Ένα τρίγωνο είναι ένα πολύγωνο με τρεις πλευρές (τρεις γωνίες). Τις περισσότερες φορές, οι πλευρές σημειώνονται με μικρά γράμματα, που αντιστοιχούν στα κεφαλαία γράμματα που δηλώνουν αντίθετες κορυφές. Σε αυτό το άρθρο, θα εξοικειωθούμε με τους τύπους αυτών των γεωμετρικών σχημάτων, το θεώρημα που καθορίζει ποιο είναι το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου.
Προβολές κατά γωνίες
Διακρίνονται οι ακόλουθοι τύποι πολυγώνων με τρεις κορυφές:
- οξεία γωνία, στην οποία όλες οι γωνίες είναι έντονες;
- ορθογώνιο, που έχει μία ορθή γωνία, ενώ οι πλευρές που το σχηματίζουν ονομάζονται πόδια και η πλευρά που είναι τοποθετημένη απέναντι από τη σωστή γωνία ονομάζεται υποτείνουσα.
- αμβλεία όταν μια γωνία είναι αμβλεία;
- ισοσκελές, στο οποίο οι δύο πλευρές είναι ίσες, και ονομάζονται πλάγιες, και η τρίτη είναι η βάση του τριγώνου;
- ισόπλευρο, που έχει και τις τρεις ίσες πλευρές.
Ιδιότητες
Τονίζουν τις κύριες ιδιότητες που είναι χαρακτηριστικές για κάθε τύπο τριγώνου:
- απέναντι από τη μεγαλύτερη πλευρά υπάρχει πάντα μεγαλύτερη γωνία και αντίστροφα;
- αντίθετες πλευρές ίσου μεγέθους είναι ίσες γωνίες και αντίστροφα;
- κάθε τρίγωνο έχει δύο οξείες γωνίες,
- μια εξωτερική γωνία είναι μεγαλύτερη από οποιαδήποτε εσωτερική γωνία που δεν βρίσκεται δίπλα της;
- το άθροισμα οποιωνδήποτε δύο γωνιών είναι πάντα μικρότερο από 180 μοίρες,
- εξωτερική γωνία ισούται με το άθροισμα των άλλων δύο γωνιών που δεν τέμνονται με αυτήν.
Η
Θώρημα άθροισμα τριγώνων γωνιών
Το θεώρημα δηλώνει ότι αν αθροίσουμε όλες τις γωνίες ενός δεδομένου γεωμετρικού σχήματος, το οποίο βρίσκεται στο ευκλείδειο επίπεδο, τότε το άθροισμά τους θα είναι 180 μοίρες. Ας προσπαθήσουμε να αποδείξουμε αυτό το θεώρημα.
Ας έχουμε ένα αυθαίρετο τρίγωνο με κορυφές KMN.
Μέσα από την κορυφή M σχεδιάστε μια ευθεία παράλληλη προς την ευθεία KN (αυτή η ευθεία ονομάζεται επίσης ευκλείδεια ευθεία). Σημειώνουμε πάνω του το σημείο Α με τέτοιο τρόπο ώστε τα σημεία Κ και Α να βρίσκονται σε διαφορετικές πλευρές της ευθείας ΜΝ. Παίρνουμε ίσες γωνίες ΑΜΝ και ΚΝΜ, οι οποίες, όπως και οι εσωτερικές, βρίσκονται εγκάρσια και σχηματίζονται από την τέμνουσα ΜΝ μαζί με ευθείες ΚΝ και ΜΑ, οι οποίες είναι παράλληλες. Από αυτό προκύπτει ότι το άθροισμα των γωνιών του τριγώνου που βρίσκεται στις κορυφές Μ και Η είναι ίσο με το μέγεθος της γωνίας ΚΜΑ. Και οι τρεις γωνίες αποτελούν το άθροισμα, το οποίο είναι ίσο με το άθροισμα των γωνιών ΚΜΑ και ΜΚΝ. Δεδομένου ότι αυτές οι γωνίες είναι εσωτερικές μονόπλευρες σε σχέση μεπαράλληλες ευθείες ΚΝ και ΜΑ με τέμνουσα ΚΜ, το άθροισμά τους είναι 180 μοίρες. Αποδεδειγμένο θεώρημα.
Συνέπεια
Το ακόλουθο συμπέρασμα προκύπτει από το θεώρημα που αποδείχθηκε παραπάνω: κάθε τρίγωνο έχει δύο οξείες γωνίες. Για να το αποδείξουμε αυτό, ας υποθέσουμε ότι ένα δεδομένο γεωμετρικό σχήμα έχει μόνο μία οξεία γωνία. Μπορεί επίσης να υποτεθεί ότι καμία από τις γωνίες δεν είναι οξεία. Σε αυτή την περίπτωση, πρέπει να υπάρχουν τουλάχιστον δύο γωνίες ίσες ή μεγαλύτερες από 90 μοίρες. Αλλά τότε το άθροισμα των γωνιών θα είναι μεγαλύτερο από 180 μοίρες. Αλλά αυτό δεν μπορεί να είναι, γιατί σύμφωνα με το θεώρημα, το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι 180 ° - ούτε περισσότερο ούτε λιγότερο. Αυτό έπρεπε να αποδειχθεί.
Εξωτερική γωνιακή ιδιοκτησία
Ποιο είναι το άθροισμα των εξωτερικών γωνιών ενός τριγώνου; Αυτή η ερώτηση μπορεί να απαντηθεί με έναν από τους δύο τρόπους. Το πρώτο είναι ότι είναι απαραίτητο να βρεθεί το άθροισμα των γωνιών, οι οποίες λαμβάνονται μία σε κάθε κορυφή, δηλαδή τρεις γωνίες. Το δεύτερο υπονοεί ότι πρέπει να βρείτε το άθροισμα και των έξι γωνιών στις κορυφές. Αρχικά, ας ασχοληθούμε με την πρώτη επιλογή. Έτσι, το τρίγωνο περιέχει έξι εξωτερικές γωνίες - δύο σε κάθε κορυφή.
Κάθε ζευγάρι έχει ίσες γωνίες επειδή είναι κάθετες:
∟1=∟4, ∟2=∟5, ∟3=∟6.
Εξάλλου, είναι γνωστό ότι η εξωτερική γωνία ενός τριγώνου είναι ίση με το άθροισμα δύο εσωτερικών γωνιών που δεν τέμνονται με αυτό. Επομένως, ∟1=∟A + ∟C, ∟2=∟A + ∟B, ∟3=∟B + ∟C.
Από αυτό προκύπτει ότι το άθροισμα των εξωτερικώνοι γωνίες, οι οποίες λαμβάνονται μία σε κάθε κορυφή, θα είναι ίσες με:
∟1 + ∟2 + ∟3=∟A + ∟C + ∟A + ∟B + ∟B + ∟C=2 x (∟A + ∟B + ∟C).
Δεδομένου ότι το άθροισμα των γωνιών είναι 180 μοίρες, μπορούμε να υποστηρίξουμε ότι ∟A + ∟B + ∟C=180°. Και αυτό σημαίνει ότι ∟1 + ∟2 + ∟3=2 x 180°=360°. Εάν χρησιμοποιηθεί η δεύτερη επιλογή, τότε το άθροισμα των έξι γωνιών θα είναι, αντίστοιχα, διπλάσιο. Δηλαδή, το άθροισμα των εξωτερικών γωνιών του τριγώνου θα είναι:
∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6=2 x (∟1 + ∟2 + ∟2)=720°.
Δεξί τρίγωνο
Ποιο είναι το άθροισμα των οξειών γωνιών ενός ορθογωνίου τριγώνου; Η απάντηση σε αυτό το ερώτημα, πάλι, προκύπτει από το θεώρημα, το οποίο λέει ότι οι γωνίες σε ένα τρίγωνο αθροίζονται έως και 180 μοίρες. Και η δήλωση (ιδιότητα) μας ακούγεται ως εξής: σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, οι οξείες γωνίες αθροίζονται έως και 90 μοίρες. Ας αποδείξουμε την αληθότητά του.
Ας μας δοθεί ένα τρίγωνο KMN, στο οποίο ∟Н=90°. Είναι απαραίτητο να αποδειχθεί ότι ∟K + ∟M=90°.
Έτσι, σύμφωνα με το θεώρημα αθροίσματος γωνιών ∟К + ∟М + ∟Н=180°. Η συνθήκη μας λέει ότι ∟Н=90°. Έτσι αποδεικνύεται, ∟K + ∟M + 90°=180°. Δηλαδή ∟K + ∟M=180° - 90°=90°. Αυτό έπρεπε να αποδείξουμε.
Εκτός από τις παραπάνω ιδιότητες ενός ορθογωνίου τριγώνου, μπορείτε να προσθέσετε τα ακόλουθα:
- οι γωνίες που ακουμπούν στα πόδια είναι έντονες;
- η υποτείνουσα είναι περισσότερο τριγωνική από οποιοδήποτε από τα σκέλη;
- το άθροισμα των ποδιών είναι μεγαλύτερο από την υποτείνουσα;
- πόδιένα τρίγωνο που βρίσκεται απέναντι από μια γωνία 30 μοιρών είναι η μισή της υποτείνουσας, δηλαδή ίσο με το μισό της.
Ως άλλη ιδιότητα αυτού του γεωμετρικού σχήματος, μπορεί να διακριθεί το Πυθαγόρειο θεώρημα. Δηλώνει ότι σε ένα τρίγωνο με γωνία 90 μοιρών (ορθογώνιο), το άθροισμα των τετραγώνων των ποδιών είναι ίσο με το τετράγωνο της υποτείνουσας.
Το άθροισμα των γωνιών ενός ισοσκελούς τριγώνου
Είπαμε νωρίτερα ότι το ισοσκελές είναι ένα πολύγωνο με τρεις κορυφές, που περιέχει δύο ίσες πλευρές. Αυτή η ιδιότητα ενός δεδομένου γεωμετρικού σχήματος είναι γνωστή: οι γωνίες στη βάση του είναι ίσες. Ας το αποδείξουμε.
Πάρτε το τρίγωνο KMN, το οποίο είναι ισοσκελές, KN είναι η βάση του.
Οφείλουμε να αποδείξουμε ότι ∟К=∟Н. Λοιπόν, ας πούμε ότι το MA είναι η διχοτόμος του τριγώνου μας KMN. Το τρίγωνο MCA, λαμβάνοντας υπόψη το πρώτο πρόσημο της ισότητας, είναι ίσο με το τρίγωνο MCA. Δηλαδή, από συνθήκη δίνεται ότι KM=NM, MA είναι μια κοινή πλευρά, ∟1=∟2, αφού η MA είναι διχοτόμος. Χρησιμοποιώντας το γεγονός ότι αυτά τα δύο τρίγωνα είναι ίσα, μπορούμε να δηλώσουμε ότι ∟K=∟Н. Άρα το θεώρημα αποδεικνύεται.
Αλλά μας ενδιαφέρει ποιο είναι το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου (ισοσκελές). Εφόσον από αυτή την άποψη δεν έχει τις δικές του ιδιαιτερότητες, θα ξεκινήσουμε από το θεώρημα που εξετάσαμε προηγουμένως. Δηλαδή, μπορούμε να πούμε ότι ∟K + ∟M + ∟H=180°, ή 2 x ∟K + ∟M=180° (αφού ∟K=∟H). Δεν θα αποδείξουμε αυτήν την ιδιότητα, καθώς το ίδιο το θεώρημα αθροίσματος τριγώνων αποδείχθηκε νωρίτερα.
Εκτός από όσα συζητήθηκανιδιότητες σχετικά με τις γωνίες ενός τριγώνου, υπάρχουν και τέτοιες σημαντικές δηλώσεις:
- σε ένα ισοσκελές τρίγωνο, το ύψος που έχει χαμηλώσει στη βάση είναι και η διάμεσος, η διχοτόμος της γωνίας που βρίσκεται μεταξύ ίσων πλευρών, καθώς και ο άξονας συμμετρίας της βάσης του·
- διάμεσοι (διχοτόμοι, ύψη) που έλκονται στις πλευρές ενός τέτοιου γεωμετρικού σχήματος είναι ίσοι.
Ισόπλευρο τρίγωνο
Λέγεται και δεξιά, είναι το τρίγωνο με όλες τις πλευρές ίσες. Επομένως, οι γωνίες είναι επίσης ίσες. Το καθένα είναι 60 μοίρες. Ας αποδείξουμε αυτήν την ιδιότητα.
Υποθέστε ότι έχουμε ένα τρίγωνο KMN. Γνωρίζουμε ότι KM=NM=KN. Και αυτό σημαίνει ότι σύμφωνα με την ιδιότητα των γωνιών που βρίσκονται στη βάση σε ένα ισοσκελές τρίγωνο, ∟К=∟М=∟Н. Εφόσον, σύμφωνα με το θεώρημα, το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι ∟К + ∟М + ∟Н=180°, τότε 3 x ∟К=180° ή ∟К=60°, ∟М=60°, ∟ Н=60°. Έτσι, η δήλωση αποδεικνύεται.
Όπως μπορείτε να δείτε από την παραπάνω απόδειξη με βάση το θεώρημα, το άθροισμα των γωνιών ενός ισόπλευρου τριγώνου, όπως το άθροισμα των γωνιών οποιουδήποτε άλλου τριγώνου, είναι 180 μοίρες. Δεν χρειάζεται να αποδείξουμε ξανά αυτό το θεώρημα.
Υπάρχουν επίσης τέτοιες ιδιότητες χαρακτηριστικές ενός ισόπλευρου τριγώνου:
- διάμεσος, διχοτόμος, ύψος σε ένα τέτοιο γεωμετρικό σχήμα είναι το ίδιο και το μήκος τους υπολογίζεται ως (a x √3): 2;
- αν περιγράφετε έναν κύκλο γύρω από ένα δεδομένο πολύγωνο, τότε η ακτίνα του θα είναιισούται με (a x √3): 3;
- αν εγγράψετε έναν κύκλο σε ένα ισόπλευρο τρίγωνο, τότε η ακτίνα του θα είναι (a x √3): 6;
- το εμβαδόν αυτού του γεωμετρικού σχήματος υπολογίζεται με τον τύπο: (a2 x √3): 4.
Ομπτογωνικό τρίγωνο
Σύμφωνα με τον ορισμό ενός αμβλυγώνιου τριγώνου, μία από τις γωνίες του είναι μεταξύ 90 και 180 μοιρών. Δεδομένου όμως ότι οι άλλες δύο γωνίες αυτού του γεωμετρικού σχήματος είναι οξείες, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι δεν ξεπερνούν τις 90 μοίρες. Επομένως, το θεώρημα του αθροίσματος των γωνιών του τριγώνου λειτουργεί κατά τον υπολογισμό του αθροίσματος των γωνιών σε ένα αμβλύ τρίγωνο. Αποδεικνύεται ότι μπορούμε να πούμε με ασφάλεια, με βάση το προαναφερθέν θεώρημα, ότι το άθροισμα των γωνιών ενός αμβλεού τριγώνου είναι 180 μοίρες. Και πάλι, αυτό το θεώρημα δεν χρειάζεται να αποδειχθεί εκ νέου.
