Ο Georg Kantor (φωτογραφία δίνεται αργότερα στο άρθρο) είναι ένας Γερμανός μαθηματικός που δημιούργησε τη θεωρία συνόλων και εισήγαγε την έννοια των διαπερασμένων αριθμών, απείρως μεγάλων, αλλά διαφορετικών μεταξύ τους. Καθόρισε επίσης τους τακτικούς και τους βασικούς αριθμούς και δημιούργησε την αριθμητική τους.
Georg Kantor: σύντομη βιογραφία
Γεννήθηκε στην Αγία Πετρούπολη στις 1845-03-03. Ο πατέρας του ήταν ένας Δανός προτεσταντικής πίστης, ο Georg-Valdemar Kantor, ο οποίος ασχολούνταν με το εμπόριο, μεταξύ άλλων στο χρηματιστήριο. Η μητέρα του Μαρία Μπεμ ήταν καθολική και καταγόταν από οικογένεια επιφανών μουσικών. Όταν ο πατέρας του Γκέοργκ αρρώστησε το 1856, η οικογένεια μετακόμισε πρώτα στο Βισμπάντεν και μετά στη Φρανκφούρτη αναζητώντας ένα πιο ήπιο κλίμα. Τα μαθηματικά χαρίσματα του αγοριού φάνηκαν ακόμη και πριν τα 15α γενέθλιά του, ενώ σπούδαζε σε ιδιωτικά σχολεία και γυμναστήρια στο Ντάρμσταντ και στο Βισμπάντεν. Στο τέλος, ο Georg Cantor έπεισε τον πατέρα του για τη σταθερή του πρόθεση να γίνει μαθηματικός, όχι μηχανικός.
Μετά από μια σύντομη μελέτη στο Πανεπιστήμιο της Ζυρίχης, το 1863 ο Kantor μεταγράφηκε στο Πανεπιστήμιο του Βερολίνου για να σπουδάσει φυσική, φιλοσοφία και μαθηματικά. Εκεί τονδιδάχθηκε:
- Karl Theodor Weierstrass, του οποίου η εξειδίκευση στην ανάλυση είχε πιθανώς τη μεγαλύτερη επιρροή στον Georg;
- Ernst Eduard Kummer, ο οποίος δίδαξε ανώτερη αριθμητική;
- Leopold Kronecker, θεωρητικός αριθμών που αργότερα αντιτάχθηκε στον Cantor.
Αφού πέρασε ένα εξάμηνο στο Πανεπιστήμιο του Γκέτινγκεν το 1866, τον επόμενο χρόνο ο Georg έγραψε τη διδακτορική του διατριβή με τίτλο "Στα μαθηματικά η τέχνη του να κάνεις ερωτήσεις είναι πιο πολύτιμη από την επίλυση προβλημάτων", σχετικά με ένα πρόβλημα που είχε ο Carl Friedrich Gauss άφησε άλυτο στο Disquisitiones Arithmeticae (1801). Αφού δίδαξε για λίγο στη Σχολή Θηλέων του Βερολίνου, ο Kantor άρχισε να εργάζεται στο Πανεπιστήμιο του Halle, όπου παρέμεινε μέχρι το τέλος της ζωής του, πρώτα ως δάσκαλος, από το 1872 ως επίκουρος καθηγητής και από το 1879 ως καθηγητής.
Έρευνα
Στην αρχή μιας σειράς 10 εργασιών από το 1869 έως το 1873, ο Georg Cantor εξέτασε τη θεωρία αριθμών. Το έργο αντανακλούσε το πάθος του για το θέμα, τις μελέτες του για τον Γκάους και την επιρροή του Κρόνεκερ. Μετά από πρόταση του Heinrich Eduard Heine, συναδέλφου του Cantor στο Halle, ο οποίος αναγνώρισε το μαθηματικό του ταλέντο, στράφηκε στη θεωρία των τριγωνομετρικών σειρών, στην οποία επέκτεινε την έννοια των πραγματικών αριθμών.
Με βάση την εργασία για τη συνάρτηση μιας μιγαδικής μεταβλητής από τον Γερμανό μαθηματικό Bernhard Riemann το 1854, το 1870 ο Kantor έδειξε ότι μια τέτοια συνάρτηση μπορεί να αναπαρασταθεί μόνο με έναν τρόπο - με τριγωνομετρικές σειρές. Θεώρηση ενός συνόλου αριθμών (σημείων) πουδεν θα αντέκρουε μια τέτοια άποψη, τον οδήγησε, πρώτον, το 1872 στον ορισμό των παράλογων αριθμών ως προς τις συγκλίνουσες ακολουθίες ορθολογικών αριθμών (κλάσματα ακεραίων) και περαιτέρω στην αρχή της εργασίας για το έργο της ζωής του, τη θεωρία συνόλων και την έννοια. των διαπερασμένων αριθμών.
Θεωρία Συνόλων
Ο Georg Cantor, του οποίου η θεωρία συνόλων προήλθε από αλληλογραφία με τον μαθηματικό του Τεχνικού Ινστιτούτου του Braunschweig Richard Dedekind, ήταν φίλος του από την παιδική του ηλικία. Κατέληξαν στο συμπέρασμα ότι τα σύνολα, είτε πεπερασμένα είτε άπειρα, είναι συλλογές στοιχείων (π.χ. αριθμοί, {0, ±1, ±2….}) που έχουν μια συγκεκριμένη ιδιότητα διατηρώντας την ατομικότητά τους. Αλλά όταν ο Georg Cantor χρησιμοποίησε μια αλληλογραφία ένας προς έναν (για παράδειγμα, {A, B, C} προς {1, 2, 3}) για να μελετήσει τα χαρακτηριστικά τους, συνειδητοποίησε γρήγορα ότι διαφέρουν ως προς τον βαθμό συμμετοχής τους, ακόμη και αν ήταν άπειρα σύνολα., δηλαδή σύνολα, ένα μέρος ή υποσύνολο των οποίων περιλαμβάνει τόσα αντικείμενα όσα και το ίδιο. Η μέθοδός του έδωσε σύντομα εκπληκτικά αποτελέσματα.
Το 1873, ο Georg Cantor (μαθηματικός) έδειξε ότι οι ορθολογικοί αριθμοί, αν και άπειροι, είναι μετρήσιμοι επειδή μπορούν να τεθούν σε αντιστοιχία ένα προς ένα με φυσικούς αριθμούς (δηλαδή 1, 2, 3, κ.λπ.). ρε.). Έδειξε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμών, που αποτελείται από παράλογους και ορθολογικούς, είναι άπειρο και αμέτρητο. Πιο παράδοξα, ο Cantor απέδειξε ότι το σύνολο όλων των αλγεβρικών αριθμών περιέχει τόσα στοιχείαπόσα είναι το σύνολο όλων των ακεραίων και ότι οι υπερβατικοί αριθμοί, που δεν είναι αλγεβρικοί, που είναι υποσύνολο παράλογων αριθμών, είναι αμέτρητοι και, επομένως, ο αριθμός τους είναι μεγαλύτερος από τους ακέραιους και θα πρέπει να θεωρούνται άπειροι.
Αντίπαλοι και υποστηρικτές
Αλλά η εργασία του Kantor, στην οποία παρουσίασε για πρώτη φορά αυτά τα αποτελέσματα, δεν δημοσιεύτηκε στο Krell, καθώς ένας από τους κριτές, ο Kronecker, αντιτάχθηκε σθεναρά. Αλλά μετά από παρέμβαση του Dedekind, δημοσιεύτηκε το 1874 με τον τίτλο "Σχετικά με τις χαρακτηριστικές ιδιότητες όλων των πραγματικών αλγεβρικών αριθμών."
Επιστήμη και ιδιωτική ζωή
Την ίδια χρονιά, ενώ βρισκόταν στον μήνα του μέλιτος με τη σύζυγό του Wally Gutman στο Ιντερλάκεν της Ελβετίας, ο Kantor συνάντησε τον Dedekind, ο οποίος μίλησε θετικά για τη νέα του θεωρία. Ο μισθός του Γεωργίου ήταν μικρός, αλλά με τα χρήματα του πατέρα του, που πέθανε το 1863, έχτισε ένα σπίτι για τη γυναίκα του και τα πέντε παιδιά του. Πολλές από τις εργασίες του δημοσιεύτηκαν στη Σουηδία στο νέο περιοδικό Acta Mathematica, που επιμελήθηκε και ιδρύθηκε από την Gesta Mittag-Leffler, η οποία ήταν από τις πρώτες που αναγνώρισαν το ταλέντο του Γερμανού μαθηματικού.
Σύνδεση με τη μεταφυσική
Η θεωρία του Cantor έγινε ένα εντελώς νέο αντικείμενο μελέτης σχετικά με τα μαθηματικά του απείρου (π.χ. σειρές 1, 2, 3, κ.λπ., και πιο σύνθετα σύνολα), τα οποία εξαρτιόνταν σε μεγάλο βαθμό από την αντιστοιχία ένα προς ένα. Η ανάπτυξη νέων μεθόδων σκηνής από τον Kantorερωτήματα σχετικά με τη συνέχεια και το άπειρο, έδωσαν στην έρευνά του έναν διφορούμενο χαρακτήρα.
Όταν υποστήριξε ότι υπάρχουν πραγματικά άπειροι αριθμοί, στράφηκε στην αρχαία και μεσαιωνική φιλοσοφία σχετικά με το πραγματικό και δυνητικό άπειρο, καθώς και στην πρώιμη θρησκευτική εκπαίδευση που του έδωσαν οι γονείς του. Το 1883, στο βιβλίο του Θεμέλια της Γενικής Θεωρίας Συνόλων, ο Kantor συνδύασε την ιδέα του με τη μεταφυσική του Πλάτωνα.
Kronecker, ο οποίος ισχυρίστηκε ότι μόνο ακέραιοι αριθμοί «υπάρχουν» («Ο Θεός δημιούργησε τους ακέραιους αριθμούς, τα υπόλοιπα είναι έργο του ανθρώπου»), για πολλά χρόνια απέρριπτε κατηγορηματικά το σκεπτικό του και απέτρεπε το διορισμό του στο Πανεπιστήμιο του Βερολίνου.
Διαπεραστικοί αριθμοί
Το 1895-97. Ο Georg Cantor διαμόρφωσε πλήρως την αντίληψή του για τη συνέχεια και το άπειρο, συμπεριλαμβανομένων των άπειρων τακτικών και βασικών αριθμών, στο πιο διάσημο έργο του, που δημοσιεύτηκε ως Συνεισφορές στην Καθιέρωση της Θεωρίας των Transfinite Numbers (1915). Αυτό το δοκίμιο περιέχει την ιδέα του, στην οποία οδηγήθηκε δείχνοντας ότι ένα άπειρο σύνολο μπορεί να τεθεί σε αντιστοιχία ένα προς ένα με ένα από τα υποσύνολά του.
Κάτω από τον λιγότερο διεξοδικό βασικό αριθμό, εννοούσε την καρδινάτητα οποιουδήποτε συνόλου που μπορεί να τεθεί σε αντιστοιχία ένα προς ένα με φυσικούς αριθμούς. Ο Cantor το ονόμασε aleph-null. Τα μεγάλα διπεπερασμένα σύνολα συμβολίζονται άλεφ-ένα, άλεφ-δύο κ.λπ. Ανέπτυξε περαιτέρω την αριθμητική των διαπερασμένων αριθμών, η οποία ήταν ανάλογη με την πεπερασμένη αριθμητική. έτσι αυτόςεμπλούτισε την έννοια του άπειρου.
Η αντίθεση που αντιμετώπισε και ο χρόνος που χρειάστηκε για να γίνουν πλήρως αποδεκτές οι ιδέες του οφείλονται στη δυσκολία επανεκτίμησης του αρχαίου ερωτήματος του τι είναι αριθμός. Ο Κάντορ έδειξε ότι το σύνολο των σημείων σε μια ευθεία έχει μεγαλύτερη καρδινάτητα από το άλεφ-μηδέν. Αυτό οδήγησε στο γνωστό πρόβλημα της υπόθεσης του συνεχούς - δεν υπάρχουν βασικοί αριθμοί μεταξύ του άλεφ-μηδέν και της ισχύος των σημείων στη γραμμή. Αυτό το πρόβλημα κατά το πρώτο και το δεύτερο μισό του 20ου αιώνα προκάλεσε μεγάλο ενδιαφέρον και μελετήθηκε από πολλούς μαθηματικούς, συμπεριλαμβανομένων των Kurt Gödel και Paul Cohen.
Κατάθλιψη
Η βιογραφία του Georg Kantor από το 1884 επισκιάστηκε από την ψυχική του ασθένεια, αλλά συνέχισε να εργάζεται ενεργά. Το 1897 βοήθησε στη διεξαγωγή του πρώτου διεθνούς μαθηματικού συνεδρίου στη Ζυρίχη. Εν μέρει επειδή αντιμετώπιζε τον Kronecker, συμπαθούσε συχνά νέους επίδοξους μαθηματικούς και έψαχνε να βρει έναν τρόπο να τους σώσει από την παρενόχληση των δασκάλων που ένιωθαν ότι απειλούνται από νέες ιδέες.
Αναγνώριση
Στις αρχές του αιώνα, το έργο του αναγνωρίστηκε πλήρως ως η βάση για τη θεωρία συναρτήσεων, την ανάλυση και την τοπολογία. Επιπλέον, τα βιβλία του Κάντορ Γκέοργκ λειτούργησαν ως ώθηση για την περαιτέρω ανάπτυξη των διαισθησιοκρατικών και φορμαλιστικών σχολών των λογικών θεμελίων των μαθηματικών. Αυτό άλλαξε σημαντικά το σύστημα διδασκαλίας και συχνά συνδέεται με τα «νέα μαθηματικά».
Το 1911, ο Kantor ήταν μεταξύ εκείνων που προσκλήθηκανεορτασμός της 500ης επετείου του Πανεπιστημίου του St. Andrews στη Σκωτία. Πήγε εκεί με την ελπίδα να συναντήσει τον Bertrand Russell, ο οποίος, στο έργο του Principia Mathematica που δημοσιεύτηκε πρόσφατα, αναφέρθηκε επανειλημμένα στον Γερμανό μαθηματικό, αλλά αυτό δεν συνέβη. Το πανεπιστήμιο απένειμε στον Kantor τιμητικό πτυχίο, αλλά λόγω ασθένειας δεν μπόρεσε να αποδεχθεί το βραβείο αυτοπροσώπως.
Ο Kantor συνταξιοδοτήθηκε το 1913, έζησε στη φτώχεια και λιμοκτονούσε κατά τον Πρώτο Παγκόσμιο Πόλεμο. Οι εορτασμοί προς τιμήν των 70ων γενεθλίων του το 1915 ακυρώθηκαν λόγω του πολέμου, αλλά μια μικρή τελετή έγινε στο σπίτι του. Πέθανε την 1918-06-01 στο Halle, σε ψυχιατρείο, όπου πέρασε τα τελευταία χρόνια της ζωής του.
Georg Kantor: βιογραφία. Οικογένεια
9 Αυγούστου 1874, ένας Γερμανός μαθηματικός παντρεύτηκε τον Wally Gutmann. Το ζευγάρι είχε 4 γιους και 2 κόρες. Το τελευταίο παιδί γεννήθηκε το 1886 σε ένα νέο σπίτι που αγόρασε ο Kantor. Η κληρονομιά του πατέρα του τον βοήθησε να συντηρήσει την οικογένειά του. Η υγεία του Kantor επηρεάστηκε πολύ από τον θάνατο του μικρότερου γιου του το 1899 και η κατάθλιψη δεν τον εγκατέλειψε έκτοτε.
