Πυθαγόρειο θεώρημα: το τετράγωνο της υποτείνουσας ισούται με το άθροισμα των ποδιών στο τετράγωνο

2024 Συγγραφέας: Angel Austin | [email protected]. Τελευταία τροποποίηση: 2023-12-17 05:22

Κάθε μαθητής γνωρίζει ότι το τετράγωνο της υποτείνουσας είναι πάντα ίσο με το άθροισμα των σκελών, καθένα από τα οποία είναι τετράγωνο. Αυτή η δήλωση ονομάζεται Πυθαγόρειο θεώρημα. Είναι ένα από τα πιο γνωστά θεωρήματα στην τριγωνομετρία και στα μαθηματικά γενικότερα. Εξετάστε το με περισσότερες λεπτομέρειες.

Η έννοια του ορθογωνίου τριγώνου

Πριν εξετάσουμε το Πυθαγόρειο θεώρημα, στο οποίο το τετράγωνο της υποτείνουσας είναι ίσο με το άθροισμα των ποδιών που είναι στο τετράγωνο, θα πρέπει να εξετάσουμε την έννοια και τις ιδιότητες ενός ορθογώνιου τριγώνου, για το οποίο το θεώρημα ισχύει.

Το τρίγωνο είναι ένα επίπεδο σχήμα με τρεις γωνίες και τρεις πλευρές. Ένα ορθογώνιο τρίγωνο, όπως υποδηλώνει το όνομά του, έχει μία ορθή γωνία, δηλαδή, αυτή η γωνία είναι 90o.

Από τις γενικές ιδιότητες για όλα τα τρίγωνα, είναι γνωστό ότι το άθροισμα και των τριών γωνιών αυτού του σχήματος είναι 180^o, που σημαίνει ότι για ένα ορθογώνιο τρίγωνο το άθροισμα των δύο γωνίες που δεν είναι ορθές, είναι 180^o -90^o=90^o. Το τελευταίο γεγονός σημαίνει ότι οποιαδήποτε γωνία σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο που δεν είναι ορθή γωνία θα είναι πάντα μικρότερη από 90^o.

Η πλευρά που βρίσκεται απέναντι από τη σωστή γωνία ονομάζεται υποτείνουσα. Οι άλλες δύο πλευρές είναι τα σκέλη του τριγώνου, μπορεί να είναι ίσα μεταξύ τους ή μπορεί να διαφέρουν. Είναι γνωστό από την τριγωνομετρία ότι όσο μεγαλύτερη είναι η γωνία έναντι της οποίας βρίσκεται μια πλευρά σε ένα τρίγωνο, τόσο μεγαλύτερο είναι το μήκος αυτής της πλευράς. Αυτό σημαίνει ότι σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο η υποτείνουσα (να βρίσκεται απέναντι από τη γωνία 90^o) θα είναι πάντα μεγαλύτερη από οποιοδήποτε από τα σκέλη (να βρίσκεται απέναντι από τις γωνίες < 90^o).

Μαθηματική σημειογραφία του Πυθαγόρειου θεωρήματος

Αυτό το θεώρημα λέει ότι το τετράγωνο της υποτείνουσας είναι ίσο με το άθροισμα των σκελών, καθένα από τα οποία είναι προηγουμένως τετράγωνο. Για να γράψετε αυτή τη διατύπωση μαθηματικά, θεωρήστε ένα ορθογώνιο τρίγωνο στο οποίο οι πλευρές a, b και c είναι τα δύο σκέλη και η υποτείνουσα, αντίστοιχα. Στην περίπτωση αυτή, το θεώρημα, το οποίο δηλώνεται ως το τετράγωνο της υποτείνουσας είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των σκελών, μπορεί να αναπαρασταθεί με τον ακόλουθο τύπο: c²=a 2 ^{+ β} 2^{. Από εδώ, μπορούν να ληφθούν άλλοι τύποι σημαντικοί για εξάσκηση: a=√(c}2 ^{- b}2^{), b=√(c} 2 ^{- a}2 ^{και c=√(a}2 ^{+ β}2^).

Σημειώστε ότι στην περίπτωση ενός ορθογώνιου ισόπλευρου τριγώνου, δηλαδή, a=b, η διατύπωση: το τετράγωνο της υποτείνουσας είναι ίσο με το άθροισμα των σκελών, καθένα από τα οποίαστο τετράγωνο, γραμμένο μαθηματικά ως: c²=a² + b²=2a ^{2, που συνεπάγεται την ισότητα: c=a√2.}

Ιστορικό υπόβαθρο

Το Πυθαγόρειο θεώρημα, που λέει ότι το τετράγωνο της υποτείνουσας είναι ίσο με το άθροισμα των σκελών, καθένα από τα οποία είναι τετράγωνο, ήταν γνωστό πολύ πριν ο διάσημος Έλληνας φιλόσοφος του δώσει προσοχή. Πολλοί πάπυροι της αρχαίας Αιγύπτου, καθώς και πήλινες πινακίδες των Βαβυλωνίων, επιβεβαιώνουν ότι αυτοί οι λαοί χρησιμοποιούσαν τη σημειωμένη ιδιότητα των πλευρών ενός ορθογώνιου τριγώνου. Για παράδειγμα, μια από τις πρώτες αιγυπτιακές πυραμίδες, η πυραμίδα του Khafre, της οποίας η κατασκευή χρονολογείται από τον 26ο αιώνα π. Χ. (2000 χρόνια πριν από τη ζωή του Πυθαγόρα), χτίστηκε με βάση τη γνώση της αναλογίας διαστάσεων σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο 3x4x5.

Γιατί τότε το θεώρημα ονομάζεται τώρα από έναν Έλληνα; Η απάντηση είναι απλή: ο Πυθαγόρας είναι ο πρώτος που απέδειξε μαθηματικά αυτό το θεώρημα. Τα σωζόμενα βαβυλωνιακά και αιγυπτιακά γραπτά αναφέρουν μόνο τη χρήση του, αλλά δεν παρέχουν καμία μαθηματική απόδειξη.

Πιστεύεται ότι ο Πυθαγόρας απέδειξε το υπό εξέταση θεώρημα χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες παρόμοιων τριγώνων, τις οποίες απέκτησε σχεδιάζοντας ύψος σε ορθογώνιο τρίγωνο από τη γωνία 90o προς η υποτείνουσα.

Ένα παράδειγμα χρήσης του Πυθαγόρειου θεωρήματος

Σκεφτείτε ένα απλό πρόβλημα: είναι απαραίτητο να προσδιορίσετε το μήκος μιας κεκλιμένης σκάλας L, εάν είναι γνωστό ότι έχει ύψος H=3μέτρα και η απόσταση από τον τοίχο στον οποίο στηρίζεται η σκάλα μέχρι το πόδι της είναι P=2,5 μέτρα.

Σε αυτήν την περίπτωση, το H και το P είναι τα πόδια και το L είναι η υποτείνουσα. Εφόσον το μήκος της υποτείνουσας είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των ποδιών, παίρνουμε: L²=H² + P 2^{, από όπου L=√(H}2 ^{+ P}2^)=√(3 2 ^{+ 2, 5} 2^{)=3,905 μέτρα ή 3 μέτρα και 90,5 εκ.}