκ νέου το σκεπτικό σε τέτοιες συζητήσεις σε αυτή τη γλώσσα. Η μαθηματική ή συμβολική λογική εμφανίστηκε με τη μορφή τύπων που διευκόλυναν εργασίες και λύσεις σε φιλοσοφικά ερωτήματα. Ναι, και αυτός ο τομέας της επιστήμης έγινε πιο σημαντικός, γιατί τότε η χωρίς νόημα φιλοσοφική φλυαρία έγινε ο πάτος στον οποίο στηρίζονται τα ίδια τα μαθηματικά!
Στην εποχή μας, η παραδοσιακή λογική είναι συμβολική αριστοτελική, η οποία είναι απλή και απέριττη. Τον 19ο αιώνα, η επιστήμη βρέθηκε αντιμέτωπη με το παράδοξο των συνόλων, το οποίο οδήγησε σε ασυνέπειες σε εκείνες τις πολύ διάσημες λύσεις των λογικών ακολουθιών του Αριστοτέλη. Αυτό το πρόβλημα έπρεπε να λυθεί, γιατί στην επιστήμη δεν μπορούν να υπάρχουν ούτε επιφανειακά λάθη.
Τυπικότητα Lewis Carroll - συμβολική λογική και βήματα μεταμόρφωσής της
Η τυπική λογική είναι πλέον ένα θέμα που περιλαμβάνεται στο μάθημα. Ωστόσο, οφείλει την εμφάνισή του στη συμβολική, αυτή που δημιουργήθηκε αρχικά. Η συμβολική λογική είναι μια μέθοδος αναπαράστασης λογικών εκφράσεων χρησιμοποιώντας σύμβολα και μεταβλητές και όχι συνηθισμένη γλώσσα. Αυτό εξαλείφει την ασάφεια που συνοδεύει κοινές γλώσσες όπως τα ρωσικά και διευκολύνει τα πράγματα.
Υπάρχουν πολλά συστήματα συμβολικής λογικής, όπως:
- Κλασική πρόταση.
- Λογική πρώτης τάξης.
- Modal.
Η συμβολική λογική όπως την κατανοεί ο Lewis Carroll θα έπρεπε να υποδεικνύει τις σωστές και τις ψευδείς δηλώσεις στην ερώτηση που τέθηκε. Κάθε ένα μπορεί να έχει ξεχωριστούς χαρακτήρες ή να αποκλείει τη χρήση ορισμένων χαρακτήρων. Ακολουθούν μερικά παραδείγματα δηλώσεων που κλείνουν τη λογική αλυσίδα των συμπερασμάτων:
- Όλοι οι άνθρωποι που είναι πανομοιότυποι με εμένα είναι όντα που υπάρχουν.
- Όλοι οι ήρωες που είναι πανομοιότυποι με τον Batman είναι πλάσματα που υπάρχουν.
- Λοιπόν (καθώς ο Μπάτμαν και εγώ δεν έχουμε δει ποτέ στο ίδιο μέρος), όλοι οι άνθρωποι που είναι πανομοιότυποι με εμένα είναι ήρωες ίδιοι με τον Μπάτμαν.
Αυτός δεν είναι έγκυρος συλλογισμός, αλλά είναι η ίδια δομή με τον ακόλουθο:
- Όλα τα σκυλιά είναι θηλαστικά.
- Όλες οι γάτες είναι θηλαστικά.
- Γι' αυτό όλοι οι σκύλοι είναι γάτες.
Πρέπει να είναι προφανές ότι η παραπάνω συμβολική μορφή στη λογική δεν ισχύει. Ωστόσο, στη λογική, η δικαιοσύνη ορίζεται από αυτή την έκφραση: αν η υπόθεση ήταν αληθινή, τότε το συμπέρασμα θα ήταν αληθές. Αυτό προφανώς δεν είναι αλήθεια. Το ίδιο θα ισχύει και για το παράδειγμα του ήρωα, που έχει το ίδιο σχήμα. Η εγκυρότητα ισχύει μόνο για επαγωγικά επιχειρήματα που προορίζονται να αποδείξουν το συμπέρασμά τους με βεβαιότητα, αφού ένα επαγωγικό επιχείρημα δεν μπορεί να είναι έγκυρο. Αυτές οι «διορθώσεις» εφαρμόζονται και στα στατιστικά όταν υπάρχει αποτέλεσμα σφάλματος δεδομένων και η σύγχρονη συμβολική λογική όπωςη τυπικότητα των απλοποιημένων δεδομένων βοηθά σε πολλά από αυτά τα θέματα.
Επαγωγή στη σύγχρονη λογική
Ένα επαγωγικό επιχείρημα προορίζεται μόνο να αποδείξει το συμπέρασμά του με μεγάλη πιθανότητα ή διάψευση. Τα επαγωγικά επιχειρήματα είναι είτε ισχυρά είτε αδύναμα.
Ως επαγωγικό επιχείρημα, το παράδειγμα του υπερήρωα Batman είναι απλά αδύναμο. Είναι αμφίβολο ότι υπάρχει ο Μπάτμαν, οπότε μια από τις δηλώσεις είναι ήδη λάθος με μεγάλη πιθανότητα. Αν και δεν τον έχετε δει ποτέ στο ίδιο μέρος με κάποιον άλλο, είναι γελοίο να εκλάβετε αυτή την έκφραση ως απόδειξη. Για να κατανοήσετε την ουσία της λογικής, φανταστείτε:
- Δεν έχετε δει ποτέ στο ίδιο μέρος με τον ντόπιο της Γουινέας.
- Είναι απίθανο ότι εσείς και το άτομο της Γουινέας είστε το ίδιο άτομο.
- Τώρα φανταστείτε ότι εσείς και ένας Αφρικανός δεν έχετε συναντηθεί ποτέ στο ίδιο μέρος. Δεν είναι εύλογο ότι εσείς και ένας Αφρικανός είστε το ίδιο άτομο. Αλλά η Γουινέα και η Αφρική διασταυρώθηκαν, επομένως δεν μπορείτε να είστε και οι δύο ταυτόχρονα. Οι αποδείξεις ότι είστε Αφρικανός ή Γουινέας έχουν μειωθεί σημαντικά.
Από αυτή την άποψη, η ίδια η ιδέα της συμβολικής λογικής δεν συνεπάγεται μια εκ των προτέρων σχέση με τα μαθηματικά. Το μόνο που χρειάζεται για να αναγνωρίσουμε τη λογική ως σύμβολο είναι η εκτεταμένη χρήση συμβόλων για την αναπαράσταση λογικών πράξεων.
Λογική Θεωρία του Carroll: Διαπλοκή ή Μινιμαλισμός στη Μαθηματική Φιλοσοφία
Ο Κάρολ έμαθε μερικούς ασυνήθιστους τρόπουςπου τον ανάγκασε να λύσει αρκετά δύσκολα προβλήματα που αντιμετώπιζαν οι συνάδελφοί του. Αυτό τον εμπόδισε να σημειώσει σημαντική πρόοδο λόγω της πολυπλοκότητας της λογικής σημειογραφίας και των συστημάτων που έλαβε ως αποτέλεσμα της δουλειάς του. Ο λόγος ύπαρξης της συμβολικής λογικής του Carroll είναι το πρόβλημα της εξάλειψης. Πώς να βρείτε το συμπέρασμα που πρέπει να εξαχθεί από ένα σύνολο προϋποθέσεων σχετικά με τη σχέση μεταξύ δεδομένων όρων; Κατάργηση των "μεσαίων όρων".
Για να λυθεί αυτό το κεντρικό πρόβλημα της λογικής στα μέσα του δέκατου ένατου αιώνα επινοήθηκαν συμβολικές, διαγραμματικές, ακόμη και μηχανικές συσκευές. Ωστόσο, οι μέθοδοι του Carroll για την επεξεργασία τέτοιων «λογικών ακολουθιών» (όπως τις αποκαλούσε) δεν έδιναν πάντα τη σωστή λύση. Αργότερα, ο φιλόσοφος δημοσίευσε δύο εργασίες για υποθέσεις, οι οποίες αντικατοπτρίζονται στο περιοδικό Mind: The Logical Paradox (1894) και What the Tortoise Said to Achilles (1895).
Αυτές οι εργασίες συζητήθηκαν ευρέως από λογικούς του δέκατου ένατου και του εικοστού αιώνα (Pearce, Russell, Ryle, Prior, Quine, κ.λπ.). Το πρώτο άρθρο αναφέρεται συχνά ως καλή απεικόνιση των παραδόξων υλικών υπονοούμενων, ενώ το δεύτερο οδηγεί σε αυτό που είναι γνωστό ως παράδοξο συμπερασμάτων.
Απλότητα συμβόλων στη λογική
Η συμβολική γλώσσα της λογικής είναι ένα υποκατάστατο για μεγάλες διφορούμενες προτάσεις. Βολικό, γιατί στα ρωσικά μπορείτε να πείτε το ίδιο πράγμα για διαφορετικές περιστάσεις, κάτι που θα σας επιτρέψει να μπερδευτείτε, και στα μαθηματικά, τα σύμβολα θα αντικαταστήσουν την ταυτότητα κάθε σημασίας.
- Πρώτον, η συντομία είναι σημαντική για την αποτελεσματικότητα. Η συμβολική λογική δεν μπορεί να κάνει χωρίς σημεία και προσδιορισμούς, διαφορετικά θα παρέμενε μόνο φιλοσοφική, χωρίς το δικαίωμα στο αληθινό νόημα.
- Δεύτερον, τα σύμβολα διευκολύνουν την προβολή και τη διατύπωση λογικών αληθειών. Τα στοιχεία 1 και 2 ενθαρρύνουν τον "αλγεβρικό" χειρισμό λογικών τύπων.
- Τρίτον, όταν η λογική εκφράζει λογικές αλήθειες, η συμβολική διατύπωση ενθαρρύνει τη μελέτη της δομής της λογικής. Αυτό σχετίζεται με το προηγούμενο σημείο. Έτσι, η συμβολική λογική προσφέρεται για τη μαθηματική μελέτη της λογικής, η οποία είναι κλάδος του αντικειμένου της μαθηματικής λογικής.
- Τέταρτον, κατά την επανάληψη της απάντησης, η χρήση συμβόλων βοηθά στην αποτροπή της ασάφειας (π.χ. πολλαπλές έννοιες) της συνηθισμένης γλώσσας. Βοηθά επίσης να διασφαλιστεί ότι το νόημα είναι μοναδικό.
Τέλος, η συμβολική γλώσσα της λογικής επιτρέπει τον λογισμό κατηγορήματος που εισήγαγε ο Frege. Με την πάροδο των ετών, η συμβολική σημειογραφία για τον ίδιο τον λογισμό κατηγορήματος έχει βελτιωθεί και έχει γίνει πιο αποτελεσματική, καθώς η καλή σημειογραφία είναι σημαντική στα μαθηματικά και τη λογική.
Η οντολογία του Αριστοτέλη της αρχαιότητας
Οι επιστήμονες ενδιαφέρθηκαν για το έργο του στοχαστή όταν άρχισαν να χρησιμοποιούν τις μεθόδους του Slinin στις ερμηνείες τους. Το βιβλίο παρουσιάζει θεωρίες κλασικής και τροπικής λογικής. Ένα σημαντικό μέρος της έννοιας ήταν η αναγωγή σε CNF στη συμβολική λογική του τύπου της λογικής της πρότασης. Η συντομογραφία σημαίνει συνδυασμό ή διαχωρισμό μεταβλητών.
Ο Ο Slinin Ya. A. πρότεινε ότι οι σύνθετες αρνήσεις, οι οποίες απαιτούν επαναλαμβανόμενη αναγωγή τύπων, θα πρέπει να μετατραπούν σε υποτύπους. Έτσι, μετέτρεψε ορισμένες τιμές σε πιο ελάχιστες και έλυσε προβλήματα σε μια συνοπτική έκδοση. Η εργασία με τις αρνήσεις περιορίστηκε στους τύπους του de Morgan. Οι νόμοι που φέρουν το όνομα του De Morgan είναι ένα ζεύγος σχετικών θεωρημάτων που καθιστούν δυνατή τη μετατροπή των δηλώσεων και των τύπων σε εναλλακτικούς και συχνά πιο βολικούς. Οι νόμοι είναι οι εξής:
- Η άρνηση (ή η ασυνέπεια) μιας διάστασης ισούται με την ένωση της άρνησης των εναλλακτικών – το p ή το q δεν είναι ίσο με p και όχι q ή συμβολικά ~ (p ⊦ q) ≡ ~p ~q.
- Η άρνηση του συνδέσμου είναι ίση με τη διάζευξη της άρνησης των αρχικών συνδέσμων, δηλ. το not (p και q) δεν είναι ίσο με το not p ή όχι q, ή συμβολικά ~ (p q) ≡ ~p ⊦ ~q.
Χάρη σε αυτά τα αρχικά δεδομένα, πολλοί μαθηματικοί άρχισαν να εφαρμόζουν τύπους για την επίλυση πολύπλοκων λογικών προβλημάτων. Πολλοί άνθρωποι γνωρίζουν ότι υπάρχει μια σειρά διαλέξεων όπου μελετάται η περιοχή τομής των συναρτήσεων. Και η ερμηνεία του πίνακα βασίζεται επίσης σε λογικούς τύπους. Ποια είναι η ουσία της λογικής στην αλγεβρική σύνδεση; Αυτή είναι μια γραμμική συνάρτηση επιπέδου, όταν μπορείτε να βάλετε την επιστήμη των αριθμών και τη φιλοσοφία στο ίδιο μπολ με έναν «άψυχο» και μη κερδοφόρο τομέα συλλογισμού. Αν και ο Ε. Καντ νόμιζε διαφορετικά, όντας μαθηματικός και φιλόσοφος. Σημείωσε ότι η φιλοσοφία δεν είναι τίποτα μέχρι να αποδειχθεί το αντίθετο. Και τα στοιχεία πρέπει να είναι επιστημονικά τεκμηριωμένα. Και έτσι συνέβη που η φιλοσοφία άρχισε να έχει σημασία χάρη σεταιριάζει με την πραγματική φύση των αριθμών και των υπολογισμών.
Εφαρμογή της λογικής στην επιστήμη και στον υλικό κόσμο της πραγματικότητας
Οι φιλόσοφοι συνήθως δεν εφαρμόζουν την επιστήμη του λογικού συλλογισμού μόνο σε κάποιο φιλόδοξο μεταπτυχιακό έργο (συνήθως με υψηλό βαθμό εξειδίκευσης, όπως προσθήκη στην κοινωνική επιστήμη, την ψυχολογία ή την ηθική κατηγοριοποίηση). Είναι παράδοξο ότι η φιλοσοφική επιστήμη «γέννησε» τη μέθοδο υπολογισμού της αλήθειας και του ψεύδους, αλλά οι ίδιοι οι φιλόσοφοι δεν τη χρησιμοποιούν. Για ποιον λοιπόν δημιουργούνται και μετασχηματίζονται τόσο σαφείς μαθηματικοί συλλογισμοί;
- Προγραμματιστές και μηχανικοί χρησιμοποίησαν συμβολική λογική (η οποία δεν είναι τόσο διαφορετική από την αρχική) για να εφαρμόσουν προγράμματα ηλεκτρονικών υπολογιστών, ακόμη και πίνακες σχεδίασης.
- Στην περίπτωση των υπολογιστών, η λογική έχει γίνει αρκετά περίπλοκη για να χειριστεί πολλές κλήσεις συναρτήσεων, καθώς και να προχωρήσει τα μαθηματικά και να λύσει μαθηματικά προβλήματα. Μεγάλο μέρος της βασίζεται σε γνώση της μαθηματικής επίλυσης προβλημάτων και των πιθανοτήτων σε συνδυασμό με τους λογικούς κανόνες της εξάλειψης, της επέκτασης και της αναγωγιμότητας.
- Οι γλώσσες υπολογιστών δεν μπορούν να κατανοηθούν εύκολα ότι λειτουργούν λογικά εντός των ορίων της γνώσης των μαθηματικών και μάλιστα εκτελούν ειδικές λειτουργίες. Μεγάλο μέρος της γλώσσας του υπολογιστή είναι πιθανώς κατοχυρωμένο με δίπλωμα ευρεσιτεχνίας ή κατανοητό μόνο από υπολογιστές. Οι προγραμματιστές συχνά αφήνουν τους υπολογιστές να κάνουν λογικές εργασίες και να τις λύνουν.
Κατά τη διάρκεια τέτοιων προαπαιτούμενων, πολλοί επιστήμονες υποθέτουν τη δημιουργία προηγμένου υλικού όχι για χάρη της επιστήμης, αλλά γιαευκολία χρήσης μέσων και τεχνολογίας. Ίσως σύντομα η λογική να εισχωρήσει στις σφαίρες της οικονομίας, των επιχειρήσεων, ακόμη και στο κβαντικό «διπρόσωπου», το οποίο συμπεριφέρεται και σαν άτομο και σαν κύμα.
Η κβαντική λογική στη σύγχρονη πρακτική της μαθηματικής ανάλυσης
Η κβαντική λογική (QL) αναπτύχθηκε ως μια προσπάθεια να δημιουργηθεί μια προτασιακή δομή που θα επέτρεπε την περιγραφή ενδιαφέροντων γεγονότων στην κβαντική μηχανική (QM). Το QL αντικατέστησε τη δυαδική δομή, η οποία δεν ήταν αρκετή για να αναπαραστήσει το ατομικό βασίλειο, αν και είναι κατάλληλη για τον λόγο της κλασικής φυσικής.
Η μαθηματική δομή μιας προτασιακής γλώσσας για τα κλασικά συστήματα είναι ένα σύνολο δυνάμεων, μερικώς ταξινομημένων από το σύνολο συμπερίληψης, με ένα ζεύγος πράξεων που αντιπροσωπεύουν ένωση και διάζευξη.
Αυτή η άλγεβρα είναι συνεπής με τον λόγο τόσο των κλασικών όσο και των σχετικιστικών φαινομένων, αλλά είναι ασύμβατη σε μια θεωρία που απαγορεύει, για παράδειγμα, να δίνονται ταυτόχρονες τιμές αλήθειας. Η πρόταση των ιδρυτών της QL δημιουργήθηκε για να αντικαταστήσει τη Boolean δομή της κλασικής λογικής με μια πιο αδύναμη δομή που θα αποδυνάμωνε τις κατανεμητικές ιδιότητες του συνδέσμου και του διαχωρισμού.
Αποδυνάμωση της καθιερωμένης συμβολικής διείσδυσης: χρειάζεται πραγματικά η αλήθεια στα μαθηματικά ως ακριβής επιστήμη
Κατά τη διάρκεια της ανάπτυξής της, η κβαντική λογική άρχισε να αναφέρεται όχι μόνο σε παραδοσιακές, αλλά και σε αρκετούς τομείς της σύγχρονης έρευνας που προσπάθησαν να κατανοήσουν τη μηχανική από μια λογική άποψη. Πολλαπλούςκβαντικές προσεγγίσεις για την εισαγωγή διαφορετικών στρατηγικών και προβλημάτων που συζητούνται στη βιβλιογραφία της κβαντικής μηχανικής. Όποτε είναι δυνατόν, οι περιττοί τύποι εξαλείφονται για να δοθεί μια διαισθητική κατανόηση των εννοιών πριν από την απόκτηση ή την εισαγωγή των σχετικών μαθηματικών.
Ένα διαχρονικό ερώτημα στην ερμηνεία της κβαντικής μηχανικής είναι εάν υπάρχουν διαθέσιμες θεμελιωδώς κλασικές εξηγήσεις για τα κβαντομηχανικά φαινόμενα. Η κβαντική λογική έπαιξε μεγάλο ρόλο στη διαμόρφωση και τη βελτίωση αυτής της συζήτησης, επιτρέποντάς μας ιδιαίτερα να είμαστε αρκετά ακριβείς σχετικά με το τι εννοούμε με τον όρο κλασική εξήγηση. Τώρα είναι δυνατό να καθοριστεί με ακρίβεια ποιες θεωρίες μπορούν να θεωρηθούν αξιόπιστες και ποιες είναι το λογικό συμπέρασμα των μαθηματικών κρίσεων.
