Στο άρθρο που υπενθύμισε, προσφέρουμε παραδείγματα μαθηματικών μοντέλων. Επιπλέον, θα δώσουμε προσοχή στα στάδια δημιουργίας μοντέλων και θα αναλύσουμε ορισμένες από τις εργασίες που σχετίζονται με τη μαθηματική μοντελοποίηση.
Μια ακόμη από τις ερωτήσεις μας αφορά τα μαθηματικά μοντέλα στην οικονομία, παραδείγματα, τον ορισμό των οποίων θα εξετάσουμε λίγο αργότερα. Προτείνουμε να ξεκινήσουμε τη συνομιλία μας με την ίδια την έννοια του «μοντέλου», να εξετάσουμε εν συντομία την ταξινόμησή τους και να προχωρήσουμε στις κύριες ερωτήσεις μας.
Η έννοια του "μοντέλου"
Ακούμε συχνά τη λέξη "μοντέλο". Τι είναι αυτό? Αυτός ο όρος έχει πολλούς ορισμούς, εδώ είναι μόνο τρεις από αυτούς:
- ένα συγκεκριμένο αντικείμενο που δημιουργείται για να λαμβάνει και να αποθηκεύει πληροφορίες, που αντικατοπτρίζουν ορισμένες ιδιότητες ή χαρακτηριστικά, και ούτω καθεξής, του πρωτότυπου αυτού του αντικειμένου (αυτό το συγκεκριμένο αντικείμενο μπορεί να εκφραστεί με διάφορες μορφές: νοητικό, περιγραφή με χρήση πινακίδων, και ούτω καθεξής);
- σημαίνει επίσης την εμφάνιση οποιασδήποτε συγκεκριμένης κατάστασης, ζωής ήδιευθυντικό;
- model μπορεί να χρησιμεύσει ως μειωμένο αντίγραφο οποιουδήποτε αντικειμένου (δημιουργούνται για πιο λεπτομερή μελέτη και ανάλυση, καθώς το μοντέλο αντικατοπτρίζει τη δομή και τις σχέσεις).
Το μοντέλο
Το
Με βάση όλα όσα ειπώθηκαν νωρίτερα, μπορούμε να βγάλουμε ένα μικρό συμπέρασμα: το μοντέλο σας επιτρέπει να μελετήσετε λεπτομερώς ένα σύνθετο σύστημα ή αντικείμενο.
Όλα τα μοντέλα μπορούν να ταξινομηθούν σύμφωνα με μια σειρά κριτηρίων:
- ανά περιοχή χρήσης (εκπαιδευτικό, πειραματικό, επιστημονικό και τεχνικό, gaming, προσομοίωση);
- από δυναμική (στατική και δυναμική);
- κατά κλάδο γνώσης (φυσική, χημική, γεωγραφική, ιστορική, κοινωνιολογική, οικονομική, μαθηματική);
- ως παρουσίαση (υλικό και ενημερωτικό).
Τα μοντέλα πληροφόρησης, με τη σειρά τους, χωρίζονται σε σημάδια και λεκτικά. Και εικονικό - σε υπολογιστή και μη. Τώρα ας προχωρήσουμε σε μια λεπτομερή εξέταση των παραδειγμάτων ενός μαθηματικού μοντέλου.
Μαθηματικό μοντέλο
Όπως μπορείτε να μαντέψετε, ένα μαθηματικό μοντέλο αντικατοπτρίζει ορισμένα χαρακτηριστικά ενός αντικειμένου ή φαινομένου χρησιμοποιώντας ειδικά μαθηματικά σύμβολα. Τα μαθηματικά χρειάζονται για να μοντελοποιηθούν τα πρότυπα του περιβάλλοντος κόσμου στη δική τους συγκεκριμένη γλώσσα.
Η μέθοδος της μαθηματικής μοντελοποίησης ξεκίνησε πριν από πολύ καιρό, χιλιάδες χρόνια πριν, μαζί με την έλευση αυτής της επιστήμης. Ωστόσο, το έναυσμα για την ανάπτυξη αυτής της μεθόδου μοντελοποίησης δόθηκε από την εμφάνιση των υπολογιστών (ηλεκτρονικοί υπολογιστές).
Τώρα ας περάσουμε στην ταξινόμηση. Μπορεί επίσης να πραγματοποιηθεί σύμφωνα με ορισμένα σημάδια. Αυτοί είναιπαρουσιάζονται στον παρακάτω πίνακα.
| Ταξινόμηση ανά κλάδο της επιστήμης | Εφαρμογή μαθηματικών μοντέλων στη φυσική, την κοινωνιολογία, τη χημεία και ούτω καθεξής |
| Σύμφωνα με τη μαθηματική συσκευή που χρησιμοποιείται στη διαδικασία μοντελοποίησης | Μοντέλα που βασίζονται σε διαφορικές εξισώσεις, διακριτούς αλγεβρικούς μετασχηματισμούς και παρόμοια |
| Με τη μοντελοποίηση στόχων | Σύμφωνα με αυτήν την αρχή, υπάρχουν μοντέλα περιγραφής, βελτιστοποίησης, πολλαπλών κριτηρίων, παιχνιδιών και προσομοίωσης |
Προτείνουμε να σταματήσουμε και να ρίξουμε μια πιο προσεκτική ματιά στην τελευταία ταξινόμηση, καθώς αντικατοπτρίζει τα γενικά πρότυπα μοντελοποίησης και τους στόχους των μοντέλων που δημιουργούνται.
Περιγραφικά μοντέλα
Σε αυτό το κεφάλαιο, προτείνουμε να σταθούμε λεπτομερέστερα σε περιγραφικά μαθηματικά μοντέλα. Για να γίνουν όλα πολύ ξεκάθαρα, θα δοθεί ένα παράδειγμα.
Για αρχή, αυτή η προβολή μπορεί να ονομαστεί περιγραφική. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι κάνουμε απλώς υπολογισμούς και προβλέψεις, αλλά δεν μπορούμε να επηρεάσουμε με κανέναν τρόπο την έκβαση του γεγονότος.
Ένα εντυπωσιακό παράδειγμα ενός περιγραφικού μαθηματικού μοντέλου είναι ο υπολογισμός της διαδρομής πτήσης, της ταχύτητας, της απόστασης από τη Γη ενός κομήτη που εισέβαλε στην απεραντοσύνη του ηλιακού μας συστήματος. Αυτό το μοντέλο είναι περιγραφικό, καθώς όλα τα αποτελέσματα που λαμβάνονται μπορούν μόνο να μας προειδοποιήσουν για κάποιου είδους κίνδυνο. Επηρεάζουμε την έκβαση του γεγονότος, δυστυχώς, δεν το κάνουμεΜπορώ. Ωστόσο, με βάση τους υπολογισμούς που προέκυψαν, είναι δυνατό να ληφθούν μέτρα για να σωθεί η ζωή στη Γη.
Μοντέλα βελτιστοποίησης
Τώρα θα μιλήσουμε λίγο για οικονομικά και μαθηματικά μοντέλα, παραδείγματα των οποίων μπορεί να είναι διαφορετικές καταστάσεις. Σε αυτή την περίπτωση, μιλάμε για μοντέλα που βοηθούν στην εύρεση της σωστής απάντησης υπό ορισμένες συνθήκες. Πρέπει να έχουν κάποιες παραμέτρους. Για να γίνει πολύ σαφές, εξετάστε ένα παράδειγμα από το γεωργικό μέρος.
Έχουμε σιταποθήκη, αλλά τα σιτηρά χαλάνε πολύ γρήγορα. Σε αυτήν την περίπτωση, πρέπει να επιλέξουμε το σωστό καθεστώς θερμοκρασίας και να βελτιστοποιήσουμε τη διαδικασία αποθήκευσης.
Έτσι, μπορούμε να ορίσουμε την έννοια του "μοντέλου βελτιστοποίησης". Με μαθηματική έννοια, πρόκειται για ένα σύστημα εξισώσεων (γραμμικό και μη), η λύση των οποίων βοηθά στην εύρεση της βέλτιστης λύσης σε μια συγκεκριμένη οικονομική κατάσταση. Εξετάσαμε ένα παράδειγμα μαθηματικού μοντέλου (βελτιστοποίηση), αλλά θα ήθελα να προσθέσω: αυτός ο τύπος ανήκει στην κατηγορία των ακραίων προβλημάτων, βοηθούν στην περιγραφή της λειτουργίας του οικονομικού συστήματος.
Σημειώστε μια ακόμη απόχρωση: τα μοντέλα μπορεί να είναι διαφορετικής φύσης (δείτε τον παρακάτω πίνακα).
| ντετερμινιστικό | Σε αυτήν την περίπτωση, το αποτέλεσμα εξαρτάται από τα δεδομένα εισόδου |
| stochastic | Περιγραφή τυχαίων διεργασιών. Σε αυτήν την περίπτωση, το αποτέλεσμα παραμένει απροσδιόριστο |
Μοντέλα πολλαπλών κριτηρίων
Τώρα σας προσκαλούμε να μιλήσουμε λίγο για αυτόμαθηματικό μοντέλο πολυσκοπικής βελτιστοποίησης. Πριν από αυτό, δώσαμε ένα παράδειγμα μαθηματικού μοντέλου για τη βελτιστοποίηση μιας διαδικασίας σύμφωνα με οποιοδήποτε κριτήριο, αλλά τι γίνεται αν υπάρχουν πολλά;
Ένα εντυπωσιακό παράδειγμα μιας πολυκριτηριακής εργασίας είναι η οργάνωση σωστής, υγιεινής και ταυτόχρονα οικονομικής διατροφής για μεγάλες ομάδες ανθρώπων. Τέτοιες εργασίες βρίσκονται συχνά στο στρατό, στις σχολικές καντίνες, στις καλοκαιρινές κατασκηνώσεις, στα νοσοκομεία και ούτω καθεξής.
Τι κριτήρια μας δίνονται σε αυτό το πρόβλημα;
- Το φαγητό πρέπει να είναι υγιεινό.
- Οι δαπάνες για φαγητό πρέπει να περιορίζονται στο ελάχιστο.
Όπως μπορείτε να δείτε, αυτοί οι στόχοι δεν συμπίπτουν καθόλου. Αυτό σημαίνει ότι κατά την επίλυση ενός προβλήματος, είναι απαραίτητο να αναζητήσετε τη βέλτιστη λύση, μια ισορροπία μεταξύ δύο κριτηρίων.
Μοντέλα παιχνιδιών
Μιλώντας για μοντέλα παιχνιδιών, είναι απαραίτητο να κατανοήσουμε την έννοια της «θεωρίας παιγνίων». Με απλά λόγια, αυτά τα μοντέλα αντικατοπτρίζουν μαθηματικά μοντέλα πραγματικών συγκρούσεων. Απλώς να γνωρίζετε ότι, σε αντίθεση με μια πραγματική σύγκρουση, το μαθηματικό μοντέλο παιχνιδιού έχει τους δικούς του συγκεκριμένους κανόνες.
Τώρα θα υπάρχουν ελάχιστες πληροφορίες από τη θεωρία παιγνίων που θα σας βοηθήσουν να κατανοήσετε τι είναι ένα μοντέλο παιχνιδιού. Και έτσι, στο μοντέλο υπάρχουν απαραίτητα πάρτι (δύο ή περισσότερα), που συνήθως ονομάζονται παίκτες.
Όλα τα μοντέλα έχουν ορισμένα χαρακτηριστικά.
| Θέματα | Αριθμός παικτών |
| Στρατηγική | Επιλογές για πιθανές ενέργειες |
| Πληρωμή | Έκβαση της σύγκρουσης (νίκη ή ήττα). |
Το μοντέλο παιχνιδιού μπορεί να είναι ζευγαρωμένο ή πολλαπλό. Εάν έχουμε δύο θέματα, τότε η σύγκρουση είναι ζευγαρωμένη, αν περισσότερα - πολλαπλά. Διακρίνεται επίσης ένα ανταγωνιστικό παιχνίδι, ονομάζεται επίσης παιχνίδι μηδενικού αθροίσματος. Αυτό είναι ένα μοντέλο στο οποίο το κέρδος ενός από τους συμμετέχοντες ισούται με την απώλεια του άλλου.
Μοντέλα προσομοίωσης
Σε αυτήν την ενότητα, θα δώσουμε προσοχή στα μαθηματικά μοντέλα προσομοίωσης. Παραδείγματα εργασιών είναι:
- μοντέλο της δυναμικής του αριθμού των μικροοργανισμών;
- μοντέλο της κίνησης των μορίων, και ούτω καθεξής.
Σε αυτήν την περίπτωση, μιλάμε για μοντέλα που είναι όσο το δυνατόν πιο κοντά σε πραγματικές διαδικασίες. Σε γενικές γραμμές, μιμούνται οποιαδήποτε εκδήλωση στη φύση. Στην πρώτη περίπτωση, για παράδειγμα, μπορούμε να μοντελοποιήσουμε τη δυναμική του αριθμού των μυρμηγκιών σε μία αποικία. Σε αυτή την περίπτωση, μπορείτε να παρατηρήσετε τη μοίρα του κάθε ατόμου. Σε αυτήν την περίπτωση, η μαθηματική περιγραφή χρησιμοποιείται σπάνια, πιο συχνά υπάρχουν γραπτές συνθήκες:
- μετά από πέντε ημέρες το θηλυκό γεννά αυγά;
- 20 ημέρες αργότερα το μυρμήγκι πεθαίνει και ούτω καθεξής.
Έτσι, χρησιμοποιούνται μοντέλα προσομοίωσης για την περιγραφή ενός μεγάλου συστήματος. Μαθηματικό συμπέρασμα είναι η επεξεργασία των λαμβανόμενων στατιστικών δεδομένων.
Απαιτήσεις
Πολύ σημαντικόνα γνωρίζετε ότι υπάρχουν ορισμένες απαιτήσεις για αυτόν τον τύπο μοντέλου, μεταξύ των οποίων είναι αυτές που δίνονται στον παρακάτω πίνακα.
| Πολυχρηστικότητα | Αυτή η ιδιότητα σάς επιτρέπει να χρησιμοποιείτε το ίδιο μοντέλο όταν περιγράφετε ομάδες αντικειμένων του ίδιου τύπου. Είναι σημαντικό να σημειωθεί ότι τα καθολικά μαθηματικά μοντέλα είναι εντελώς ανεξάρτητα από τη φυσική φύση του υπό μελέτη αντικειμένου |
| Επάρκεια | Είναι σημαντικό να καταλάβετε εδώ ότι αυτή η ιδιότητα σας επιτρέπει να αναπαράγετε πραγματικές διεργασίες όσο το δυνατόν ακριβέστερα. Σε προβλήματα λειτουργίας, αυτή η ιδιότητα της μαθηματικής μοντελοποίησης είναι πολύ σημαντική. Ένα παράδειγμα μοντέλου είναι η διαδικασία βελτιστοποίησης της χρήσης ενός συστήματος αερίου. Σε αυτήν την περίπτωση, οι υπολογισμένοι και οι πραγματικοί δείκτες συγκρίνονται, ως αποτέλεσμα, ελέγχεται η ορθότητα του μεταγλωττισμένου μοντέλου |
| Ακρίβεια | Αυτή η απαίτηση συνεπάγεται τη σύμπτωση των τιμών που λαμβάνουμε κατά τον υπολογισμό του μαθηματικού μοντέλου και των παραμέτρων εισόδου του πραγματικού μας αντικειμένου |
| Economy | Η απαίτηση κόστους-αποτελεσματικότητας για οποιοδήποτε μαθηματικό μοντέλο χαρακτηρίζεται από κόστος υλοποίησης. Εάν η εργασία με το μοντέλο εκτελείται χειροκίνητα, τότε είναι απαραίτητο να υπολογίσετε πόσο χρόνο θα χρειαστεί για την επίλυση ενός προβλήματος χρησιμοποιώντας αυτό το μαθηματικό μοντέλο. Αν μιλάμε για σχεδιασμό με τη βοήθεια υπολογιστή, τότε υπολογίζονται οι δείκτες κόστους χρόνου και μνήμης υπολογιστή |
Στάδιαμοντελοποίηση
Συνολικά, συνηθίζεται να διακρίνουμε τέσσερα στάδια στη μαθηματική μοντελοποίηση.
- Διατυπώστε τους νόμους που συνδέουν τα μέρη του μοντέλου.
- Έρευνα μαθηματικών προβλημάτων.
- Διευκρίνιση της σύμπτωσης πρακτικών και θεωρητικών αποτελεσμάτων.
- Ανάλυση και εκσυγχρονισμός του μοντέλου.
Οικονομικό και μαθηματικό μοντέλο
Σε αυτήν την ενότητα, θα επισημάνουμε εν συντομία το ζήτημα των οικονομικών και μαθηματικών μοντέλων. Παραδείγματα εργασιών είναι:
- διαμόρφωση προγράμματος παραγωγής για την παραγωγή προϊόντων κρέατος, εξασφαλίζοντας το μέγιστο κέρδος παραγωγής;
- μεγιστοποιήστε το κέρδος του οργανισμού υπολογίζοντας τον βέλτιστο αριθμό τραπεζιών και καρεκλών που θα παραχθούν σε ένα εργοστάσιο επίπλων και ούτω καθεξής.
Το οικονομικό-μαθηματικό μοντέλο εμφανίζει μια οικονομική αφαίρεση, η οποία εκφράζεται χρησιμοποιώντας μαθηματικούς όρους και σημεία.
Μαθηματικό μοντέλο υπολογιστή
Παραδείγματα μαθηματικού μοντέλου υπολογιστή είναι:
- προβλήματα υδραυλικών συστημάτων με χρήση διαγραμμάτων ροής, διαγραμμάτων, πινάκων και ούτω καθεξής;
- προβλήματα στη μηχανική στερεών και ούτω καθεξής.
Το μοντέλο υπολογιστή είναι μια εικόνα ενός αντικειμένου ή συστήματος που παρουσιάζεται ως:
- πίνακες;
- διαγράμματα ροής;
- διαγράμματα;
- γραφικά και ούτω καθεξής.
Ταυτόχρονα, αυτό το μοντέλο αντικατοπτρίζει τη δομή και τις διασυνδέσεις του συστήματος.
Δημιουργία ενός οικονομομαθηματικού μοντέλου
Έχουμε ήδη μιλήσει για το τι οικονομικόμαθηματικό μοντέλο. Ένα παράδειγμα επίλυσης του προβλήματος θα εξεταστεί τώρα. Πρέπει να αναλύσουμε το πρόγραμμα παραγωγής για να εντοπίσουμε το αποθεματικό για την αύξηση των κερδών με μια μετατόπιση της ποικιλίας.
Δεν θα εξετάσουμε πλήρως το πρόβλημα, αλλά θα δημιουργήσουμε μόνο ένα οικονομικό και μαθηματικό μοντέλο. Το κριτήριο της αποστολής μας είναι η μεγιστοποίηση του κέρδους. Τότε η συνάρτηση έχει τη μορφή: Л=р1х1+р2х2… τείνει στο μέγιστο. Σε αυτό το μοντέλο, p είναι το κέρδος ανά μονάδα, x είναι ο αριθμός των μονάδων που παράγονται. Περαιτέρω, με βάση το κατασκευασμένο μοντέλο, είναι απαραίτητο να γίνουν υπολογισμοί και να συνοψιστούν.
Ένα παράδειγμα κατασκευής ενός απλού μαθηματικού μοντέλου
Εργασία. Ο ψαράς επέστρεψε με τα ακόλουθα αλιεύματα:
- 8 ψάρια - κάτοικοι των βορείων θαλασσών;
- 20% των αλιευμάτων - οι κάτοικοι των νότιων θαλασσών;
- δεν βρέθηκε ούτε ένα ψάρι από τον τοπικό ποταμό.
Πόσα ψάρια αγόρασε από το κατάστημα;
Έτσι, ένα παράδειγμα κατασκευής ενός μαθηματικού μοντέλου αυτού του προβλήματος είναι το ακόλουθο. Συμβολίζουμε τον συνολικό αριθμό των ψαριών ως x. Σύμφωνα με την κατάσταση, 0,2x είναι ο αριθμός των ψαριών που ζουν στα νότια γεωγραφικά πλάτη. Τώρα συνδυάζουμε όλες τις διαθέσιμες πληροφορίες και παίρνουμε το μαθηματικό μοντέλο του προβλήματος: x=0, 2x+8. Λύνουμε την εξίσωση και παίρνουμε την απάντηση στην κύρια ερώτηση: αγόρασε 10 ψάρια στο κατάστημα.
