Στο μάθημα της σχολικής γεωμετρίας, αφιερώνεται τεράστιος χρόνος στη μελέτη των τριγώνων. Οι μαθητές υπολογίζουν γωνίες, κατασκευάζουν διχοτόμους και ύψη, ανακαλύπτουν πώς διαφέρουν τα σχήματα μεταξύ τους και τον ευκολότερο τρόπο να βρουν το εμβαδόν και την περίμετρό τους. Φαίνεται ότι αυτό δεν είναι χρήσιμο με κανέναν τρόπο στη ζωή, αλλά μερικές φορές είναι ακόμα χρήσιμο να γνωρίζουμε, για παράδειγμα, πώς να προσδιορίσουμε ότι ένα τρίγωνο είναι ισόπλευρο ή αμβλύ. Πώς να το κάνετε;
Τύποι τριγώνων
Τρία σημεία που δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία και τα τμήματα που τα συνδέουν. Φαίνεται ότι αυτός ο αριθμός είναι ο απλούστερος. Πώς μπορεί να μοιάζουν τα τρίγωνα αν έχουν μόνο τρεις πλευρές; Μάλιστα, υπάρχει ένας αρκετά μεγάλος αριθμός επιλογών και σε ορισμένες από αυτές δίνεται ιδιαίτερη προσοχή στο πλαίσιο του μαθήματος της σχολικής γεωμετρίας. Ένα ισόπλευρο τρίγωνο είναι ισόπλευρο, δηλαδή όλες οι γωνίες και οι πλευρές του είναι ίσες. Έχει μια σειρά από αξιόλογες ιδιότητες, οι οποίες θα συζητηθούν αργότερα.
Το ισοσκελές έχει μόνο δύο ίσες πλευρές, και είναι επίσης αρκετά ενδιαφέρον. Σε ορθογώνια και αμβλεία τρίγωνα, όπως μπορείτε να μαντέψετε, αντίστοιχα, μία από τις γωνίες είναι ορθή ή αμβλεία. Στοαυτό μπορεί επίσης να είναι ισοσκελές.
Υπάρχει επίσης ένα ειδικό είδος τριγώνου που ονομάζεται Αιγυπτιακό. Οι πλευρές του είναι 3, 4 και 5 μονάδες. Ωστόσο, είναι ορθογώνιο. Πιστεύεται ότι ένα τέτοιο τρίγωνο χρησιμοποιήθηκε ενεργά από Αιγύπτιους τοπογράφους και αρχιτέκτονες για την κατασκευή ορθών γωνιών. Πιστεύεται ότι οι περίφημες πυραμίδες χτίστηκαν με τη βοήθειά του.
Κι όμως, όλες οι κορυφές ενός τριγώνου μπορούν να βρίσκονται σε μία ευθεία γραμμή. Σε αυτή την περίπτωση, θα ονομαστεί εκφυλισμένος, ενώ όλοι οι άλλοι ονομάζονται μη εκφυλισμένοι. Είναι ένα από τα θέματα μελέτης της γεωμετρίας.
Ισόπλευρο τρίγωνο
Φυσικά, τα σωστά νούμερα είναι πάντα τα πιο ενδιαφέροντα. Φαίνονται πιο τέλεια, πιο χαριτωμένα. Οι τύποι για τον υπολογισμό των χαρακτηριστικών τους είναι συχνά απλούστεροι και συντομότεροι από τους συνηθισμένους αριθμούς. Αυτό ισχύει και για τα τρίγωνα. Δεν προκαλεί έκπληξη το γεγονός ότι τους δίνεται μεγάλη προσοχή κατά τη μελέτη της γεωμετρίας: οι μαθητές διδάσκονται να διακρίνουν τις κανονικές φιγούρες από τις υπόλοιπες και επίσης να μιλούν για μερικά από τα ενδιαφέροντά τους χαρακτηριστικά.
Σήματα και ιδιότητες
Όπως μπορείτε να μαντέψετε από το όνομα, κάθε πλευρά ενός ισόπλευρου τριγώνου είναι ίση με τις άλλες δύο. Επιπλέον, έχει μια σειρά από χαρακτηριστικά, χάρη στα οποία είναι δυνατό να προσδιοριστεί εάν το σχήμα είναι σωστό ή όχι.
- όλες οι γωνίες του είναι ίσες, η τιμή τους είναι 60 μοίρες;
- οι διχοτόμοι, τα ύψη και οι διάμεσοι που λαμβάνονται από κάθε κορυφή είναι τα ίδια;
- Το κανονικό τρίγωνο έχει 3 άξονες συμμετρίας, αυτόδεν αλλάζει όταν περιστρέφεται 120 μοίρες.
- το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου είναι επίσης το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου και το σημείο τομής των διαμέτρων, των διχοτόμων, των υψών και των κάθετων διχοτόμων.
Αν παρατηρηθεί τουλάχιστον ένα από τα παραπάνω σημάδια, τότε το τρίγωνο είναι ισόπλευρο. Για ένα κανονικό σχήμα, όλες οι παραπάνω προτάσεις είναι αληθείς.
Όλα τα τρίγωνα έχουν μια σειρά από αξιόλογες ιδιότητες. Πρώτον, η μεσαία γραμμή, δηλαδή το τμήμα που χωρίζει τις δύο πλευρές στη μέση και παράλληλα με την τρίτη, ισούται με το μισό της βάσης. Δεύτερον, το άθροισμα όλων των γωνιών αυτού του σχήματος είναι πάντα ίσο με 180 μοίρες. Επιπλέον, υπάρχει μια άλλη ενδιαφέρουσα σχέση στα τρίγωνα. Έτσι, απέναντι από τη μεγαλύτερη πλευρά βρίσκεται μια μεγαλύτερη γωνία και το αντίστροφο. Αλλά αυτό, φυσικά, δεν έχει καμία σχέση με ένα ισόπλευρο τρίγωνο, γιατί όλες οι γωνίες του είναι ίσες.
Εγγεγραμμένοι και περιγεγραμμένοι κύκλοι
Δεν είναι ασυνήθιστο οι μαθητές σε ένα μάθημα γεωμετρίας να μαθαίνουν επίσης πώς τα σχήματα μπορούν να αλληλεπιδράσουν μεταξύ τους. Ειδικότερα, μελετώνται κύκλοι εγγεγραμμένοι σε πολύγωνα ή που περιγράφονται γύρω από αυτά. περί τίνος πρόκειται;
Ένας εγγεγραμμένος κύκλος είναι ένας κύκλος στον οποίο όλες οι πλευρές του πολυγώνου εφάπτονται. Περιγράφεται - αυτό που έχει σημεία επαφής με όλες τις γωνίες. Για κάθε τρίγωνο, είναι πάντα δυνατό να κατασκευαστεί τόσο ο πρώτος όσο και ο δεύτερος κύκλος, αλλά μόνο ένας από κάθε τύπο. Αποδεικτικά στοιχεία για αυτά τα δύο
Δίνονται θεωρήματαμάθημα σχολικής γεωμετρίας.
Εκτός από τον υπολογισμό των παραμέτρων των ίδιων των τριγώνων, ορισμένες εργασίες περιλαμβάνουν επίσης τον υπολογισμό των ακτίνων αυτών των κύκλων. Και οι τύποι για το ισόπλευρο τρίγωνο μοιάζουν με αυτό:
r=a/√ ̅3;
R=a/2√ ̅3;
όπου r είναι η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου, R είναι η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου, a είναι το μήκος της πλευράς του τριγώνου.
Υπολογισμός ύψους, περιμέτρου και εμβαδού
Οι κύριες παράμετροι, που υπολογίζονται από τους μαθητές κατά τη μελέτη της γεωμετρίας, παραμένουν αμετάβλητες για σχεδόν οποιοδήποτε σχήμα. Αυτά είναι η περίμετρος, το εμβαδόν και το ύψος. Για ευκολία στον υπολογισμό, υπάρχουν διάφοροι τύποι.
Έτσι, η περίμετρος, δηλαδή το μήκος όλων των πλευρών, υπολογίζεται με τους εξής τρόπους:
P=3a=3√ ̅3R=6√ ̅3r, όπου a είναι η πλευρά ενός κανονικού τριγώνου, R είναι η ακτίνα του κυκλικού κύκλου, r είναι ο εγγεγραμμένος κύκλος.
Ύψος:
h=(√ ̅3/2)a, όπου a είναι το μήκος της πλευράς.
Τέλος, ο τύπος για το εμβαδόν ενός ισόπλευρου τριγώνου προκύπτει από τον τυπικό τύπο, δηλαδή το γινόμενο της μισής βάσης και του ύψους της.
S=(√ ̅3/4)a2, όπου a είναι το μήκος της πλευράς.
Επίσης, αυτή η τιμή μπορεί να υπολογιστεί μέσω των παραμέτρων του περιγεγραμμένου ή εγγεγραμμένου κύκλου. Υπάρχουν επίσης ειδικοί τύποι για αυτό:
S=3√ ̅3r2=(3√ ̅3/4)R2, όπου r και R είναι αντίστοιχα το ακτίνες εγγεγραμμένοι και περιγεγραμμένοι κύκλοι.
Κτίριο
Ένα ακόμαΈνας ενδιαφέρον τύπος εργασίας, συμπεριλαμβανομένων των τριγώνων, σχετίζεται με την ανάγκη να σχεδιάσετε ένα ή άλλο σχήμα χρησιμοποιώντας το ελάχιστο σύνολο
εργαλεία: μια πυξίδα και ένας χάρακας χωρίς διαιρέσεις.
Χρειάζονται μερικά βήματα για να δημιουργήσετε ένα σωστό τρίγωνο μόνο με αυτά τα εργαλεία.
- Πρέπει να σχεδιάσετε έναν κύκλο με οποιαδήποτε ακτίνα και με κέντρο σε ένα αυθαίρετο σημείο Α. Πρέπει να σημειωθεί.
- Στη συνέχεια, πρέπει να χαράξετε μια ευθεία γραμμή σε αυτό το σημείο.
- Οι τομές ενός κύκλου και μιας ευθείας πρέπει να ορίζονται ως Β και Γ. Όλες οι κατασκευές πρέπει να εκτελούνται με τη μεγαλύτερη δυνατή ακρίβεια.
- Στη συνέχεια, πρέπει να δημιουργήσετε έναν άλλο κύκλο με την ίδια ακτίνα και κέντρο στο σημείο C ή ένα τόξο με τις κατάλληλες παραμέτρους. Οι διασταυρώσεις θα επισημαίνονται ως D και F.
- Τα σημεία B, F, D πρέπει να συνδέονται με τμήματα. Κατασκευάζεται ένα ισόπλευρο τρίγωνο.
Η επίλυση τέτοιων προβλημάτων είναι συνήθως πρόβλημα για τους μαθητές, αλλά αυτή η δεξιότητα μπορεί να είναι χρήσιμη στην καθημερινή ζωή.
