Τα σκέλη και η υποτείνουσα είναι οι πλευρές ενός ορθογώνιου τριγώνου. Τα πρώτα είναι τμήματα που βρίσκονται δίπλα στη σωστή γωνία και η υποτείνουσα είναι το μεγαλύτερο μέρος του σχήματος και είναι απέναντι από τη γωνία στα 90o. Πυθαγόρειο τρίγωνο είναι εκείνο του οποίου οι πλευρές είναι ίσες με φυσικούς αριθμούς. τα μήκη τους σε αυτή την περίπτωση ονομάζονται «πυθαγόρεια τριπλή».
Αιγυπτιακό τρίγωνο
Για να μάθει η σημερινή γενιά τη γεωμετρία με τη μορφή που διδάσκεται τώρα στο σχολείο, αυτή αναπτύσσεται εδώ και αρκετούς αιώνες. Το θεμελιώδες σημείο είναι το Πυθαγόρειο θεώρημα. Οι πλευρές ενός ορθογωνίου τριγώνου (το σχήμα είναι γνωστό σε όλο τον κόσμο) είναι 3, 4, 5.
Λίγοι άνθρωποι δεν είναι εξοικειωμένοι με τη φράση «τα πυθαγόρεια παντελόνια είναι ίσα προς όλες τις κατευθύνσεις». Ωστόσο, το θεώρημα ακούγεται στην πραγματικότητα ως εξής: c2 (το τετράγωνο της υποτείνουσας)=a2+b2(το άθροισμα των τετραγώνων σκελών).
Μεταξύ των μαθηματικών, ένα τρίγωνο με πλευρές 3, 4, 5 (cm, m, κ.λπ.) ονομάζεται "Αιγυπτιακό". Είναι ενδιαφέρον ότι η ακτίνα του κύκλου, που είναι εγγεγραμμένη στο σχήμα, είναι ίση με ένα. Το όνομα προήλθε γύρω στον 5ο αιώνα π. Χ., όταν Έλληνες φιλόσοφοι ταξίδεψαν στην Αίγυπτο.
Κατά την κατασκευή των πυραμίδων, οι αρχιτέκτονες και οι τοπογράφοι χρησιμοποίησαν μια αναλογία 3:4:5. Τέτοιες κατασκευές αποδείχθηκαν αναλογικές, ευχάριστες στο μάτι και ευρύχωρες, και επίσης σπάνια κατέρρευσαν.
Για να χτίσουν μια ορθή γωνία, οι οικοδόμοι χρησιμοποιούσαν ένα σχοινί στο οποίο έδεναν 12 κόμπους. Σε αυτήν την περίπτωση, η πιθανότητα κατασκευής ενός ορθογώνιου τριγώνου αυξήθηκε στο 95%.
Σημεία ίσων αριθμών
- Μια οξεία γωνία σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο και μια μεγάλη πλευρά, που ισούνται με τα ίδια στοιχεία στο δεύτερο τρίγωνο, είναι αδιαμφισβήτητο σημάδι ισότητας των ψηφίων. Λαμβάνοντας υπόψη το άθροισμα των γωνιών, είναι εύκολο να αποδειχθεί ότι οι δεύτερες οξείες γωνίες είναι επίσης ίσες. Έτσι, τα τρίγωνα είναι πανομοιότυπα στο δεύτερο χαρακτηριστικό.
- Όταν δύο σχήματα τοποθετούνται το ένα πάνω στο άλλο, περιστρέψτε τα με τέτοιο τρόπο ώστε, συνδυασμένα, να γίνουν ένα ισοσκελές τρίγωνο. Σύμφωνα με την ιδιότητά του, οι πλευρές ή μάλλον οι υποτείνουσες είναι ίσες, όπως και οι γωνίες στη βάση, πράγμα που σημαίνει ότι αυτά τα σχήματα είναι ίδια.
Με το πρώτο σημάδι είναι πολύ εύκολο να αποδείξεις ότι τα τρίγωνα είναι πραγματικά ίσα, το κυριότερο είναι ότι οι δύο μικρότερες πλευρές (δηλαδή τα πόδια) είναι ίσες μεταξύ τους.
Τα τρίγωνα θα είναι τα ίδια στο χαρακτηριστικό II, η ουσία του οποίου είναι η ισότητα του σκέλους και της οξείας γωνίας.
Ιδιότητες τριγώνου με ορθή γωνία
Το ύψος που χαμηλώνει από τη σωστή γωνία χωρίζει τη φιγούρα σε δύο ίσα μέρη.
Οι πλευρές ενός ορθογώνιου τριγώνου και η διάμεσος του είναι εύκολο να αναγνωριστούν από τον κανόνα: η διάμεσος, που χαμηλώνει στην υποτείνουσα, είναι ίση με το μισό της. Το εμβαδόν μιας φιγούρας μπορεί να βρεθεί τόσο από τον τύπο του Heron όσο και από τη δήλωση ότι είναι ίσο με το μισό γινόμενο των ποδιών.
Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, οι ιδιότητες των γωνιών σε 30o, 45o και 60o.
- Με γωνία που είναι 30o, θυμηθείτε ότι το απέναντι σκέλος θα είναι ίσο με το 1/2 της μεγαλύτερης πλευράς.
- Αν η γωνία είναι 45o, τότε η δεύτερη οξεία γωνία είναι επίσης 45o. Αυτό υποδηλώνει ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές και τα πόδια του είναι ίδια.
- Η ιδιότητα μιας γωνίας 60o είναι ότι η τρίτη γωνία έχει μέτρο μοιρών 30o.
Η περιοχή είναι εύκολο να βρεθεί με έναν από τους τρεις τύπους:
- μέσα από το ύψος και την πλευρά στην οποία πέφτει;
- σύμφωνα με τον τύπο του Heron;
- στις πλευρές και η γωνία μεταξύ τους.
Οι πλευρές ενός ορθογώνιου τριγώνου, ή μάλλον τα σκέλη, συγκλίνουν με δύο ύψη. Για να βρείτε το τρίτο, είναι απαραίτητο να εξετάσετε το τρίγωνο που προκύπτει και στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα, να υπολογίσετε το απαιτούμενο μήκος. Εκτός από αυτόν τον τύπο, υπάρχει επίσης η αναλογία διπλάσιου του εμβαδού και του μήκους της υποτείνουσας. Η πιο κοινή έκφραση μεταξύ των μαθητών είναι η πρώτη, καθώς απαιτεί λιγότερους υπολογισμούς.
Θεωρήματα που εφαρμόζονται σε ένα ορθογώνιοτρίγωνο
Η γεωμετρία ενός ορθογωνίου τριγώνου περιλαμβάνει τη χρήση θεωρημάτων όπως:
- Το Πυθαγόρειο θεώρημα. Η ουσία του έγκειται στο γεγονός ότι το τετράγωνο της υποτείνουσας είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των ποδιών. Στην Ευκλείδεια γεωμετρία, αυτή η σχέση είναι το κλειδί. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον τύπο εάν δίνεται ένα τρίγωνο, για παράδειγμα, SNH. Το SN είναι η υποτείνουσα και πρέπει να βρεθεί. Τότε SN2=NH2+HS2.
- Θεώρημα συνημιτονίου. Γενικεύει το Πυθαγόρειο θεώρημα: g2=f2+s2-2fscos της μεταξύ τους γωνίας. Για παράδειγμα, δίνεται ένα τρίγωνο DOB. Το σκέλος DB και η υποτείνουσα DO είναι γνωστά, είναι απαραίτητο να βρούμε το OB. Τότε ο τύπος παίρνει την εξής μορφή: OB2=DB2+DO2-2DBDO cos γωνία Δ. Υπάρχουν τρεις συνέπειες: η γωνία του τριγώνου θα είναι οξεία, αν το τετράγωνο του μήκους του τρίτου αφαιρεθεί από το άθροισμα των τετραγώνων των δύο πλευρών, το αποτέλεσμα πρέπει να είναι μικρότερο από το μηδέν. Η γωνία είναι αμβλεία αν αυτή η έκφραση είναι μεγαλύτερη από το μηδέν. Η γωνία είναι μια ορθή γωνία όταν είναι ίση με μηδέν.
- Θεώρημα ημιτόνου. Δείχνει τη σχέση των πλευρών με τις αντίθετες γωνίες. Με άλλα λόγια, αυτός είναι ο λόγος των μηκών των πλευρών προς τα ημίτονο των απέναντι γωνιών. Στο τρίγωνο HFB, όπου η υποτείνουσα είναι HF, θα ισχύει: HF/sin της γωνίας B=FB/sin της γωνίας H=HB/sin της γωνίας F.
