Μιγαδικοί αριθμοί: ορισμός και βασικές έννοιες

2024 Συγγραφέας: Angel Austin | [email protected]. Τελευταία τροποποίηση: 2023-12-17 05:22

Κατά τη μελέτη των ιδιοτήτων μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης, τέθηκε ένας περιορισμός - για ένα διακριτικό μικρότερο από το μηδέν, δεν υπάρχει λύση. Αμέσως ορίστηκε ότι μιλάμε για ένα σύνολο πραγματικών αριθμών. Το περίεργο μυαλό ενός μαθηματικού θα ενδιαφέρεται - ποιο είναι το μυστικό που περιέχεται στη ρήτρα σχετικά με τις πραγματικές τιμές;

Με την πάροδο του χρόνου, οι μαθηματικοί εισήγαγαν την έννοια των μιγαδικών αριθμών, όπου η υπό συνθήκη τιμή της δεύτερης ρίζας του μείον ένα λαμβάνεται ως μονάδα.

Ιστορικό υπόβαθρο

Η μαθηματική θεωρία αναπτύσσεται διαδοχικά, από απλή σε σύνθετη. Ας καταλάβουμε πώς προέκυψε η έννοια που ονομάζεται "σύνθετος αριθμός" και γιατί χρειάζεται.

Από αμνημονεύτων χρόνων, η βάση των μαθηματικών ήταν ο συνηθισμένος απολογισμός. Οι ερευνητές γνώριζαν μόνο το φυσικό σύνολο αξιών. Η πρόσθεση και η αφαίρεση ήταν απλές. Καθώς οι οικονομικές σχέσεις έγιναν πιο περίπλοκες, ο πολλαπλασιασμός άρχισε να χρησιμοποιείται αντί να προσθέτει τις ίδιες τιμές. Υπάρχει μια αντίστροφη λειτουργία σεπολλαπλασιασμός - διαίρεση.

Η έννοια του φυσικού αριθμού περιόρισε τη χρήση αριθμητικών πράξεων. Είναι αδύνατο να λυθούν όλα τα προβλήματα διαίρεσης στο σύνολο των ακεραίων τιμών. Η εργασία με τα κλάσματα οδήγησε πρώτα στην έννοια των ορθολογικών αξιών και μετά σε παράλογες αξίες. Εάν για το ορθολογικό είναι δυνατό να υποδειχθεί η ακριβής θέση του σημείου στη γραμμή, τότε για το παράλογο είναι αδύνατο να υποδειχθεί ένα τέτοιο σημείο. Μπορείτε μόνο να προσεγγίσετε το διάστημα. Η ένωση ορθολογικών και παράλογων αριθμών σχημάτισε ένα πραγματικό σύνολο, το οποίο μπορεί να αναπαρασταθεί ως μια ορισμένη ευθεία με μια δεδομένη κλίμακα. Κάθε βήμα κατά μήκος της γραμμής είναι ένας φυσικός αριθμός και μεταξύ τους υπάρχουν λογικές και παράλογες τιμές.

Η εποχή των θεωρητικών μαθηματικών έχει ξεκινήσει. Η ανάπτυξη της αστρονομίας, της μηχανικής, της φυσικής απαιτούσε τη λύση όλο και πιο περίπλοκων εξισώσεων. Γενικά, βρέθηκαν οι ρίζες της δευτεροβάθμιας εξίσωσης. Όταν έλυσαν ένα πιο σύνθετο κυβικό πολυώνυμο, οι επιστήμονες αντιμετώπισαν μια αντίφαση. Η έννοια της κυβικής ρίζας από ένα αρνητικό είναι λογική, αλλά για μια τετραγωνική ρίζα, προκύπτει αβεβαιότητα. Επιπλέον, η τετραγωνική εξίσωση είναι μόνο μια ειδική περίπτωση του κυβικού.

Το 1545, ο Ιταλός J. Cardano πρότεινε να εισαγάγει την έννοια του φανταστικού αριθμού.

Αυτός ο αριθμός είναι η δεύτερη ρίζα του μείον ένα. Ο όρος μιγαδικός αριθμός σχηματίστηκε τελικά μόλις τριακόσια χρόνια αργότερα, στα έργα του διάσημου μαθηματικού Gauss. Πρότεινε την τυπική επέκταση όλων των νόμων της άλγεβρας στον φανταστικό αριθμό. Η πραγματική γραμμή έχει επεκταθεί σεαεροπλάνα. Ο κόσμος είναι μεγαλύτερος.

Βασικές έννοιες

Ανάκληση ορισμένων συναρτήσεων που έχουν περιορισμούς στο πραγματικό σύνολο:

• y=arcsin(x), που ορίζεται μεταξύ αρνητικού και θετικού 1.
• y=ln(x), ο δεκαδικός λογάριθμος έχει νόημα με θετικά επιχειρήματα.
• τετραγωνική ρίζα y=√x, υπολογίζεται μόνο για x ≧ 0.

Δηλώνοντας i=√(-1), εισάγουμε μια τέτοια έννοια ως φανταστικό αριθμό, αυτό θα αφαιρέσει όλους τους περιορισμούς από τον τομέα ορισμού των παραπάνω συναρτήσεων. Εκφράσεις όπως y=arcsin(2), y=ln(-4), y=√(-5) έχουν νόημα σε κάποιο διάστημα μιγαδικών αριθμών.

Η αλγεβρική μορφή μπορεί να γραφτεί ως έκφραση z=x + i×y στο σύνολο των πραγματικών τιμών x και y, και i² =-1.

Η νέα έννοια καταργεί όλους τους περιορισμούς στη χρήση οποιασδήποτε αλγεβρικής συνάρτησης και μοιάζει με γράφημα ευθείας γραμμής σε συντεταγμένες πραγματικών και φανταστικών τιμών.

Πολύπλοκο αεροπλάνο

Η γεωμετρική μορφή των μιγαδικών αριθμών μας επιτρέπει οπτικά να αναπαραστήσουμε πολλές από τις ιδιότητές τους. Στον άξονα Re(z) σημειώνουμε τις πραγματικές τιμές x, στο Im(z) - τις φανταστικές τιμές του y, τότε το σημείο z στο επίπεδο θα εμφανίσει την απαιτούμενη μιγαδική τιμή.

Ορισμοί:

• Re(z) - πραγματικός άξονας.
• Im(z) - σημαίνει τον φανταστικό άξονα.
• z - υπό συνθήκη σημείο ενός μιγαδικού αριθμού.
• Η αριθμητική τιμή του μήκους του διανύσματος από το μηδέν στο z ονομάζεταιενότητα.
• Οι πραγματικοί και οι φανταστικοί άξονες χωρίζουν το επίπεδο σε τέταρτα. Με θετική τιμή των συντεταγμένων - Ι τέταρτο. Όταν το όρισμα του πραγματικού άξονα είναι μικρότερο από 0, και ο φανταστικός άξονας είναι μεγαλύτερος από 0 - II τέταρτο. Όταν οι συντεταγμένες είναι αρνητικές - III τρίμηνο. Το τελευταίο, τέταρτο τρίμηνο περιέχει πολλές θετικές πραγματικές τιμές και αρνητικές φανταστικές τιμές.

Έτσι, σε ένα επίπεδο με τιμές συντεταγμένων x και y, μπορούμε πάντα να απεικονίσουμε ένα σημείο ενός μιγαδικού αριθμού. Ο χαρακτήρας i εισάγεται για να διαχωρίσει το πραγματικό μέρος από το φανταστικό.

Ιδιότητες

1. Όταν η τιμή του φανταστικού ορίσματος είναι μηδέν, παίρνουμε μόνο έναν αριθμό (z=x), ο οποίος βρίσκεται στον πραγματικό άξονα και ανήκει στο πραγματικό σύνολο.
2. Ειδική περίπτωση όταν η τιμή του πραγματικού ορίσματος γίνεται μηδέν, η έκφραση z=i×y αντιστοιχεί στη θέση του σημείου στον φανταστικό άξονα.
3. Η γενική μορφή του z=x + i×y θα είναι για μη μηδενικές τιμές των ορισμάτων. Υποδεικνύει τη θέση του σημείου που χαρακτηρίζει τον μιγαδικό αριθμό σε ένα από τα τέταρτα.

Τριγωνομετρική σημειογραφία

Ανακαλέστε το πολικό σύστημα συντεταγμένων και τον ορισμό των τριγωνομετρικών συναρτήσεων sin και cos. Είναι προφανές ότι με τη βοήθεια αυτών των συναρτήσεων είναι δυνατό να περιγραφεί η θέση οποιουδήποτε σημείου στο επίπεδο. Για να γίνει αυτό, αρκεί να γνωρίζουμε το μήκος της πολικής δέσμης και τη γωνία κλίσης προς τον πραγματικό άξονα.

Ορισμός. Μια καταχώρηση της μορφής ∣z ∣ πολλαπλασιασμένη με το άθροισμα των τριγωνομετρικών συναρτήσεων cos(ϴ) και του φανταστικού μέρους i ×sin(ϴ) ονομάζεται τριγωνομετρικός μιγαδικός αριθμός. Εδώ ο προσδιορισμός είναι η γωνία κλίσης ως προς τον πραγματικό άξονα

ϴ=arg(z) και r=∣z∣, μήκος δοκού.

Από τον ορισμό και τις ιδιότητες των τριγωνομετρικών συναρτήσεων, ακολουθεί ένας πολύ σημαντικός τύπος Moivre:

zⁿ =r × (cos(n × ϴ) + i × sin(n × ϴ)).

Χρησιμοποιώντας αυτόν τον τύπο, είναι βολικό να λύσετε πολλά συστήματα εξισώσεων που περιέχουν τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Ειδικά όταν προκύπτει το πρόβλημα της άνοδος σε μια εξουσία.

Ενότητα και φάση

Για να ολοκληρώσουμε την περιγραφή ενός σύνθετου συνόλου, προτείνουμε δύο σημαντικούς ορισμούς.

Γνωρίζοντας το Πυθαγόρειο θεώρημα, είναι εύκολο να υπολογίσουμε το μήκος της δέσμης στο πολικό σύστημα συντεταγμένων.

r=∣z∣=√(x² + y²), μια τέτοια σημείωση σε ένα σύνθετο διάστημα ονομάζεται " ενότητα" και χαρακτηρίζει την απόσταση από το 0 έως ένα σημείο στο επίπεδο.

Η γωνία κλίσης της μιγαδικής δέσμης προς την πραγματική γραμμή ϴ ονομάζεται συνήθως φάση.

Ο ορισμός δείχνει ότι τα πραγματικά και τα φανταστικά μέρη περιγράφονται χρησιμοποιώντας κυκλικές συναρτήσεις. Δηλαδή:

• x=r × cos(ϴ);
• y=r × sin(ϴ);

Αντίστροφα, η φάση σχετίζεται με αλγεβρικές τιμές μέσω του τύπου:

ϴ=αρκτάν(x / y) + μ, εισάγεται διόρθωση μ για να ληφθεί υπόψη η περιοδικότητα των γεωμετρικών συναρτήσεων.

φόρμουλα Euler

Οι μαθηματικοί χρησιμοποιούν συχνά την εκθετική μορφή. Οι μιγαδικοί αριθμοί του επιπέδου γράφονται ως εκφράσεις

z=r × e^i×ϴ , που προκύπτει από τον τύπο Euler.

Αυτή η εγγραφή χρησιμοποιείται ευρέως για τον πρακτικό υπολογισμό φυσικών μεγεθών. Μορφή παρουσίασης στη φόρμαΟι εκθετικοί μιγαδικοί αριθμοί είναι ιδιαίτερα βολικοί για μηχανικούς υπολογισμούς, όπου καθίσταται απαραίτητος ο υπολογισμός κυκλωμάτων με ημιτονοειδή ρεύματα και είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε την τιμή των ολοκληρωμάτων συναρτήσεων με μια δεδομένη περίοδο. Οι ίδιοι οι υπολογισμοί χρησιμεύουν ως εργαλείο στο σχεδιασμό διαφόρων μηχανών και μηχανισμών.

Ορισμός πράξεων

Όπως έχει ήδη σημειωθεί, όλοι οι αλγεβρικοί νόμοι της εργασίας με βασικές μαθηματικές συναρτήσεις ισχύουν για μιγαδικούς αριθμούς.

Λειτουργία αθροίσματος

Όταν προσθέτουμε μιγαδικές τιμές, προστίθενται επίσης τα πραγματικά και τα φανταστικά τους μέρη.

z=z₁ + z₂ όπου z₁ και z2 _{- γενικοί μιγαδικοί αριθμοί. Μετασχηματίζοντας την έκφραση, αφού ανοίξουμε τις αγκύλες και απλοποιήσουμε τη σημείωση, παίρνουμε το πραγματικό όρισμα x=(x}1 _{+ x}2_{), το φανταστικό όρισμα y=(y 1} + y₂).

Στο γράφημα, μοιάζει με την προσθήκη δύο διανυσμάτων, σύμφωνα με τον γνωστό κανόνα του παραλληλογράμμου.

Λειτουργία αφαίρεσης

Θεωρείται ως ειδική περίπτωση πρόσθεσης, όταν ένας αριθμός είναι θετικός, ο άλλος είναι αρνητικός, δηλαδή βρίσκεται στο τέταρτο του καθρέφτη. Η αλγεβρική σημειογραφία μοιάζει με τη διαφορά μεταξύ πραγματικών και φανταστικών μερών.

z=z₁ - z₂, ή, λαμβάνοντας υπόψη τις τιμές των ορισμάτων, παρόμοια με την πρόσθεση πράξη, λαμβάνουμε για τις πραγματικές τιμές x=(x₁ - x₂) και φανταστική y=(y₁- y₂).

Πολλαπλασιασμός στο μιγαδικό επίπεδο

Χρησιμοποιώντας τους κανόνες για την εργασία με πολυώνυμα, εξάγουμε τον τύπογια επίλυση μιγαδικών αριθμών.

Ακολουθώντας τους γενικούς αλγεβρικούς κανόνες z=z₁×z₂, περιγράψτε κάθε όρισμα και απαριθμήστε παρόμοια. Τα πραγματικά και τα φανταστικά μέρη μπορούν να γραφτούν ως εξής:

• x=x₁ × x₂ - y₁ × y₂,
• y=x₁ × y₂ + x₂ × y _1.

Φαίνεται πιο όμορφο αν χρησιμοποιούμε εκθετικούς μιγαδικούς αριθμούς.

Η έκφραση μοιάζει με αυτό: z=z₁ × z₂ =r₁ × e^iϴ1 × r₂ × eiϴ2^=r1 _{× r2} × e_i(^ϴ1+ϴ2).

Περαιτέρω απλά, οι ενότητες πολλαπλασιάζονται και οι φάσεις προστίθενται.

Division

Όταν θεωρούμε τη λειτουργία της διαίρεσης ως το αντίστροφο του πολλαπλασιασμού, λαμβάνουμε μια απλή έκφραση σε εκθετικό συμβολισμό. Η διαίρεση της τιμής z₁ με z₂ είναι το αποτέλεσμα της διαίρεσης των μονάδων τους και της διαφοράς φάσης. Τυπικά, όταν χρησιμοποιείται η εκθετική μορφή μιγαδικών αριθμών, μοιάζει με αυτό:

z=z₁ / z₂ =r₁ × e ^iϴ1 / r₂ × e^{i ϴ2}=r₁ / r_{2× e}i(ϴ1-ϴ 2).

Με τη μορφή αλγεβρικής σημειογραφίας, η λειτουργία της διαίρεσης των αριθμών του μιγαδικού επιπέδου γράφεται λίγο πιο περίπλοκη:

z=z₁ / z_2.

Περιγράφοντας ορίσματα και εκτελώντας πολυωνυμικούς μετασχηματισμούς, είναι εύκολο να ληφθούν τιμέςx=x₁ × x₂ + y₁ × y₂, αντίστοιχα y=x₂ × y₁ - x₁ × y₂ , ωστόσο, εντός του περιγραφόμενου χώρου, αυτή η έκφραση έχει νόημα εάν z₂ ≠ 0.

Εξαγωγή της ρίζας

Όλα τα παραπάνω μπορούν να εφαρμοστούν κατά τον ορισμό πιο σύνθετων αλγεβρικών συναρτήσεων - αύξηση σε οποιαδήποτε δύναμη και αντίστροφη σε αυτήν - εξαγωγή της ρίζας.

Χρησιμοποιώντας τη γενική έννοια της αύξησης στην ισχύ n, έχουμε τον ορισμό:

zⁿ =(r × e^iϴ).

Χρησιμοποιώντας κοινές ιδιότητες, ξαναγράψτε ως:

zⁿ =rⁿ × e^iϴ.

Έχουμε έναν απλό τύπο για την αύξηση ενός μιγαδικού αριθμού σε δύναμη.

Από τον ορισμό του πτυχίου παίρνουμε μια πολύ σημαντική συνέπεια. Η άρτια ισχύς της φανταστικής μονάδας είναι πάντα 1. Κάθε περιττή ισχύς της φανταστικής μονάδας είναι πάντα -1.

Τώρα ας μελετήσουμε την αντίστροφη συνάρτηση - εξαγωγή της ρίζας.

Για ευκολία σημειογραφίας, ας πάρουμε n=2. Η τετραγωνική ρίζα w της μιγαδικής τιμής z στο μιγαδικό επίπεδο C θεωρείται ότι είναι η έκφραση z=±, έγκυρη για οποιοδήποτε πραγματικό όρισμα μεγαλύτερο ή ίσο με μηδέν. Για w ≦ 0, δεν υπάρχει λύση.

Ας δούμε την απλούστερη τετραγωνική εξίσωση z² =1. Χρησιμοποιώντας τύπους μιγαδικών αριθμών, ξαναγράψτε r² × e^i2ϴ =r² × e^i2ϴ=ei0^{. Μπορεί να φανεί από την εγγραφή ότι r}2 ^{=1 και ϴ=0, επομένως, έχουμε μια μοναδική λύση ίση με 1. Αλλά αυτό έρχεται σε αντίθεση με την ιδέα ότι το z=-1 ταιριάζει επίσης στον ορισμό της τετραγωνικής ρίζας.}

Ας καταλάβουμε τι δεν λαμβάνουμε υπόψη. Αν θυμηθούμε τον τριγωνομετρικό συμβολισμό, τότε επαναφέρουμε τη δήλωση - με περιοδική αλλαγή στη φάση ϴ, ο μιγαδικός αριθμός δεν αλλάζει. Έστω p η τιμή της περιόδου, τότε έχουμε r² × e^i2ϴ =ei(0+p)^{, απ' όπου 2ϴ=0 + p, ή ϴ=p / 2. Επομένως, e}i0 ^{=1 και e}i^p/2 =-1. Πήραμε τη δεύτερη λύση, η οποία αντιστοιχεί στη γενική κατανόηση της τετραγωνικής ρίζας.

Έτσι, για να βρούμε μια αυθαίρετη ρίζα ενός μιγαδικού αριθμού, θα ακολουθήσουμε τη διαδικασία.

• Γράψτε την εκθετική μορφή w=∣w∣ × e^i(arg (w) + πκ), το k είναι ένας αυθαίρετος ακέραιος αριθμός.
• Ο επιθυμητός αριθμός αντιπροσωπεύεται επίσης στη μορφή Euler z=r × e^iϴ.
• Χρησιμοποιήστε τον γενικό ορισμό της συνάρτησης εξαγωγής ρίζας r eⁱ ϴ ^{=∣w∣ × e}i(arg(w) + pk).
• Από τις γενικές ιδιότητες της ισότητας των μονάδων και των ορισμάτων, γράφουμε rⁿ =∣w∣ και nϴ=arg (w) + p×k.
• Η τελική εγγραφή της ρίζας ενός μιγαδικού αριθμού περιγράφεται με τον τύπο z=√∣w∣ × e^{i ( arg} (w) + σελ. ^{) /} .
• Σημείωση. Η τιμή του ∣w∣, εξ ορισμού,είναι ένας θετικός πραγματικός αριθμός, επομένως η ρίζα οποιουδήποτε βαθμού έχει νόημα.

Πεδίο και σύζευξη

Συμπερασματικά, δίνουμε δύο σημαντικούς ορισμούς που έχουν μικρή σημασία για την επίλυση εφαρμοσμένων προβλημάτων με μιγαδικούς αριθμούς, αλλά είναι ουσιαστικοί για την περαιτέρω ανάπτυξη της μαθηματικής θεωρίας.

Οι εκφράσεις για πρόσθεση και πολλαπλασιασμό λέγεται ότι σχηματίζουν ένα πεδίο εάν ικανοποιούν τα αξιώματα για οποιαδήποτε στοιχεία του μιγαδικού επιπέδου z:

1. Το μιγαδικό άθροισμα δεν αλλάζει από την αλλαγή θέσεων σύνθετων όρων.
2. Η πρόταση είναι αληθής - σε μια σύνθετη παράσταση, οποιοδήποτε άθροισμα δύο αριθμών μπορεί να αντικατασταθεί από την τιμή τους.
3. Υπάρχει μια ουδέτερη τιμή 0 για την οποία ισχύει z + 0=0 + z=z.
4. Για κάθε z υπάρχει αντίθετο - z, η πρόσθεση στο οποίο δίνει μηδέν.
5. Όταν αλλάζετε θέσεις σύνθετων παραγόντων, το σύνθετο προϊόν δεν αλλάζει.
6. Ο πολλαπλασιασμός οποιωνδήποτε δύο αριθμών μπορεί να αντικατασταθεί από την τιμή τους.
7. Υπάρχει μια ουδέτερη τιμή 1, ο πολλαπλασιασμός με την οποία δεν αλλάζει τον μιγαδικό αριθμό.
8. Για κάθε z ≠ 0, υπάρχει ένα αντίστροφο του z^-1, το οποίο πολλαπλασιάζεται επί 1.
9. Ο πολλαπλασιασμός του αθροίσματος δύο αριθμών με ένα τρίτο ισοδυναμεί με τη λειτουργία του πολλαπλασιασμού του καθενός από αυτούς με αυτόν τον αριθμό και της πρόσθεσης των αποτελεσμάτων.
10. 0 ≠ 1.

Οι αριθμοί z₁ =x + i×y και z₂ =x - i×y ονομάζονται συζυγείς.

Θεώρημα. Για τη σύζευξη, η πρόταση είναι αληθής:

• Η σύζευξη του αθροίσματος είναι ίση με το άθροισμα των συζευγμένων στοιχείων.
• Το συζυγές του προϊόντος είναιγινόμενο των συζεύξεων.
• Η σύζευξη της σύζευξης είναι ίση με τον ίδιο τον αριθμό.

Στη γενική άλγεβρα, τέτοιες ιδιότητες ονομάζονται αυτομορφισμοί πεδίου.

Παραδείγματα

Ακολουθώντας τους δεδομένους κανόνες και τύπους μιγαδικών αριθμών, μπορείτε εύκολα να λειτουργήσετε με αυτούς.

Ας εξετάσουμε τα πιο απλά παραδείγματα.

Πρόβλημα 1. Χρησιμοποιώντας την εξίσωση 3y +5 x i=15 - 7i, προσδιορίστε τα x και y.

Απόφαση. Θυμηθείτε τον ορισμό των μιγαδικών ισοτήτων, μετά 3y=15, 5x=-7. Επομένως, x=-7 / 5, y=5.

Εργασία 2. Υπολογίστε τις τιμές 2 + i²⁸ και 1 + i¹³⁵.

Απόφαση. Προφανώς, το 28 είναι ένας ζυγός αριθμός, από τη συνέπεια του ορισμού ενός μιγαδικού αριθμού στη δύναμη που έχουμε i²⁸ =1, που σημαίνει ότι η παράσταση 2 + i ²⁸ =3. Η δεύτερη τιμή, i¹³⁵ =-1, μετά 1 + i¹³⁵ =0.

Εργασία 3. Υπολογίστε το γινόμενο των τιμών 2 + 5i και 4 + 3i.

Απόφαση. Από τις γενικές ιδιότητες του πολλαπλασιασμού των μιγαδικών αριθμών, προκύπτει (2 + 5i)X(4 + 3i)=8 - 15 + i(6 + 20). Η νέα τιμή θα είναι -7 + 26i.

Εργασία 4. Υπολογίστε τις ρίζες της εξίσωσης z³ =-i.

Απόφαση. Υπάρχουν διάφοροι τρόποι για να βρείτε έναν μιγαδικό αριθμό. Ας εξετάσουμε ένα από τα πιθανά. Εξ ορισμού, ∣ - i∣=1, η φάση για -i είναι -p / 4. Η αρχική εξίσωση μπορεί να ξαναγραφτεί ως r³eⁱ3ϴ ^=e-p/4+pk^{, από όπου z=e}-p / 12 + pk/3^{, για οποιονδήποτε ακέραιο k.}

Το σύνολο λύσεων έχει τη μορφή (e^-ip/12,e^ip/4, e^{i2 p/3}).

Γιατί χρειαζόμαστε μιγαδικούς αριθμούς

Η Ιστορία γνωρίζει πολλά παραδείγματα όταν οι επιστήμονες, που εργάζονται πάνω σε μια θεωρία, δεν σκέφτονται καν την πρακτική εφαρμογή των αποτελεσμάτων τους. Τα μαθηματικά είναι πρώτα απ' όλα ένα παιχνίδι του μυαλού, μια αυστηρή τήρηση των σχέσεων αιτίου-αποτελέσματος. Σχεδόν όλες οι μαθηματικές κατασκευές περιορίζονται στην επίλυση ολοκληρωτικών και διαφορικών εξισώσεων, και αυτές, με τη σειρά τους, με κάποια προσέγγιση, λύνονται με την εύρεση των ριζών των πολυωνύμων. Εδώ συναντάμε πρώτα το παράδοξο των φανταστικών αριθμών.

Επιστήμονες φυσιοδίφες, λύνοντας εντελώς πρακτικά προβλήματα, καταφεύγοντας σε λύσεις διαφόρων εξισώσεων, ανακαλύπτουν μαθηματικά παράδοξα. Η ερμηνεία αυτών των παραδόξων οδηγεί σε απολύτως εκπληκτικές ανακαλύψεις. Η διπλή φύση των ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων είναι ένα τέτοιο παράδειγμα. Οι μιγαδικοί αριθμοί παίζουν καθοριστικό ρόλο στην κατανόηση των ιδιοτήτων τους.

Αυτό, με τη σειρά του, έχει βρει πρακτική εφαρμογή στην οπτική, την ραδιοηλεκτρονική, την ενέργεια και πολλούς άλλους τεχνολογικούς τομείς. Ένα άλλο παράδειγμα, πολύ πιο δύσκολο να κατανοηθούν φυσικά φαινόμενα. Η αντιύλη είχε προβλεφθεί στην άκρη ενός στυλό. Και μόνο πολλά χρόνια αργότερα, αρχίζουν οι προσπάθειες φυσικής σύνθεσής του.

Μην νομίζετε ότι μόνο στη φυσική υπάρχουν τέτοιες καταστάσεις. Όχι λιγότερο ενδιαφέρουσες ανακαλύψεις γίνονται στην άγρια ζωή, στη σύνθεση μακρομορίων, κατά τη μελέτη της τεχνητής νοημοσύνης. Και είναι όλα χάρη σεδιεύρυνση της συνείδησής μας, απομακρυνόμενοι από την απλή πρόσθεση και αφαίρεση φυσικών τιμών.