Η χωρική γεωμετρία είναι η μελέτη των πρισμάτων. Τα σημαντικά χαρακτηριστικά τους είναι ο όγκος που περιέχονται σε αυτά, η επιφάνεια και ο αριθμός των συστατικών στοιχείων. Στο άρθρο, θα εξετάσουμε όλες αυτές τις ιδιότητες για ένα εξαγωνικό πρίσμα.
Για ποιο πρίσμα μιλάμε;
Ένα εξαγωνικό πρίσμα είναι ένα σχήμα που σχηματίζεται από δύο πολύγωνα με έξι πλευρές και έξι γωνίες και έξι παραλληλόγραμμα που συνδέουν τα σημειωμένα εξάγωνα σε έναν ενιαίο γεωμετρικό σχηματισμό.
Το σχήμα δείχνει ένα παράδειγμα αυτού του πρίσματος.
Το εξάγωνο που σημειώνεται με κόκκινο ονομάζεται βάση του σχήματος. Προφανώς, ο αριθμός των βάσεων του είναι ίσος με δύο, και είναι και οι δύο ταυτόσημες. Οι κιτρινοπράσινες όψεις ενός πρίσματος ονομάζονται πλευρές του. Στο σχήμα παριστάνονται με τετράγωνα, αλλά γενικά είναι παραλληλόγραμμα.
Το εξαγωνικό πρίσμα μπορεί να είναι κεκλιμένο και ευθύ. Στην πρώτη περίπτωση, οι γωνίες μεταξύ της βάσης και των πλευρών δεν είναι ευθείες, στη δεύτερη είναι ίσες με 90o. Επίσης, αυτό το πρίσμα μπορεί να είναι σωστό και λάθος. Κανονικό εξαγωνικότο πρίσμα πρέπει να είναι ίσιο και να έχει κανονικό εξάγωνο στη βάση. Το παραπάνω πρίσμα στο σχήμα ικανοποιεί αυτές τις απαιτήσεις, επομένως ονομάζεται σωστό. Περαιτέρω στο άρθρο θα μελετήσουμε μόνο τις ιδιότητές του, ως γενική περίπτωση.
Στοιχεία
Για κάθε πρίσμα τα κύρια στοιχεία του είναι οι ακμές, οι όψεις και οι κορυφές. Το εξαγωνικό πρίσμα δεν αποτελεί εξαίρεση. Το παραπάνω σχήμα σας επιτρέπει να μετρήσετε τον αριθμό αυτών των στοιχείων. Έτσι, παίρνουμε 8 όψεις ή πλευρές (δύο βάσεις και έξι πλευρικά παραλληλόγραμμα), ο αριθμός των κορυφών είναι 12 (6 κορυφές για κάθε βάση), ο αριθμός των άκρων ενός εξαγωνικού πρίσματος είναι 18 (έξι πλευρικές και 12 για τις βάσεις).
Στη δεκαετία του 1750, ο Leonhard Euler (Ένας Ελβετός μαθηματικός) καθιέρωσε για όλα τα πολύεδρα, τα οποία περιλαμβάνουν ένα πρίσμα, μια μαθηματική σχέση μεταξύ των αριθμών των υποδεικνυόμενων στοιχείων. Αυτή η σχέση μοιάζει με:
αριθμός ακμών=αριθμός όψεων + αριθμός κορυφών - 2.
Οι παραπάνω αριθμοί ικανοποιούν αυτόν τον τύπο.
Διαγώνιοι πρίσματος
Όλες οι διαγώνιοι ενός εξαγωνικού πρίσματος μπορούν να χωριστούν σε δύο τύπους:
- αυτά που βρίσκονται στα επίπεδα των προσώπων του;
- αυτά που ανήκουν σε ολόκληρο τον όγκο του σχήματος.
Η παρακάτω εικόνα δείχνει όλες αυτές τις διαγώνιους.
Μπορεί να φανεί ότι D1 είναι η πλευρική διαγώνιος, D2 και D3 είναι οι διαγώνιοι ολόκληρο το πρίσμα, D4 και D5 - οι διαγώνιοι της βάσης.
Τα μήκη των διαγωνίων των πλευρών είναι ίσα μεταξύ τους. Είναι εύκολο να υπολογιστούν χρησιμοποιώντας το γνωστό Πυθαγόρειο θεώρημα. Έστω a το μήκος της πλευράς του εξαγώνου, b το μήκος της πλευρικής ακμής. Τότε η διαγώνιος έχει μήκος:
ΗD1=√(a2 + b2).
Διαγώνιος D4 είναι επίσης εύκολο να προσδιοριστεί. Αν θυμηθούμε ότι ένα κανονικό εξάγωνο ταιριάζει σε έναν κύκλο με ακτίνα a, τότε D4 είναι η διάμετρος αυτού του κύκλου, δηλαδή, παίρνουμε τον ακόλουθο τύπο:
D4=2a.
Διαγώνιος D5οι βάσεις είναι κάπως πιο δύσκολο να βρεθούν. Για να το κάνετε αυτό, θεωρήστε ένα ισόπλευρο τρίγωνο ABC (βλ. Εικ.). Για αυτόν AB=BC=a, η γωνία ABC είναι 120o. Αν χαμηλώσουμε το ύψος από αυτή τη γωνία (θα είναι επίσης η διχοτόμος και η διάμεσος), τότε το μισό της βάσης AC θα είναι ίσο με:
AC/2=ABsin(60o)=a√3/2.
Η πλευρά AC είναι η διαγώνιος του D5, οπότε παίρνουμε:
D5=AC=√3a.
Τώρα απομένει να βρούμε τις διαγώνιους D2και D3 ενός κανονικού εξαγωνικού πρίσματος. Για να γίνει αυτό, πρέπει να δείτε ότι είναι οι υποτείνουσες των αντίστοιχων ορθογωνίων τριγώνων. Χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα, παίρνουμε:
D2=√(D42+ β2)=√(4a2+ b2);
D3=√(D52+ β2)=√(3a2+ b2).
Έτσι, η μεγαλύτερη διαγώνιος για οποιεσδήποτε τιμές των a και b είναιΔ2.
Επιφάνεια
Για να κατανοήσετε τι διακυβεύεται, ο ευκολότερος τρόπος είναι να εξετάσετε την ανάπτυξη αυτού του πρίσματος. Φαίνεται στην εικόνα.
Μπορεί να φανεί ότι για να προσδιορίσετε το εμβαδόν όλων των πλευρών του υπό εξέταση σχήματος, είναι απαραίτητο να υπολογίσετε το εμβαδόν του τετραγώνου και το εμβαδόν του εξαγώνου χωριστά και στη συνέχεια να τα πολλαπλασιάσετε με τους αντίστοιχους ακέραιους αριθμούς ίσους με τον αριθμό κάθε n-γώνου στο πρίσμα και προσθέστε τα αποτελέσματα. Εξάγωνα 2, ορθογώνια 6.
Για το εμβαδόν ενός ορθογωνίου παίρνουμε:
S1=ab.
Τότε η πλευρική επιφάνεια είναι:
S2=6ab.
Για να προσδιορίσετε το εμβαδόν ενός εξαγώνου, ο ευκολότερος τρόπος είναι να χρησιμοποιήσετε τον αντίστοιχο τύπο, ο οποίος μοιάζει με:
S=n/4a2ctg(pi/n).
Αντικαθιστώντας τον αριθμό n ίσο με 6 σε αυτήν την έκφραση, παίρνουμε το εμβαδόν ενός εξαγώνου:
S6=6/4a2ctg(pi/6)=3√3/2a 2.
Αυτή η έκφραση πρέπει να πολλαπλασιαστεί επί δύο για να ληφθεί το εμβαδόν των βάσεων του πρίσματος:
Sos=3√3a2.
Απομένει να προσθέσετε Sos και S2 για να λάβετε τη συνολική επιφάνεια του σχήματος:
S=Sos+ S2=3√3a2+ 6ab=3a(√3a + 2b).
Τόμος πρίσματος
Μετά τον τύπο γιαπεριοχή μιας εξαγωνικής βάσης, ο υπολογισμός του όγκου που περιέχεται στο εν λόγω πρίσμα είναι τόσο εύκολος όσο το ξεφλούδισμα των αχλαδιών. Για να γίνει αυτό, απλά πρέπει να πολλαπλασιάσετε την περιοχή μιας βάσης (εξάγωνο) με το ύψος του σχήματος, το μήκος του οποίου είναι ίσο με το μήκος της πλευρικής άκρης. Παίρνουμε τον τύπο:
V=S6b=3√3/2a2β.
Σημειώστε ότι το γινόμενο της βάσης και του ύψους δίνει την τιμή του όγκου οποιουδήποτε απολύτως πρίσματος, συμπεριλαμβανομένου του λοξού. Ωστόσο, στην τελευταία περίπτωση, ο υπολογισμός του ύψους είναι περίπλοκος, αφού δεν θα είναι πλέον ίσο με το μήκος της πλευρικής πλευράς. Όσο για ένα κανονικό εξαγωνικό πρίσμα, η τιμή του όγκου του είναι συνάρτηση δύο μεταβλητών: των πλευρών a και b.
