Πώς παράγεται το συνημιτονικό παράγωγο

2024 Συγγραφέας: Angel Austin | [email protected]. Τελευταία τροποποίηση: 2023-12-17 05:22

Η παράγωγος του συνημίτονου βρίσκεται κατ' αναλογία με την παράγωγο του ημιτόνου, η βάση της απόδειξης είναι ο ορισμός του ορίου της συνάρτησης. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε μια άλλη μέθοδο, χρησιμοποιώντας τους τύπους τριγωνομετρικής αναγωγής για το συνημίτονο και το ημίτονο των γωνιών. Εκφράστε μια συνάρτηση ως προς την άλλη - συνημίτονο ως προς το ημίτονο και διαφοροποιήστε το ημίτονο με ένα σύνθετο όρισμα.

Σκεφτείτε το πρώτο παράδειγμα εξαγωγής του τύπου (Cos(x))'

Δώστε μια αμελητέα μικρή αύξηση Δx στο όρισμα x της συνάρτησης y=Cos(x). Με μια νέα τιμή του ορίσματος х+Δх, λαμβάνουμε μια νέα τιμή της συνάρτησης Cos(х+Δх). Τότε η αύξηση της συνάρτησης Δy θα είναι ίση με Cos(х+Δx)-Cos(x).

Ο λόγος της αύξησης της συνάρτησης προς Δх θα είναι: (Cos(х+Δx)-Cos(x)) /Δχ. Ας πραγματοποιήσουμε πανομοιότυπους μετασχηματισμούς στον αριθμητή του κλάσματος που προκύπτει. Θυμηθείτε τον τύπο για τη διαφορά στα συνημίτονα των γωνιών, το αποτέλεσμα θα είναι το γινόμενο -2Sin (Δx / 2) επί Sin (x + Δx / 2). Βρίσκουμε το όριο του πηλίκου lim αυτού του γινομένου στο Δx καθώς το Δx τείνει στο μηδέν. Είναι γνωστό ότι το πρώτο(λέγεται υπέροχο) το όριο lim(Sin(Δx/2)/(Δx/2)) είναι ίσο με 1, και το όριο -Sin(x+Δx/2) είναι ίσο με -Sin(x) ως Δx τείνει στο μηδέν. Γράψτε το αποτέλεσμα: η παράγωγος του (Cos(x))' ισούται με - Sin(x).

Μερικοί άνθρωποι προτιμούν τον δεύτερο τρόπο εξαγωγής του ίδιου τύπου

Είναι γνωστό από το μάθημα της τριγωνομετρίας: Το Cos(x) είναι ίσο με Sin(0, 5 ∏-x), ομοίως το Sin(x) είναι ίσο με Cos(0, 5 ∏-x). Στη συνέχεια διαφοροποιούμε μια μιγαδική συνάρτηση - το ημίτονο της πρόσθετης γωνίας (αντί για το συνημίτονο x).

Λαμβάνουμε το γινόμενο Cos(0, 5 ∏-x) (0, 5 ∏-x)', επειδή η παράγωγος του ημιτόνου x είναι ίση με το συνημίτονο Χ. Περνάμε στον δεύτερο τύπο Sin(x)=Cos(0,5 ∏-x) αντικατάστασης συνημιτόνου με ημιτονο, λαμβάνοντας υπόψη ότι (0,5 ∏-x)'=-1. Τώρα παίρνουμε -Sin(x). Έτσι, βρέθηκε η παράγωγος του συνημίτονου, y'=-Sin(x) για τη συνάρτηση y=Cos(x).

Παράγωγος τετράγωνου συνημιτόνου

Ένα ευρέως χρησιμοποιούμενο παράδειγμα όπου χρησιμοποιείται το συνημίτονο παράγωγο. Η συνάρτηση y=Cos²(x) είναι σκληρή. Βρίσκουμε πρώτα το διαφορικό της συνάρτησης ισχύος με τον εκθέτη 2, θα είναι 2·Cos(x), μετά το πολλαπλασιάζουμε με την παράγωγο (Cos(x))', που ισούται με -Sin(x). Παίρνουμε y'=-2 Cos(x) Sin(x). Όταν εφαρμόσουμε τον τύπο Sin(2x), το ημίτονο διπλής γωνίας, παίρνουμε την τελική απλοποιημένηαπάντηση y'=-Sin(2x)

Υπερβολικές συναρτήσεις

Χρησιμοποιούνται στη μελέτη πολλών τεχνικών κλάδων: στα μαθηματικά, για παράδειγμα, διευκολύνουν τον υπολογισμό των ολοκληρωμάτων, τη λύση διαφορικών εξισώσεων. Εκφράζονται με όρους τριγωνομετρικών συναρτήσεων με φανταστικόόρισμα, άρα το υπερβολικό συνημίτονο ch(x)=Cos(i x), όπου i είναι η φανταστική μονάδα, το υπερβολικό ημίτονο sh(x)=Sin(i x).

Η παράγωγος του υπερβολικού συνημιτόνου υπολογίζεται πολύ απλά.

Σκεφτείτε τη συνάρτηση y=(e^x+e^-x) /2, αυτό και είναι το υπερβολικό συνημίτονο ch(x). Χρησιμοποιούμε τον κανόνα για την εύρεση της παραγώγου του αθροίσματος δύο παραστάσεων, τον κανόνα για την αφαίρεση του σταθερού παράγοντα (Const) από το πρόσημο της παραγώγου. Ο δεύτερος όρος 0,5 e^-x είναι μια σύνθετη συνάρτηση (η παράγωγός της είναι -0,5 e^-x), 0,5 e^х ― η πρώτη θητεία. (ch(x)) '=((e^x+e^-x)/2)' μπορεί να γραφτεί με άλλο τρόπο: (0, 5 e^x+0, 5 e^-x)'=0, 5 e ^x-0, 5 e^-x, επειδή το παράγωγο (e - x^{)' ισούται με -1 φορές e}-x^{. Το αποτέλεσμα είναι μια διαφορά, και αυτό είναι το υπερβολικό ημίτονο sh(x).}Έξοδος: (ch(x))'=sh(x).

Ας δούμε ένα παράδειγμα του τρόπου υπολογίστε την παράγωγο της συνάρτησης y=ch(x

3^+1).Σύμφωνα με τον κανόνα διαφοροποίησης του υπερβολικού συνημιτόνου με μιγαδικό όρισμα y'=sh(x

3^{+1) (x} 3^{+1)', όπου (x}3^{+1)'=3 x} 2^+0. Απάντηση: η παράγωγος αυτής της συνάρτησης είναι 3 x

2^sh(x3^+1).

Πίνακες παράγωγοι των εξεταζόμενων συναρτήσεων y=ch(x) και y=Cos(x)

Όταν λύνετε παραδείγματα, δεν χρειάζεται να τα διαφοροποιείτε κάθε φορά σύμφωνα με το προτεινόμενο σχήμα, αρκεί να χρησιμοποιήσετε το συμπέρασμα.

Παράδειγμα. Να διαφοροποιήσετε τη συνάρτηση y=Cos(x)+Cos²(-x)-Ch(5 x). Εύκολος υπολογισμός (χρήση δεδομένων πίνακα), y'=-Sin(x) +Sin(2 x)-5 Sh(5 x).