Το
Το τρίγωνο είναι ένα από τα πιο κοινά γεωμετρικά σχήματα, με το οποίο είμαστε ήδη εξοικειωμένοι στο δημοτικό σχολείο. Το ερώτημα πώς να βρει το εμβαδόν ενός τριγώνου αντιμετωπίζει κάθε μαθητής στα μαθήματα γεωμετρίας. Λοιπόν, ποια είναι τα χαρακτηριστικά της εύρεσης της περιοχής μιας δεδομένης φιγούρας που μπορεί να διακριθεί; Σε αυτό το άρθρο, θα εξετάσουμε τους βασικούς τύπους που είναι απαραίτητοι για την ολοκλήρωση μιας τέτοιας εργασίας, καθώς και θα αναλύσουμε τους τύπους τριγώνων.
Τύποι τριγώνων
Μπορείτε να βρείτε το εμβαδόν ενός τριγώνου με εντελώς διαφορετικούς τρόπους, επειδή στη γεωμετρία υπάρχουν περισσότεροι από ένας τύποι φιγούρων που περιέχουν τρεις γωνίες. Αυτά τα είδη περιλαμβάνουν:
- Οξύ τρίγωνο.
- Obt-angled.
- Ισόπλευρο (σωστό).
- Δεξί τρίγωνο.
- Ισοσκελές.
Ας ρίξουμε μια πιο προσεκτική ματιά σε κάθε έναν από τους υπάρχοντες τύπους τριγώνων.
Οξείατρίγωνο
Ένα τέτοιο γεωμετρικό σχήμα θεωρείται το πιο συνηθισμένο στην επίλυση γεωμετρικών προβλημάτων. Όταν καταστεί απαραίτητο να σχεδιάσετε ένα αυθαίρετο τρίγωνο, αυτή η επιλογή έρχεται στη διάσωση.
Σε ένα οξύ τρίγωνο, όπως υπονοεί το όνομα, όλες οι γωνίες είναι οξείες και αθροίζονται έως και 180°.
Ομπτογωνικό τρίγωνο
Αυτό το τρίγωνο είναι επίσης πολύ κοινό, αλλά είναι κάπως λιγότερο κοινό από το οξείας γωνίας. Για παράδειγμα, όταν λύνετε τρίγωνα (δηλαδή, γνωρίζετε πολλές από τις πλευρές και τις γωνίες του και πρέπει να βρείτε τα υπόλοιπα στοιχεία), μερικές φορές πρέπει να προσδιορίσετε εάν η γωνία είναι αμβλεία ή όχι. Το συνημίτονο μιας αμβλείας γωνίας είναι αρνητικός αριθμός.
Σε ένα αμβλύ τρίγωνο, η τιμή μιας από τις γωνίες υπερβαίνει τις 90°, επομένως οι υπόλοιπες δύο γωνίες μπορούν να λάβουν μικρές τιμές (για παράδειγμα, 15° ή ακόμα και 3°).
Για να βρείτε το εμβαδόν ενός τριγώνου αυτού του τύπου, πρέπει να γνωρίζετε ορισμένες αποχρώσεις, για τις οποίες θα μιλήσουμε αργότερα.
Κανονικά και ισοσκελή τρίγωνα
Ένα κανονικό πολύγωνο είναι ένα σχήμα που περιλαμβάνει n γωνίες και όλες οι πλευρές και οι γωνίες είναι ίσες. Αυτό είναι το ορθογώνιο τρίγωνο. Εφόσον το άθροισμα όλων των γωνιών ενός τριγώνου είναι 180°, καθεμία από τις τρεις γωνίες είναι 60°.
Ένα κανονικό τρίγωνο, λόγω της ιδιότητάς του, ονομάζεται επίσης ισόπλευρο σχήμα.
Αξίζει επίσης να σημειωθεί ότι στοένα κανονικό τρίγωνο μπορεί να εγγραφεί μόνο με έναν κύκλο και μόνο ένας κύκλος μπορεί να περιγραφεί γύρω του και τα κέντρα τους βρίσκονται σε ένα σημείο.
Εκτός από τον ισόπλευρο τύπο, μπορεί κανείς να επιλέξει και ένα ισοσκελές τρίγωνο, το οποίο διαφέρει ελαφρώς από αυτό. Σε ένα τέτοιο τρίγωνο, δύο πλευρές και δύο γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους και η τρίτη πλευρά (στην οποία γειτνιάζουν ίσες γωνίες) είναι η βάση.
Το σχήμα δείχνει ένα ισοσκελές τρίγωνο DEF, του οποίου οι γωνίες D και F είναι ίσες και το DF είναι η βάση.
Δεξί τρίγωνο
Ένα ορθογώνιο τρίγωνο ονομάζεται έτσι επειδή μία από τις γωνίες του είναι ορθή γωνία, δηλαδή ίση με 90°. Οι άλλες δύο γωνίες αθροίζονται σε 90°.
Η μεγαλύτερη πλευρά ενός τέτοιου τριγώνου, που βρίσκεται απέναντι από τη γωνία των 90°, είναι η υποτείνουσα, ενώ οι άλλες δύο πλευρές του είναι τα σκέλη. Για αυτόν τον τύπο τριγώνων, ισχύει το Πυθαγόρειο θεώρημα:
Το άθροισμα των τετραγώνων των μηκών των ποδιών είναι ίσο με το τετράγωνο του μήκους της υποτείνουσας.
Το σχήμα δείχνει ένα ορθογώνιο τρίγωνο BAC με υποτείνουσα AC και σκέλη AB και BC.
Για να βρείτε το εμβαδόν ενός τριγώνου με ορθή γωνία, πρέπει να γνωρίζετε τις αριθμητικές τιμές των ποδιών του.
Ας προχωρήσουμε στους τύπους για την εύρεση του εμβαδού αυτού του σχήματος.
Βασικοί τύποι περιοχής
Στη γεωμετρία, υπάρχουν δύο τύποι που είναι κατάλληλοι για την εύρεση του εμβαδού των περισσότερων τύπων τριγώνων, συγκεκριμένα για οξεία γωνία, αμβλεία γωνία, κανονικά καιισοσκελές τρίγωνα. Ας αναλύσουμε το καθένα από αυτά.
Πλάι και ύψος
Αυτός ο τύπος είναι καθολικός για την εύρεση του εμβαδού του σχήματος που εξετάζουμε. Για να γίνει αυτό, αρκεί να γνωρίζετε το μήκος της πλευράς και το μήκος του ύψους που τραβιέται σε αυτήν. Ο ίδιος ο τύπος (το μισό γινόμενο της βάσης και του ύψους) μοιάζει με αυτό:
S=½AH, όπου A είναι η πλευρά του δεδομένου τριγώνου και H το ύψος του τριγώνου.
Για παράδειγμα, για να βρείτε το εμβαδόν ενός τριγώνου οξείας γωνίας ACB, πρέπει να πολλαπλασιάσετε την πλευρά του AB με το ύψος CD και να διαιρέσετε την τιμή που προκύπτει με το δύο.
Ωστόσο, δεν είναι πάντα εύκολο να βρείτε το εμβαδόν ενός τριγώνου με αυτόν τον τρόπο. Για παράδειγμα, για να χρησιμοποιήσετε αυτόν τον τύπο για ένα τρίγωνο αμβλείας γωνίας, πρέπει να συνεχίσετε τη μία από τις πλευρές του και μόνο μετά από αυτό να σχεδιάσετε ένα ύψος σε αυτήν.
Στην πράξη, αυτός ο τύπος χρησιμοποιείται πιο συχνά από άλλους.
Σε δύο πλευρές και μια γωνία
Αυτός ο τύπος, όπως και ο προηγούμενος, είναι κατάλληλος για τα περισσότερα τρίγωνα και κατά την έννοια του είναι συνέπεια του τύπου για την εύρεση του εμβαδού από την πλευρά και το ύψος ενός τριγώνου. Δηλαδή, ο τύπος που εξετάζουμε μπορεί εύκολα να εξαχθεί από τον προηγούμενο. Η διατύπωσή της μοιάζει με αυτό:
S=½sinOAB, όπου Α και Β είναι πλευρές τριγώνου και Ο είναι η γωνία μεταξύ των πλευρών Α και Β.
Θυμηθείτε ότι το ημίτονο μιας γωνίας μπορεί να προβληθεί σε έναν ειδικό πίνακα που φέρει το όνομα του εξαιρετικού Σοβιετικού μαθηματικού V. M. Bradis.
Και τώρα ας περάσουμε σε άλλους τύπους,κατάλληλο μόνο για εξαιρετικούς τύπους τριγώνων.
Εμβαδόν ορθογωνίου τριγώνου
Εκτός από την καθολική φόρμουλα, η οποία περιλαμβάνει την ανάγκη σχεδίασης ύψους σε ένα τρίγωνο, η περιοχή ενός τριγώνου που περιέχει ορθή γωνία μπορεί να βρεθεί από τα πόδια του.
Έτσι, το εμβαδόν ενός τριγώνου που περιέχει ορθή γωνία είναι το μισό του γινόμενου των ποδιών του, ή:
S=½ab, όπου a και b είναι τα σκέλη ενός ορθογωνίου τριγώνου.
Κανονικό Τρίγωνο
Αυτός ο τύπος γεωμετρικών σχημάτων διαφέρει στο ότι η περιοχή του μπορεί να βρεθεί με την καθορισμένη τιμή μόνο μιας από τις πλευρές του (καθώς όλες οι πλευρές ενός κανονικού τριγώνου είναι ίσες). Έτσι, έχοντας συναντήσει το καθήκον "να βρείτε το εμβαδόν ενός τριγώνου όταν οι πλευρές είναι ίσες", πρέπει να χρησιμοποιήσετε τον ακόλουθο τύπο:
S=A2√3 / 4, όπου Α είναι η πλευρά ενός ισόπλευρου τριγώνου.
Heron's Formula
Η τελευταία επιλογή για την εύρεση του εμβαδού ενός τριγώνου είναι ο τύπος του Heron. Για να το χρησιμοποιήσετε, πρέπει να γνωρίζετε τα μήκη των τριών πλευρών του σχήματος. Ο τύπος του Heron μοιάζει με αυτό:
S=√p (p - a) (p - b) (p - c), όπου a, b και c είναι οι πλευρές αυτού του τριγώνου.
Μερικές φορές δίνεται η εργασία: "το εμβαδόν ενός κανονικού τριγώνου - βρείτε το μήκος της πλευράς του." Σε αυτήν την περίπτωση, πρέπει να χρησιμοποιήσετε τον ήδη γνωστό τύπο για την εύρεση του εμβαδού ενός κανονικού τριγώνου και να εξαγάγετε την τιμή της πλευράς (ή του τετραγώνου του) από αυτό:
A2=4S / √3.
Προβλήματα Εξετάσεων
Σε εργασίες GIAΥπάρχουν πολλοί τύποι στα μαθηματικά. Επιπλέον, είναι συχνά απαραίτητο να βρεθεί το εμβαδόν ενός τριγώνου σε καρό χαρτί.
Σε αυτήν την περίπτωση, είναι πιο βολικό να σχεδιάσετε το ύψος σε μία από τις πλευρές του σχήματος, να προσδιορίσετε το μήκος του κατά κελιά και να χρησιμοποιήσετε τον γενικό τύπο για την εύρεση της περιοχής:
S=½AH.
Έτσι, αφού μελετήσετε τους τύπους που παρουσιάζονται στο άρθρο, δεν θα έχετε προβλήματα να βρείτε το εμβαδόν ενός τριγώνου οποιουδήποτε είδους.
