Η αυστηρή απαγόρευση της διαίρεσης με το μηδέν επιβάλλεται ακόμη και στις κατώτερες τάξεις του σχολείου. Τα παιδιά συνήθως δεν σκέφτονται τους λόγους του, αλλά το να γνωρίζουν πραγματικά γιατί κάτι απαγορεύεται είναι και ενδιαφέρον και χρήσιμο.
Αριθμητικές πράξεις
Οι αριθμητικές πράξεις που μελετώνται στο σχολείο είναι άνισες από την άποψη των μαθηματικών. Αναγνωρίζουν ως πλήρεις μόνο δύο από αυτές τις πράξεις - πρόσθεση και πολλαπλασιασμό. Περιλαμβάνονται στην ίδια την έννοια του αριθμού και όλες οι άλλες πράξεις με αριθμούς στηρίζονται κατά κάποιο τρόπο σε αυτά τα δύο. Δηλαδή, όχι μόνο η διαίρεση με το μηδέν είναι αδύνατη, αλλά η διαίρεση γενικά.
Αφαίρεση και διαίρεση
Τι άλλο λείπει; Και πάλι, είναι γνωστό από το σχολείο ότι, για παράδειγμα, αφαιρώντας τέσσερα από τα επτά, σημαίνει ότι παίρνεις επτά γλυκά, τρως τέσσερα από αυτά και μετράς όσα έχουν απομείνει. Όμως οι μαθηματικοί δεν λύνουν προβλήματα τρώγοντας γλυκά και γενικά τα αντιλαμβάνονται με εντελώς διαφορετικό τρόπο. Για αυτούς υπάρχει μόνο πρόσθεση, δηλαδή το λήμμα 7 - 4 σημαίνει έναν αριθμό που συνολικά με τον αριθμό 4 θα είναι ίσος με 7. Δηλαδή για τους μαθηματικούς το 7 - 4 είναι μια σύντομη εγγραφή της εξίσωσης: x + 4=7. Αυτό δεν είναι αφαίρεση, αλλά εργασία - βρείτε τον αριθμό που θα αντικαταστήσετε το x.
ΊδιοΤο ίδιο ισχύει και για τη διαίρεση και τον πολλαπλασιασμό. Διαιρώντας δέκα με δύο, ο μαθητής του δημοτικού σχολείου τακτοποιεί δέκα ζαχαρωτά σε δύο όμοιες στοίβες. Ο μαθηματικός βλέπει επίσης την εξίσωση εδώ: 2 x=10.
Έτσι, αποδεικνύεται γιατί απαγορεύεται η διαίρεση με το μηδέν: είναι απλά αδύνατο. Η εγγραφή 6: 0 πρέπει να μετατραπεί στην εξίσωση 0 x=6. Δηλαδή, πρέπει να βρείτε έναν αριθμό που μπορεί να πολλαπλασιαστεί με το μηδέν και να πάρετε το 6. Αλλά είναι γνωστό ότι ο πολλαπλασιασμός με το μηδέν δίνει πάντα μηδέν. Αυτή είναι η βασική ιδιότητα του μηδενός.
Έτσι, δεν υπάρχει τέτοιος αριθμός, ο οποίος, πολλαπλασιαζόμενος με το μηδέν, θα έδινε κάποιον άλλο αριθμό εκτός από το μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι αυτή η εξίσωση δεν έχει λύση, δεν υπάρχει τέτοιος αριθμός που να συσχετίζεται με τον συμβολισμό 6: 0, δηλαδή δεν έχει νόημα. Λέγεται ότι δεν έχει νόημα όταν απαγορεύεται η διαίρεση με το μηδέν.
Το μηδέν διαιρείται με το μηδέν;
Μπορεί το μηδέν να διαιρεθεί με το μηδέν; Η εξίσωση 0 x=0 δεν προκαλεί δυσκολίες, και μπορείτε να πάρετε το ίδιο μηδέν για το x και να πάρετε 0 x 0=0. Τότε 0: 0=0; Αλλά, εάν, για παράδειγμα, πάρουμε ένα για το x, θα βγει επίσης 0 1=0. Μπορείτε να πάρετε όποιον αριθμό θέλετε για το x και να διαιρέσετε με το μηδέν, και το αποτέλεσμα θα παραμείνει το ίδιο: 0: 0=9, 0: 0=51 και ούτω καθεξής.
Έτσι, σε αυτήν την εξίσωση μπορεί να εισαχθεί απολύτως οποιοσδήποτε αριθμός, και είναι αδύνατο να διαλέξετε κάποιον συγκεκριμένο αριθμό, είναι αδύνατο να προσδιορίσετε ποιος αριθμός υποδεικνύεται με τον συμβολισμό 0: 0. Δηλαδή, αυτός ο συμβολισμός κάνει επίσης δεν έχει νόημα, και η διαίρεση με το μηδέν εξακολουθεί να είναι αδύνατη: δεν διαιρείται καν από μόνη της.
Τόσο σημαντικόένα χαρακτηριστικό της πράξης διαίρεσης, δηλαδή ο πολλαπλασιασμός και ο αριθμός μηδέν που σχετίζεται με αυτόν.
Το ερώτημα παραμένει: γιατί είναι αδύνατο να διαιρέσουμε με το μηδέν, αλλά να το αφαιρέσουμε; Μπορούμε να πούμε ότι τα πραγματικά μαθηματικά ξεκινούν με αυτήν την ενδιαφέρουσα ερώτηση. Για να βρείτε την απάντηση σε αυτό, πρέπει να γνωρίζετε τους επίσημους μαθηματικούς ορισμούς των αριθμητικών συνόλων και να εξοικειωθείτε με τις πράξεις σε αυτά. Για παράδειγμα, δεν υπάρχουν μόνο πρώτοι, αλλά και μιγαδικοί αριθμοί, η διαίρεση των οποίων διαφέρει από τη διαίρεση των συνηθισμένων. Αυτό δεν αποτελεί μέρος του σχολικού προγράμματος σπουδών, αλλά οι πανεπιστημιακές διαλέξεις στα μαθηματικά ξεκινούν με αυτό.
