Ο γεωμετρικός σχηματισμός, που ονομάζεται υπερβολή, είναι ένα επίπεδο σχήμα καμπύλης δεύτερης τάξης, που αποτελείται από δύο καμπύλες που σχεδιάζονται χωριστά και δεν τέμνονται. Ο μαθηματικός τύπος για την περιγραφή του μοιάζει με αυτό: y=k/x, εάν ο αριθμός κάτω από τον δείκτη k δεν είναι ίσος με μηδέν. Με άλλα λόγια, οι κορυφές της καμπύλης τείνουν συνεχώς στο μηδέν, αλλά δεν θα τέμνονται ποτέ μαζί της. Από την άποψη της κατασκευής σημείου, μια υπερβολή είναι το άθροισμα των σημείων σε ένα επίπεδο. Κάθε τέτοιο σημείο χαρακτηρίζεται από μια σταθερή τιμή του συντελεστή της διαφοράς μεταξύ της απόστασης από δύο εστιακά κέντρα.
Μια επίπεδη καμπύλη διακρίνεται από τα κύρια χαρακτηριστικά που είναι μοναδικά σε αυτήν:
- Μια υπερβολή είναι δύο ξεχωριστές γραμμές που ονομάζονται κλάδοι.
- Το κέντρο του σχήματος βρίσκεται στο μέσο του άξονα υψηλής τάξης.
- Μια κορυφή είναι ένα σημείο δύο κλάδων που βρίσκονται πιο κοντά ο ένας στον άλλο.
- Η εστιακή απόσταση αναφέρεται στην απόσταση από το κέντρο της καμπύλης σε μία από τις εστίες (που συμβολίζεται με το γράμμα "c").
- Ο κύριος άξονας της υπερβολής περιγράφει τη μικρότερη απόσταση μεταξύ διακλαδώσεων-γραμμών.
- Οι εστίες βρίσκονται στον κύριο άξονα με την ίδια απόσταση από το κέντρο της καμπύλης. Η γραμμή που υποστηρίζει τον κύριο άξονα ονομάζεταιεγκάρσιος άξονας.
- Ο ημι-κύριος άξονας είναι η εκτιμώμενη απόσταση από το κέντρο της καμπύλης σε μία από τις κορυφές (που υποδεικνύεται με το γράμμα "a").
-
χτίζοντας μια υπερβολή Μια ευθεία γραμμή που διέρχεται κάθετα στον εγκάρσιο άξονα μέσω του κέντρου της ονομάζεται συζυγής άξονας.
- Η εστιακή παράμετρος καθορίζει το τμήμα μεταξύ της εστίας και της υπερβολής, κάθετο στον εγκάρσιο άξονά της.
- Η απόσταση μεταξύ της εστίασης και της ασύμπτωτης ονομάζεται παράμετρος κρούσης και συνήθως κωδικοποιείται σε τύπους κάτω από το γράμμα "b".
Στις κλασικές καρτεσιανές συντεταγμένες, η γνωστή εξίσωση που καθιστά δυνατή την κατασκευή μιας υπερβολής μοιάζει με αυτό: (x2/a2) – (y 2/b2)=1. Ο τύπος καμπύλης που έχει τους ίδιους ημιάξονες ονομάζεται ισοσκελές. Σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων, μπορεί να περιγραφεί με μια απλή εξίσωση: xy=a2/2, και οι εστίες της υπερβολής πρέπει να βρίσκονται στα σημεία τομής (a, a) και (− a, −a).
Σε κάθε καμπύλη μπορεί να υπάρχει μια παράλληλη υπερβολή. Αυτή είναι η συζυγής εκδοχή του, στην οποία οι άξονες αντιστρέφονται και οι ασύμπτωτες παραμένουν στη θέση τους. Η οπτική ιδιότητα του σχήματος είναι ότι το φως από μια φανταστική πηγή σε μια εστία μπορεί να ανακλάται από τον δεύτερο κλάδο και να τέμνεται στη δεύτερη εστία. Οποιοδήποτε σημείο μιας δυνητικής υπερβολής έχει μια σταθερή αναλογία της απόστασης προς οποιαδήποτε εστία προς την απόσταση από την ευθεία. Μια τυπική επίπεδη καμπύλη μπορεί να εμφανίζει τόσο κατοπτρική όσο και περιστροφική συμμετρία όταν περιστρέφεται 180° μέσω του κέντρου.
Η εκκεντρότητα της υπερβολής καθορίζεται από το αριθμητικό χαρακτηριστικό της κωνικής τομής, το οποίο δείχνει τον βαθμό απόκλισης της τομής από τον ιδανικό κύκλο. Στους μαθηματικούς τύπους, αυτός ο δείκτης συμβολίζεται με το γράμμα "e". Η εκκεντρότητα είναι συνήθως αμετάβλητη ως προς την κίνηση του επιπέδου και τη διαδικασία μετασχηματισμών της ομοιότητάς του. Μια υπερβολή είναι ένα σχήμα στο οποίο η εκκεντρότητα είναι πάντα ίση με την αναλογία μεταξύ της εστιακής απόστασης και του κύριου άξονα.
