Μέση και στιγμιαία επιτάχυνση και ταχύτητα. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ τυποι. Παράδειγμα εργασίας

2024 Συγγραφέας: Angel Austin | [email protected]. Τελευταία τροποποίηση: 2023-12-17 05:22

Στη φυσική, η κινηματική ασχολείται με την εξέταση των χαρακτηριστικών κίνησης των μακροσκοπικών στερεών. Αυτός ο κλάδος της μηχανικής λειτουργεί με έννοιες όπως η ταχύτητα, η επιτάχυνση και η διαδρομή. Σε αυτό το άρθρο, θα επικεντρωθούμε στις ερωτήσεις σχετικά με το τι είναι στιγμιαία επιτάχυνση και ταχύτητα. Θα εξετάσουμε επίσης ποιοι τύποι μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τον προσδιορισμό αυτών των ποσοτήτων.

Ταχύτητα εύρεσης

Αυτή η έννοια είναι γνωστή σε κάθε μαθητή, ξεκινώντας από τις τάξεις του δημοτικού. Όλοι οι μαθητές είναι εξοικειωμένοι με τον παρακάτω τύπο:

v=S/t.

Εδώ S είναι η διαδρομή που καλύπτεται από το κινούμενο σώμα στο χρόνο t. Αυτή η έκφραση σάς επιτρέπει να υπολογίσετε κάποια μέση ταχύτητα v. Πράγματι, δεν γνωρίζουμε πώς κινήθηκε το σώμα, σε ποιο μέρος της διαδρομής κινήθηκε πιο γρήγορα και σε ποιο πιο αργά. Δεν αποκλείεται μάλιστα κάποια στιγμή στη διαδρομή να ήταν σε ηρεμία για αρκετή ώρα. Το μόνο γνωστό είναι η απόσταση που διανύθηκε και η αντίστοιχηχρονικό διάστημα.

Στο γυμνάσιο, η ταχύτητα ως φυσική ποσότητα φαίνεται υπό νέο πρίσμα. Προσφέρεται στους μαθητές ο ακόλουθος ορισμός:

v=dS/dt.

Για να κατανοήσετε αυτήν την έκφραση, πρέπει να ξέρετε πώς υπολογίζεται η παράγωγος κάποιας συνάρτησης. Σε αυτή την περίπτωση, είναι S(t). Εφόσον η παράγωγος χαρακτηρίζει τη συμπεριφορά της καμπύλης σε αυτό το συγκεκριμένο σημείο, η ταχύτητα που υπολογίζεται από τον παραπάνω τύπο ονομάζεται στιγμιαία.

Επιτάχυνση

Αν η μηχανική κίνηση είναι μεταβλητή, τότε για να την περιγράψουμε με ακρίβεια, είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε όχι μόνο την ταχύτητα, αλλά και την τιμή που δείχνει πώς αλλάζει στο χρόνο. Αυτή είναι η επιτάχυνση, η οποία είναι η χρονική παράγωγος της ταχύτητας. Και αυτό, με τη σειρά του, είναι το παράγωγο σε σχέση με τον χρόνο ταξιδιού. Ο τύπος για τη στιγμιαία επιτάχυνση είναι:

a=dv/dt.

Λόγω αυτής της ισότητας, είναι δυνατός ο προσδιορισμός της μεταβολής της τιμής του v σε οποιοδήποτε σημείο της τροχιάς.

Παρόμοια με την ταχύτητα, η μέση επιτάχυνση υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον ακόλουθο τύπο:

a=Δv/Δt.

Εδώ Δv είναι η μεταβολή του συντελεστή της ταχύτητας του σώματος σε μια χρονική περίοδο Δt. Είναι προφανές ότι κατά τη διάρκεια αυτής της περιόδου το σώμα είναι ικανό τόσο για επιτάχυνση όσο και για επιβράδυνση. Η τιμή του a, που προσδιορίζεται από την παραπάνω έκφραση, θα δείχνει μόνο τον ρυθμό μεταβολής της ταχύτητας κατά μέσο όρο.

Κίνηση με σταθερή επιτάχυνση

Ένα ξεχωριστό χαρακτηριστικό αυτού του τύπου κίνησης των σωμάτων στο διάστημαείναι η σταθερότητα της τιμής a, δηλαδή a=const.

Αυτή η κίνηση ονομάζεται επίσης ομοιόμορφα επιταχυνόμενη ή ομοιόμορφα επιβραδυνόμενη ανάλογα με την αμοιβαία κατεύθυνση των διανυσμάτων ταχύτητας και επιτάχυνσης. Παρακάτω, θα εξετάσουμε μια τέτοια κίνηση χρησιμοποιώντας το παράδειγμα των δύο πιο κοινών τροχιών: μιας ευθείας γραμμής και ενός κύκλου.

Όταν κινείστε σε ευθεία γραμμή κατά τη διάρκεια μιας ομοιόμορφα επιταχυνόμενης κίνησης, η στιγμιαία ταχύτητα και επιτάχυνση, καθώς και η απόσταση που διανύθηκε, σχετίζονται με τις ακόλουθες ισότητες:

v=v₀± at;

S=v₀t ± at²/2.

Εδώ v₀ είναι η τιμή της ταχύτητας που είχε το σώμα πριν από την επιτάχυνση α. Ας σημειώσουμε μια απόχρωση. Για αυτό το είδος κίνησης, δεν έχει νόημα να μιλάμε για στιγμιαία επιτάχυνση, αφού η ίδια θα είναι σε οποιοδήποτε σημείο της τροχιάς. Με άλλα λόγια, οι στιγμιαίες και οι μέσες τιμές του θα είναι ίσες μεταξύ τους.

Όσον αφορά την ταχύτητα, η πρώτη έκφραση σάς επιτρέπει να την προσδιορίσετε ανά πάσα στιγμή. Δηλαδή, θα είναι ένας στιγμιαίος δείκτης. Για να υπολογίσετε τη μέση ταχύτητα, πρέπει να χρησιμοποιήσετε την παραπάνω έκφραση, δηλαδή:

v=S/t=v₀± a(t₁+ t_2)/2.

Εδώ t₁ και t₂ είναι οι χρόνοι μεταξύ των οποίων υπολογίζεται η μέση ταχύτητα.

Το σύμβολο συν σε όλους τους τύπους αντιστοιχεί σε επιταχυνόμενη κίνηση. Κατά συνέπεια, το σύμβολο μείον - αργό.

Όταν μελετάτε την κίνηση σε κύκλο μεσταθερή επιτάχυνση στη φυσική, χρησιμοποιούνται γωνιακά χαρακτηριστικά που είναι παρόμοια με τα αντίστοιχα γραμμικά. Αυτές περιλαμβάνουν τη γωνία περιστροφής θ, τη γωνιακή ταχύτητα και την επιτάχυνση (ω και α). Αυτές οι ποσότητες σχετίζονται σε ισότητες παρόμοιες με τις εκφράσεις για ομοιόμορφα επιταχυνόμενη κίνηση σε ευθεία γραμμή, οι οποίες δίνονται παρακάτω:

ω=ω₀± αt;

θ=ω₀t ± αt²/2.

Σε αυτήν την περίπτωση, τα γωνιακά χαρακτηριστικά σχετίζονται με τα γραμμικά ως εξής:

S=θR;

v=ωR;

a=αR.

Εδώ R είναι η ακτίνα του κύκλου.

Το πρόβλημα του προσδιορισμού της μέσης και της στιγμιαίας επιτάχυνσης

Είναι γνωστό ότι το σώμα κινείται κατά μήκος μιας πολύπλοκης τροχιάς. Η στιγμιαία ταχύτητά του αλλάζει με την πάροδο του χρόνου ως εξής:

v=10 - 3t + t³.

Ποια είναι η στιγμιαία επιτάχυνση του σώματος τη στιγμή t=3 (δευτερόλεπτα); Βρείτε τη μέση επιτάχυνση σε περίοδο δύο έως τεσσάρων δευτερολέπτων.

Η πρώτη ερώτηση του προβλήματος είναι εύκολο να απαντηθεί αν υπολογίσετε την παράγωγο της συνάρτησης v(t). Παίρνουμε:

a=|dv/dt|_t=2;

a=|3t²- 3|_t=2=24 m/s².

Για να προσδιορίσετε τη μέση επιτάχυνση, χρησιμοποιήστε την ακόλουθη έκφραση:

a=(v₂- v₁)/(t₂- t ₁);

α=((10 - 34 + 4³) - (10 - 32 + 2³)) /2=25 m/c².

Από τους υπολογισμούς προκύπτει,ότι η μέση επιτάχυνση υπερβαίνει ελαφρώς τη στιγμιαία στο μέσο της εξεταζόμενης χρονικής περιόδου.