Η ιστορία της τριγωνομετρίας είναι άρρηκτα συνδεδεμένη με την αστρονομία, επειδή οι αρχαίοι επιστήμονες άρχισαν να μελετούν τις αναλογίες διαφόρων ποσοτήτων σε ένα τρίγωνο για να λύσουν τα προβλήματα αυτής της επιστήμης.
Σήμερα, η τριγωνομετρία είναι μια μικροτομή των μαθηματικών που μελετά τη σχέση μεταξύ των τιμών των γωνιών και των μηκών των πλευρών των τριγώνων, καθώς και αναλύει τις αλγεβρικές ταυτότητες των τριγωνομετρικών συναρτήσεων.
Ο όρος "τριγωνομετρία"
Ο ίδιος ο όρος, ο οποίος έδωσε το όνομά του σε αυτόν τον κλάδο των μαθηματικών, ανακαλύφθηκε για πρώτη φορά στον τίτλο ενός βιβλίου από τον Γερμανό μαθηματικό Pitiscus το 1505. Η λέξη «τριγωνομετρία» είναι ελληνικής προέλευσης και σημαίνει «μετρώ ένα τρίγωνο». Για να είμαστε πιο ακριβείς, δεν μιλάμε για την κυριολεκτική μέτρηση αυτού του αριθμού, αλλά για τη λύση του, δηλαδή για τον προσδιορισμό των τιμών των άγνωστων στοιχείων του χρησιμοποιώντας τα γνωστά.
Γενικές πληροφορίες για την τριγωνομετρία
Η ιστορία της τριγωνομετρίας ξεκίνησε πριν από περισσότερες από δύο χιλιετίες. Αρχικά, η εμφάνισή του συνδέθηκε με την ανάγκη να αποσαφηνιστεί η αναλογία των γωνιών και των πλευρών του τριγώνου. Στη διαδικασία της έρευνας, προέκυψε ότι τα μαθηματικάη έκφραση αυτών των αναλογιών απαιτεί την εισαγωγή ειδικών τριγωνομετρικών συναρτήσεων, οι οποίες αρχικά συντάχθηκαν ως αριθμητικοί πίνακες.
Για πολλές επιστήμες που σχετίζονται με τα μαθηματικά, ήταν η ιστορία της τριγωνομετρίας που έδωσε ώθηση στην ανάπτυξη. Η προέλευση των μονάδων μέτρησης των γωνιών (μοίρες), που σχετίζονται με την έρευνα των επιστημόνων της Αρχαίας Βαβυλώνας, βασίζεται στο σεξουαλικό σύστημα του λογισμού, το οποίο οδήγησε στο σύγχρονο δεκαδικό σύστημα που χρησιμοποιείται σε πολλές εφαρμοσμένες επιστήμες.
Υποτίθεται ότι η τριγωνομετρία υπήρχε αρχικά ως μέρος της αστρονομίας. Στη συνέχεια άρχισε να χρησιμοποιείται στην αρχιτεκτονική. Και με την πάροδο του χρόνου προέκυψε η σκοπιμότητα εφαρμογής αυτής της επιστήμης σε διάφορους τομείς της ανθρώπινης δραστηριότητας. Αυτά είναι, ειδικότερα, η αστρονομία, η θαλάσσια και αεροναυτιλία, η ακουστική, η οπτική, η ηλεκτρονική, η αρχιτεκτονική και άλλα.
Τριγωνομετρία στις πρώιμες ηλικίες
Καθοδηγούμενοι από δεδομένα για σωζόμενα επιστημονικά λείψανα, οι ερευνητές κατέληξαν στο συμπέρασμα ότι η ιστορία της εμφάνισης της τριγωνομετρίας συνδέεται με το έργο του Έλληνα αστρονόμου Ίππαρχου, ο οποίος πρώτος σκέφτηκε να βρει τρόπους επίλυσης τριγώνων (σφαιρικά). Τα γραπτά του χρονολογούνται από τον 2ο αιώνα π. Χ.
Επίσης, ένα από τα πιο σημαντικά επιτεύγματα εκείνης της εποχής είναι ο προσδιορισμός της αναλογίας των ποδιών και της υποτείνουσας σε ορθογώνια τρίγωνα, που αργότερα έγινε γνωστό ως το Πυθαγόρειο θεώρημα.
Η ιστορία της ανάπτυξης της τριγωνομετρίας στην αρχαία Ελλάδα συνδέεται με το όνομα του αστρονόμου Πτολεμαίου - του συγγραφέα του γεωκεντρικού συστήματος του κόσμου, που κυριαρχούσεστον Κοπέρνικο.
Οι Έλληνες αστρονόμοι δεν γνώριζαν ημίτονο, συνημίτονο και εφαπτομένες. Χρησιμοποίησαν πίνακες για να βρουν την τιμή της χορδής ενός κύκλου χρησιμοποιώντας ένα αφαιρετικό τόξο. Οι μονάδες μέτρησης της συγχορδίας ήταν μοίρες, λεπτά και δευτερόλεπτα. Μία μοίρα ήταν ίση με το ένα εξηκοστό της ακτίνας.
Επίσης, οι μελέτες των αρχαίων Ελλήνων προώθησαν την ανάπτυξη της σφαιρικής τριγωνομετρίας. Συγκεκριμένα, ο Ευκλείδης στις «Αρχές» του δίνει ένα θεώρημα για τις κανονικότητες των αναλογιών των όγκων των σφαιρών διαφορετικής διαμέτρου. Τα έργα του σε αυτόν τον τομέα έχουν γίνει ένα είδος ώθησης στην ανάπτυξη συναφών γνωστικών πεδίων. Πρόκειται, ειδικότερα, για την τεχνολογία των αστρονομικών οργάνων, τη θεωρία των χαρτογραφικών προβολών, το σύστημα ουράνιων συντεταγμένων κ.λπ.
Μεσαίωνας: έρευνα Ινδών επιστημόνων
Ινδοί αστρονόμοι του Μεσαίωνα σημείωσαν σημαντική επιτυχία. Ο θάνατος της αρχαίας επιστήμης τον 4ο αιώνα έκανε το κέντρο των μαθηματικών να μετακομίσει στην Ινδία.
Η ιστορία της τριγωνομετρίας ως ξεχωριστό τμήμα της μαθηματικής διδασκαλίας ξεκίνησε τον Μεσαίωνα. Τότε ήταν που οι επιστήμονες αντικατέστησαν τις συγχορδίες με ημίτονο. Αυτή η ανακάλυψη κατέστησε δυνατή την εισαγωγή συναρτήσεων που σχετίζονται με τη μελέτη των πλευρών και των γωνιών ενός ορθογωνίου τριγώνου. Δηλαδή, τότε ήταν που η τριγωνομετρία άρχισε να διαχωρίζεται από την αστρονομία, μετατρέποντας σε κλάδο των μαθηματικών.
Οι πρώτοι πίνακες ημιτόνων ήταν στην Aryabhata, σύρθηκαν μέσω 3o, 4o, 5 o . Αργότερα, εμφανίστηκαν λεπτομερείς εκδόσεις των πινάκων: συγκεκριμένα, ο Bhaskara έδωσε έναν πίνακα ημιτόνων1o.
Η πρώτη εξειδικευμένη πραγματεία για την τριγωνομετρία εμφανίστηκε τον X-XI αιώνα. Συγγραφέας του ήταν ο επιστήμονας της Κεντρικής Ασίας Al-Biruni. Και στο κύριο έργο του "Canon Mas'ud" (βιβλίο III), ο μεσαιωνικός συγγραφέας πηγαίνει ακόμη πιο βαθιά στην τριγωνομετρία, δίνοντας έναν πίνακα ημιτονιών (με βήμα 15 ') και έναν πίνακα εφαπτομένων (με βήμα 1 °).).
Ιστορία της ανάπτυξης της τριγωνομετρίας στην Ευρώπη
Μετά τη μετάφραση των αραβικών πραγματειών στα λατινικά (XII-XIII αι.), οι περισσότερες ιδέες Ινδών και Περσών επιστημόνων δανείστηκαν από την ευρωπαϊκή επιστήμη. Η πρώτη αναφορά της τριγωνομετρίας στην Ευρώπη χρονολογείται από τον 12ο αιώνα.
Σύμφωνα με τους ερευνητές, η ιστορία της τριγωνομετρίας στην Ευρώπη συνδέεται με το όνομα του Άγγλου Ρίτσαρντ Γουόλινγκφορντ, ο οποίος έγινε ο συγγραφέας του έργου "Τέσσερις πραγματείες για άμεσες και αντίστροφες συγχορδίες". Ήταν το έργο του που έγινε το πρώτο έργο που είναι εξ ολοκλήρου αφιερωμένο στην τριγωνομετρία. Μέχρι τον 15ο αιώνα, πολλοί συγγραφείς αναφέρουν τριγωνομετρικές συναρτήσεις στα γραπτά τους.
Ιστορία της τριγωνομετρίας: Σύγχρονη εποχή
Στη σύγχρονη εποχή, οι περισσότεροι επιστήμονες άρχισαν να συνειδητοποιούν την εξαιρετική σημασία της τριγωνομετρίας όχι μόνο στην αστρονομία και την αστρολογία, αλλά και σε άλλους τομείς της ζωής. Αυτό είναι, πρώτα απ 'όλα, πυροβολικό, οπτική και πλοήγηση σε θαλάσσια ταξίδια μεγάλων αποστάσεων. Επομένως, στο δεύτερο μισό του 16ου αιώνα, αυτό το θέμα ενδιέφερε πολλούς επιφανείς ανθρώπους εκείνης της εποχής, συμπεριλαμβανομένων των Νικολάου Κοπέρνικου, Γιοχάνες Κέπλερ, Φρανσουά Βιέτα. Ο Κοπέρνικος αφιέρωσε αρκετά κεφάλαια στην τριγωνομετρία στην πραγματεία του Περί των επαναστάσεων των ουράνιων σφαιρών (1543). Λίγο αργότερα, στη δεκαετία του '60XVI αιώνα, ο Retik - μαθητής του Κοπέρνικου - δίνει δεκαπενταψήφιους τριγωνομετρικούς πίνακες στο έργο του "The Optical Part of Astronomy".
Ο François Viète στον «Μαθηματικό Κανόνα» (1579) δίνει έναν ενδελεχή και συστηματικό, αν και αναπόδεικτο, χαρακτηρισμό της επίπεδης και της σφαιρικής τριγωνομετρίας. Και ο Άλμπρεχτ Ντύρερ ήταν αυτός που γέννησε το ημιτονοειδές.
Αξία του Leonhard Euler
Το να δώσεις στην τριγωνομετρία ένα σύγχρονο περιεχόμενο και εμφάνιση ήταν η αξία του Leonhard Euler. Η πραγματεία του Introduction to the Analysis of Infinites (1748) περιέχει έναν ορισμό του όρου «τριγωνομετρικές συναρτήσεις» που είναι ισοδύναμος με τον σύγχρονο. Έτσι, αυτός ο επιστήμονας μπόρεσε να προσδιορίσει τις αντίστροφες συναρτήσεις. Αλλά δεν είναι μόνο αυτό.
Ο προσδιορισμός των τριγωνομετρικών συναρτήσεων σε ολόκληρη την αριθμητική γραμμή κατέστη δυνατός χάρη στις μελέτες του Euler όχι μόνο για τις επιτρεπόμενες αρνητικές γωνίες, αλλά και για γωνίες μεγαλύτερες από 360°. Ήταν αυτός που απέδειξε πρώτος στα έργα του ότι το συνημίτονο και η εφαπτομένη μιας ορθής γωνίας είναι αρνητικά. Η επέκταση των ακεραίων δυνάμεων του συνημίτονου και του ημιτονοειδούς έγινε επίσης η αξία αυτού του επιστήμονα. Η γενική θεωρία των τριγωνομετρικών σειρών και η μελέτη της σύγκλισης της προκύπτουσας σειράς δεν ήταν τα αντικείμενα της έρευνας του Euler. Ωστόσο, ενώ εργαζόταν για την επίλυση σχετικών προβλημάτων, έκανε πολλές ανακαλύψεις σε αυτόν τον τομέα. Η ιστορία της τριγωνομετρίας συνεχίστηκε χάρη στο έργο του. Συνοπτικά στα γραπτά του έθιξε και τα ζητήματα της σφαιρικής τριγωνομετρίας.
Πεδία εφαρμογήςτριγωνομετρία
Η τριγωνομετρία δεν είναι εφαρμοσμένη επιστήμη· στην πραγματική καθημερινή ζωή, τα προβλήματά της χρησιμοποιούνται σπάνια. Ωστόσο, το γεγονός αυτό δεν μειώνει τη σημασία του. Πολύ σημαντική, για παράδειγμα, είναι η τεχνική του τριγωνισμού, η οποία επιτρέπει στους αστρονόμους να μετρούν με ακρίβεια την απόσταση από κοντινά αστέρια και να ελέγχουν τα συστήματα δορυφορικής πλοήγησης.
Η τριγωνομετρία χρησιμοποιείται επίσης στην πλοήγηση, τη θεωρία της μουσικής, την ακουστική, την οπτική, την ανάλυση χρηματοοικονομικών αγορών, την ηλεκτρονική, τη θεωρία πιθανοτήτων, τη στατιστική, τη βιολογία, την ιατρική (για παράδειγμα, στην αποκρυπτογράφηση υπερηχογραφικών εξετάσεων, υπερήχους και υπολογιστική τομογραφία), φαρμακευτικά προϊόντα, χημεία, θεωρία αριθμών, σεισμολογία, μετεωρολογία, ωκεανολογία, χαρτογραφία, πολλοί κλάδοι της φυσικής, τοπογραφία και γεωδαισία, αρχιτεκτονική, φωνητική, οικονομία, ηλεκτρονική μηχανική, μηχανολογία, γραφικά υπολογιστών, κρυσταλλογραφία κ.λπ. Η ιστορία της τριγωνομετρίας και ο ρόλος της στο μελέτη των φυσικών και μαθηματικών επιστημών μελετώνται και μέχρι σήμερα. Ίσως στο μέλλον να υπάρξουν ακόμη περισσότεροι τομείς εφαρμογής του.
Ιστορία της προέλευσης των βασικών εννοιών
Η ιστορία της εμφάνισης και της ανάπτυξης της τριγωνομετρίας έχει περισσότερο από έναν αιώνα. Η εισαγωγή των εννοιών που αποτελούν τη βάση αυτού του τμήματος της μαθηματικής επιστήμης δεν ήταν επίσης στιγμιαία.
Έτσι, η έννοια του "sine" έχει πολύ μεγάλη ιστορία. Αναφορές διαφόρων αναλογιών τμημάτων τριγώνων και κύκλων βρίσκονται σε επιστημονικές εργασίες που χρονολογούνται από τον 3ο αιώνα π. Χ. ΕργαΤέτοιοι μεγάλοι αρχαίοι επιστήμονες όπως ο Ευκλείδης, ο Αρχιμήδης, ο Απολλώνιος της Πέργας, περιέχουν ήδη τις πρώτες μελέτες αυτών των σχέσεων. Οι νέες ανακαλύψεις απαιτούσαν ορισμένες ορολογικές διευκρινίσεις. Έτσι, ο Ινδός επιστήμονας Aryabhata δίνει στη συγχορδία το όνομα "jiva", που σημαίνει "χορδή τόξου". Όταν τα αραβικά μαθηματικά κείμενα μεταφράστηκαν στα λατινικά, ο όρος αντικαταστάθηκε από ένα στενά συνδεδεμένο ημίτονο (δηλαδή "κάμψη").
Η λέξη "συνημίτονο" εμφανίστηκε πολύ αργότερα. Αυτός ο όρος είναι μια συντομευμένη εκδοχή της λατινικής φράσης "additional sine".
Η εμφάνιση των εφαπτομένων συνδέεται με την αποκωδικοποίηση του προβλήματος του προσδιορισμού του μήκους της σκιάς. Ο όρος «εφαπτομένη» εισήχθη τον 10ο αιώνα από τον Άραβα μαθηματικό Abul-Wafa, ο οποίος συνέταξε τους πρώτους πίνακες για τον προσδιορισμό των εφαπτομένων και των συνεφαπτομένων. Αλλά οι Ευρωπαίοι επιστήμονες δεν γνώριζαν αυτά τα επιτεύγματα. Ο Γερμανός μαθηματικός και αστρονόμος Regimontan ανακαλύπτει ξανά αυτές τις έννοιες το 1467. Η απόδειξη του θεωρήματος της εφαπτομένης είναι η αξία του. Και αυτός ο όρος μεταφράζεται ως "σχετικά".
