Το τρίγωνο είναι το απλούστερο σχήμα κλειστό στο επίπεδο, που αποτελείται μόνο από τρία διασυνδεδεμένα τμήματα. Σε προβλήματα γεωμετρίας, είναι συχνά απαραίτητο να προσδιοριστεί η περιοχή αυτού του σχήματος. Τι χρειάζεται να γνωρίζετε για αυτό; Στο άρθρο θα απαντήσουμε στην ερώτηση πώς να βρείτε το εμβαδόν ενός τριγώνου στις τρεις πλευρές.
Γενικός τύπος
Κάθε μαθητής γνωρίζει ότι το εμβαδόν ενός τριγώνου υπολογίζεται ως το γινόμενο του μήκους οποιασδήποτε από τις πλευρές του - a κατά το ήμισυ του ύψους - h, χαμηλωμένο στην επιλεγμένη πλευρά. Παρακάτω είναι ο αντίστοιχος τύπος: S=ah/2.
Αυτή η έκφραση μπορεί να χρησιμοποιηθεί εάν είναι γνωστές τουλάχιστον δύο πλευρές και η τιμή της γωνίας μεταξύ τους. Σε αυτή την περίπτωση, το ύψος h είναι εύκολο να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τριγωνομετρικές συναρτήσεις, όπως το ημίτονο. Αλλά δεν ξέρουν όλοι πώς να βρίσκουν την περιοχή στις τρεις πλευρές ενός τριγώνου.
Heron's Formula
Αυτός ο τύπος είναι η απάντηση στο ερώτημα πώςτρεις πλευρές βρίσκουν το εμβαδόν του τριγώνου. Πριν το γράψουμε, ας υποδηλώσουμε τα μήκη των τμημάτων ενός αυθαίρετου σχήματος ως a, b και c. Ο τύπος του Heron γράφεται ως εξής: S=√(p(p-a)(p-b)(p-c)).
Όπου p είναι η μισή περίμετρος του σχήματος, δηλ.: p=(a+b+c)/2.
Παρά τη φαινομενική δυσκινησία, η παραπάνω έκφραση για την περιοχή S είναι εύκολο να θυμηθεί κανείς. Για να γίνει αυτό, πρέπει πρώτα να υπολογίσετε την ημιπερίμετρο του τριγώνου, στη συνέχεια να αφαιρέσετε από αυτήν κατά ένα μήκος της πλευράς του σχήματος, να πολλαπλασιάσετε όλες τις διαφορές που προέκυψαν και την ίδια την ημιπερίμετρο. Τέλος, πάρτε την τετραγωνική ρίζα του προϊόντος.
Αυτή η φόρμουλα πήρε το όνομά της από τον Ήρωνα της Αλεξάνδρειας, που έζησε στις αρχές της εποχής μας. Η σύγχρονη ιστορία πιστεύει ότι ήταν αυτός ο φιλόσοφος που εφάρμοσε πρώτος αυτήν την έκφραση για να εκτελέσει τους αντίστοιχους υπολογισμούς. Αυτή η φόρμουλα δημοσιεύεται στο Metrica του, που χρονολογείται από το 60 μ. Χ. Σημειώστε ότι ορισμένα από τα έργα του Αρχιμήδη, που έζησε δύο αιώνες νωρίτερα από τον Ήρωνα, περιέχουν ενδείξεις ότι ο Έλληνας φιλόσοφος γνώριζε ήδη τη φόρμουλα. Επιπλέον, οι αρχαίοι Κινέζοι γνώριζαν επίσης πώς να βρίσκουν το εμβαδόν ενός τριγώνου, γνωρίζοντας τρεις πλευρές.
Είναι σημαντικό να σημειωθεί ότι το πρόβλημα μπορεί να λυθεί χωρίς να γνωρίζουμε την ύπαρξη του τύπου του Heron. Για να το κάνετε αυτό, σχεδιάστε μερικά ύψη στο τρίγωνο και χρησιμοποιήστε τον γενικό τύπο από την προηγούμενη παράγραφο, συντάσσοντας το κατάλληλο σύστημα εξισώσεων.
Η έκφραση του Heron μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό των περιοχών των αυθαίρετων πολυγώνων, αφού τα χωρίσει σετρίγωνα και υπολογισμός των μηκών των διαγωνίων που προκύπτουν.
Παράδειγμα επίλυσης προβλημάτων
Γνωρίζοντας πώς να βρίσκουμε το εμβαδόν ενός τριγώνου στις τρεις πλευρές, ας εμπεδώσουμε τις γνώσεις μας λύνοντας το παρακάτω πρόβλημα. Έστω οι πλευρές του σχήματος 5 cm, 4 cm και 3 cm. Βρείτε το εμβαδόν.
Τρεις πλευρές ενός τριγώνου είναι γνωστές, επομένως μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον τύπο του Heron. Υπολογίζουμε την ημιπερίμετρο και τις απαραίτητες διαφορές, έχουμε:
- p=(a+b+c)/2=6 cm;
- p-a=1cm;
- p-b=2cm;
- p-c=3 cm.
Τότε λαμβάνουμε το εμβαδόν: S=√(p(p-a)(p-b)(p-c))=√(6123)=6 cm2.
Το τρίγωνο που δίνεται στην συνθήκη του προβλήματος είναι ορθογώνιο, το οποίο είναι εύκολο να ελεγχθεί εάν χρησιμοποιείτε το Πυθαγόρειο θεώρημα. Εφόσον το εμβαδόν ενός τέτοιου τριγώνου είναι το μισό του γινόμενου των ποδιών, παίρνουμε: S=43/2=6 cm2.
Η τιμή που προκύπτει είναι η ίδια με τον τύπο του Heron, ο οποίος επιβεβαιώνει την εγκυρότητα του τελευταίου.
