Για πολλούς ανθρώπους, η μαθηματική ανάλυση είναι απλώς ένα σύνολο ακατανόητων αριθμών, εικονιδίων και ορισμών που απέχουν πολύ από την πραγματική ζωή. Ωστόσο, ο κόσμος στον οποίο υπάρχουμε βασίζεται σε αριθμητικά μοτίβα, η αναγνώριση των οποίων βοηθά όχι μόνο να μάθουμε για τον κόσμο γύρω μας και να λύσουμε τα περίπλοκα προβλήματά του, αλλά και να απλοποιήσουμε τις καθημερινές πρακτικές εργασίες. Τι εννοεί ένας μαθηματικός όταν λέει ότι μια αριθμητική ακολουθία συγκλίνει; Αυτό πρέπει να συζητηθεί με περισσότερες λεπτομέρειες.
Τι είναι απειροελάχιστο;
Ας φανταστούμε κούκλες matryoshka που χωρούν η μία μέσα στην άλλη. Τα μεγέθη τους, γραμμένα με τη μορφή αριθμών, ξεκινώντας από το μεγαλύτερο και τελειώνοντας με το μικρότερο από αυτά, σχηματίζουν μια ακολουθία. Εάν φανταστείτε έναν άπειρο αριθμό τέτοιων φωτεινών φιγούρων, τότε η σειρά που θα προκύψει θα είναι φανταστικά μεγάλη. Αυτή είναι μια συγκλίνουσα ακολουθία αριθμών. Και τείνει στο μηδέν, αφού το μέγεθος κάθε επόμενης κούκλας φωλιάσματος, που μειώνεται καταστροφικά, σταδιακά μετατρέπεται σε τίποτα. Έτσι είναι εύκολομπορεί να εξηγηθεί: τι είναι απειροελάχιστο.
Ένα παρόμοιο παράδειγμα θα ήταν ένας δρόμος που οδηγεί σε απόσταση. Και οι οπτικές διαστάσεις του αυτοκινήτου που απομακρύνεται από τον παρατηρητή κατά μήκος του, συρρικνώνοντας σταδιακά, μετατρέπονται σε ένα άμορφο σημείο που μοιάζει με κουκκίδα. Έτσι, η μηχανή, όπως ένα αντικείμενο, που απομακρύνεται προς άγνωστη κατεύθυνση, γίνεται απείρως μικρή. Οι παράμετροι του καθορισμένου σώματος δεν θα είναι ποτέ μηδέν με την κυριολεκτική έννοια της λέξης, αλλά τείνουν πάντα σε αυτήν την τιμή στο τελικό όριο. Επομένως, αυτή η ακολουθία συγκλίνει ξανά στο μηδέν.
Υπολογίστε τα πάντα σταγόνα-σταγόνα
Ας φανταστούμε τώρα μια κοσμική κατάσταση. Ο γιατρός συνταγογραφούσε στον ασθενή να παίρνει το φάρμακο, ξεκινώντας με δέκα σταγόνες την ημέρα και προσθέτοντας δύο κάθε επόμενη μέρα. Και έτσι ο γιατρός πρότεινε να συνεχίσουμε μέχρι να εξαντληθεί το περιεχόμενο του φιαλιδίου του φαρμάκου, ο όγκος του οποίου είναι 190 σταγόνες. Από τα προηγούμενα προκύπτει ότι ο αριθμός τέτοιων, προγραμματισμένος ανά ημέρα, θα είναι οι ακόλουθες αριθμητικές σειρές: 10, 12, 14 κ.ο.κ.
Πώς να μάθετε τον χρόνο για την ολοκλήρωση ολόκληρου του μαθήματος και τον αριθμό των μελών της ακολουθίας; Εδώ βέβαια μπορεί κανείς να μετρήσει σταγόνες με πρωτόγονο τρόπο. Αλλά είναι πολύ πιο εύκολο, δεδομένου του σχεδίου, να χρησιμοποιήσετε τον τύπο για το άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου με βήμα d=2. Και χρησιμοποιώντας αυτήν τη μέθοδο, ανακαλύψτε ότι ο αριθμός των μελών της σειράς αριθμών είναι 10. Σε αυτήν την περίπτωση, a10=28. Ο αριθμός του πέους υποδεικνύει τον αριθμό των ημερών λήψης του φαρμάκου και το 28 αντιστοιχεί στον αριθμό των σταγόνων που πρέπει ο ασθενήςχρησιμοποιήστε την τελευταία ημέρα. Συγκλίνει αυτή η ακολουθία; Όχι, γιατί παρά το γεγονός ότι περιορίζεται στο 10 από κάτω και στο 28 από πάνω, μια τέτοια σειρά αριθμών δεν έχει όριο, σε αντίθεση με τα προηγούμενα παραδείγματα.
Ποια είναι η διαφορά;
Ας προσπαθήσουμε τώρα να διευκρινίσουμε: πότε η σειρά αριθμών αποδεικνύεται ότι είναι συγκλίνουσα ακολουθία. Ένας ορισμός αυτού του είδους, όπως προκύπτει από τα παραπάνω, σχετίζεται άμεσα με την έννοια του πεπερασμένου ορίου, η παρουσία του οποίου αποκαλύπτει την ουσία του ζητήματος. Ποια είναι λοιπόν η θεμελιώδης διαφορά μεταξύ των παραδειγμάτων που δόθηκαν προηγουμένως; Και γιατί στο τελευταίο από αυτά, ο αριθμός 28 δεν μπορεί να θεωρηθεί το όριο της σειράς αριθμών X =10 + 2(n-1);
Για να διευκρινίσετε αυτήν την ερώτηση, εξετάστε μια άλλη ακολουθία που δίνεται από τον παρακάτω τύπο, όπου το n ανήκει στο σύνολο των φυσικών αριθμών.
Αυτή η κοινότητα μελών είναι ένα σύνολο κοινών κλασμάτων, ο αριθμητής των οποίων είναι 1 και ο παρονομαστής αυξάνεται συνεχώς: 1, ½ …
Επιπλέον, κάθε διαδοχικός εκπρόσωπος αυτής της σειράς πλησιάζει όλο και περισσότερο το 0 ως προς τη θέση στην αριθμητική γραμμή. Και αυτό σημαίνει ότι μια τέτοια γειτονιά εμφανίζεται όπου τα σημεία συγκεντρώνονται γύρω από το μηδέν, που είναι το όριο. Και όσο πιο κοντά είναι, τόσο πιο πυκνή γίνεται η συγκέντρωσή τους στην αριθμητική γραμμή. Και η μεταξύ τους απόσταση μειώνεται καταστροφικά, μετατρέπεται σε απειροελάχιστη. Αυτό είναι ένα σημάδι ότι η ακολουθία συγκλίνει.
ΠαρόμοιοΈτσι, τα πολύχρωμα ορθογώνια που φαίνονται στο σχήμα, όταν απομακρύνονται στο διάστημα, είναι οπτικά πιο συνωστισμένα, στο υποθετικό όριο μετατρέπονται σε αμελητέα.
Απεριόριστα μεγάλες ακολουθίες
Έχοντας αναλύσει τον ορισμό της συγκλίνουσας ακολουθίας, ας προχωρήσουμε σε αντιπαραδείγματα. Πολλά από αυτά είναι γνωστά στον άνθρωπο από τα αρχαία χρόνια. Οι απλούστερες παραλλαγές αποκλίνουσες ακολουθίες είναι οι σειρές φυσικών και ζυγών αριθμών. Ονομάζονται απείρως μεγάλα με διαφορετικό τρόπο, αφού τα μέλη τους, συνεχώς αυξανόμενα, πλησιάζουν όλο και περισσότερο το θετικό άπειρο.
Ένα παράδειγμα τέτοιου είδους μπορεί επίσης να είναι οποιαδήποτε από τις αριθμητικές και γεωμετρικές προόδους με βήμα και παρονομαστή, αντίστοιχα, μεγαλύτερα από το μηδέν. Επιπλέον, οι αριθμητικές σειρές θεωρούνται αποκλίνουσες ακολουθίες, οι οποίες δεν έχουν καθόλου όριο. Για παράδειγμα, X =(-2) -1.
Ακολουθία Fibonacci
Τα πρακτικά οφέλη της προαναφερθείσας σειράς αριθμών για την ανθρωπότητα είναι αναμφισβήτητα. Υπάρχουν όμως αμέτρητα άλλα σπουδαία παραδείγματα. Ένα από αυτά είναι η ακολουθία Fibonacci. Κάθε μέλος του, που αρχίζει με ένα, είναι το άθροισμα των προηγούμενων. Οι δύο πρώτοι εκπρόσωποί του είναι 1 και 1. Ο τρίτος 1+1=2, ο τέταρτος 1+2=3, ο πέμπτος 2+3=5. Περαιτέρω, σύμφωνα με την ίδια λογική, ακολουθούν οι αριθμοί 8, 13, 21 και ούτω καθεξής.
Αυτή η σειρά αριθμών αυξάνεται επ' αόριστον και δεν έχειτελικό όριο. Έχει όμως μια άλλη υπέροχη ιδιότητα. Η αναλογία κάθε προηγούμενου αριθμού προς τον επόμενο πλησιάζει ολοένα και περισσότερο στην τιμή του στο 0,618. Εδώ μπορείτε να καταλάβετε τη διαφορά μεταξύ μιας συγκλίνουσας και αποκλίνουσας ακολουθίας, επειδή εάν κάνετε μια σειρά λαμβανόμενων μερικών διαιρέσεων, το υποδεικνυόμενο αριθμητικό σύστημα θα έχουν πεπερασμένο όριο ίσο με 0,618.
Ακολουθία αναλογιών Fibonacci
Η σειρά αριθμών που αναφέρεται παραπάνω χρησιμοποιείται ευρέως για πρακτικούς σκοπούς για την τεχνική ανάλυση των αγορών. Αυτό όμως δεν περιορίζεται στις δυνατότητές του, που οι Αιγύπτιοι και οι Έλληνες γνώριζαν και μπόρεσαν να τις εφαρμόσουν στην αρχαιότητα. Αυτό αποδεικνύεται από τις πυραμίδες που έχτισαν και τον Παρθενώνα. Άλλωστε, ο αριθμός 0,618 είναι ένας σταθερός συντελεστής της χρυσής τομής, πολύ γνωστός στα παλιά χρόνια. Σύμφωνα με αυτόν τον κανόνα, κάθε αυθαίρετο τμήμα μπορεί να διαιρεθεί έτσι ώστε η αναλογία μεταξύ των μερών του να συμπίπτει με την αναλογία μεταξύ του μεγαλύτερου από τα τμήματα και του συνολικού μήκους.
Ας κατασκευάσουμε μια σειρά από τις υποδεικνυόμενες σχέσεις και ας προσπαθήσουμε να αναλύσουμε αυτήν την ακολουθία. Η σειρά αριθμών θα είναι η εξής: 1; 0,5; 0,67; 0,6; 0,625; 0,615; 0, 619 και ούτω καθεξής. Συνεχίζοντας με αυτόν τον τρόπο, μπορούμε να βεβαιωθούμε ότι το όριο της συγκλίνουσας ακολουθίας θα είναι πράγματι 0,618. Ωστόσο, είναι απαραίτητο να σημειώσουμε και άλλες ιδιότητες αυτής της κανονικότητας. Εδώ οι αριθμοί φαίνεται να πηγαίνουν τυχαία, και καθόλου με αύξουσα ή φθίνουσα σειρά. Αυτό σημαίνει ότι αυτή η συγκλίνουσα ακολουθία δεν είναι μονότονη. Γιατί συμβαίνει αυτό θα συζητηθεί περαιτέρω.
Μονοτονικότητα και περιορισμός
Τα μέλη της σειράς αριθμών μπορούν σαφώς να μειώνονται με την αύξηση του αριθμού (εάν x1>x2>x3>…>x >…) ή αυξάνεται (εάν x1<x2316323<…<x <…). Σε αυτή την περίπτωση, η ακολουθία λέγεται ότι είναι αυστηρά μονότονη. Μπορούν επίσης να παρατηρηθούν άλλα μοτίβα, όπου η αριθμητική σειρά θα είναι μη φθίνουσα και μη αυξανόμενη (x1≧x2≧x 3≧ …≧x ≧… ή x1≦x2≦x 3 ≦…≦x ≦…), τότε το διαδοχικά συγκλίνον είναι επίσης μονότονο, αλλά όχι με τη στενή έννοια. Ένα καλό παράδειγμα της πρώτης από αυτές τις επιλογές είναι η σειρά αριθμών που δίνεται από τον ακόλουθο τύπο.
Έχοντας ζωγραφίσει τους αριθμούς αυτής της σειράς, μπορείτε να δείτε ότι οποιοδήποτε από τα μέλη της, που πλησιάζει επ' αόριστον το 1, δεν θα ξεπεράσει ποτέ αυτήν την τιμή. Σε αυτή την περίπτωση, η συγκλίνουσα ακολουθία λέγεται ότι είναι οριοθετημένη. Αυτό συμβαίνει κάθε φορά που υπάρχει ένας τόσο θετικός αριθμός M, ο οποίος είναι πάντα μεγαλύτερος από οποιονδήποτε από τους όρους του modulo σειράς. Εάν μια σειρά αριθμών έχει σημάδια μονοτονίας και έχει ένα όριο, και επομένως συγκλίνει, τότε είναι απαραίτητα προικισμένη με μια τέτοια ιδιότητα. Και δεν χρειάζεται να ισχύει το αντίθετο. Αυτό αποδεικνύεται από το θεώρημα οριοθέτησης για μια συγκλίνουσα ακολουθία.
Η εφαρμογή τέτοιων παρατηρήσεων στην πράξη είναι πολύ χρήσιμη. Ας δώσουμε ένα συγκεκριμένο παράδειγμα εξετάζοντας τις ιδιότητες της ακολουθίας X =n/n+1, και να αποδείξετε τη σύγκλιση του. Είναι εύκολο να δείξουμε ότι είναι μονότονο, αφού (x +1 – x) είναι θετικός αριθμός για τυχόν n τιμές. Το όριο της ακολουθίας είναι ίσο με τον αριθμό 1, που σημαίνει ότι πληρούνται όλες οι προϋποθέσεις του παραπάνω θεωρήματος, που ονομάζεται και θεώρημα Weierstrass. Το θεώρημα για το όριο μιας συγκλίνουσας ακολουθίας δηλώνει ότι αν έχει όριο, τότε σε κάθε περίπτωση αποδεικνύεται ότι είναι οριοθετημένη. Ωστόσο, ας πάρουμε το παρακάτω παράδειγμα. Η σειρά αριθμών X =(-1) οριοθετείται από κάτω με -1 και από πάνω με 1. Αλλά αυτή η ακολουθία δεν είναι μονότονη, δεν έχει όριο, και ως εκ τούτου δεν συγκλίνει. Δηλαδή, η ύπαρξη ορίου και σύγκλισης δεν προκύπτει πάντα από τον περιορισμό. Για να λειτουργήσει αυτό, το κάτω και το ανώτερο όριο πρέπει να ταιριάζουν, όπως στην περίπτωση των αναλογιών Fibonacci.
Αριθμοί και νόμοι του Σύμπαντος
Οι απλούστερες παραλλαγές μιας συγκλίνουσας και αποκλίνουσας ακολουθίας είναι ίσως η αριθμητική σειρά X =n και X =1/n. Το πρώτο από αυτά είναι μια φυσική σειρά αριθμών. Είναι, όπως ήδη αναφέρθηκε, απείρως μεγάλο. Η δεύτερη συγκλίνουσα ακολουθία είναι οριοθετημένη και οι όροι της είναι σχεδόν απειροελάχιστοι σε μέγεθος. Κάθε ένας από αυτούς τους τύπους προσωποποιεί μία από τις πλευρές του πολύπλευρου Σύμπαντος, βοηθώντας ένα άτομο να φανταστεί και να υπολογίσει κάτι άγνωστο, απρόσιτο έως περιορισμένη αντίληψη στη γλώσσα των αριθμών και των ζωδίων.
Οι νόμοι του σύμπαντος, που κυμαίνονται από αμελητέους έως απίστευτα μεγάλους, εκφράζουν επίσης τη χρυσή αναλογία 0,618. Επιστήμονεςπιστεύουν ότι είναι η βάση της ουσίας των πραγμάτων και χρησιμοποιείται από τη φύση για να σχηματίσει τα μέρη της. Οι σχέσεις μεταξύ των επόμενων και των προηγούμενων μελών της σειράς Fibonacci, που έχουμε ήδη αναφέρει, δεν ολοκληρώνουν την επίδειξη των εκπληκτικών ιδιοτήτων αυτής της μοναδικής σειράς. Αν εξετάσουμε το πηλίκο της διαίρεσης του προηγούμενου όρου με τον επόμενο μέσω ενός, τότε παίρνουμε μια σειρά 0,5. 0,33; 0,4; 0,375; 0,384; 0,380; 0, 382 και ούτω καθεξής. Είναι ενδιαφέρον ότι αυτή η περιορισμένη ακολουθία συγκλίνει, δεν είναι μονότονη, αλλά η αναλογία των γειτονικών ακραίων αριθμών από ένα συγκεκριμένο μέλος είναι πάντα περίπου ίση με 0,382, η οποία μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί στην αρχιτεκτονική, την τεχνική ανάλυση και άλλες βιομηχανίες.
Υπάρχουν άλλοι ενδιαφέροντες συντελεστές της σειράς Fibonacci, όλοι παίζουν ιδιαίτερο ρόλο στη φύση και χρησιμοποιούνται επίσης από τον άνθρωπο για πρακτικούς σκοπούς. Οι μαθηματικοί είναι σίγουροι ότι το Σύμπαν αναπτύσσεται σύμφωνα με μια συγκεκριμένη "χρυσή σπείρα", που σχηματίζεται από τους υποδεικνυόμενους συντελεστές. Με τη βοήθειά τους, είναι δυνατό να υπολογιστούν πολλά φαινόμενα που συμβαίνουν στη Γη και στο διάστημα, από την ανάπτυξη του αριθμού ορισμένων βακτηρίων μέχρι την κίνηση μακρινών κομητών. Όπως αποδεικνύεται, ο κώδικας DNA υπακούει σε παρόμοιους νόμους.
φθίνουσα γεωμετρική πρόοδο
Υπάρχει ένα θεώρημα που βεβαιώνει τη μοναδικότητα του ορίου μιας συγκλίνουσας ακολουθίας. Αυτό σημαίνει ότι δεν μπορεί να έχει δύο ή περισσότερα όρια, κάτι που είναι αναμφίβολα σημαντικό για την εύρεση των μαθηματικών χαρακτηριστικών του.
Ας δούμε μερικάπεριπτώσεις. Οποιαδήποτε αριθμητική σειρά που αποτελείται από μέλη μιας αριθμητικής προόδου είναι αποκλίνουσα, εκτός από την περίπτωση με μηδενικό βήμα. Το ίδιο ισχύει για μια γεωμετρική πρόοδο, της οποίας ο παρονομαστής είναι μεγαλύτερος από 1. Τα όρια τέτοιων αριθμητικών σειρών είναι το «συν» ή το «πλην» του άπειρου. Εάν ο παρονομαστής είναι μικρότερος από -1, τότε δεν υπάρχει καθόλου όριο. Είναι δυνατές και άλλες επιλογές.
Σκεφτείτε τη σειρά αριθμών που δίνεται από τον τύπο X =(1/4) -1. Με την πρώτη ματιά, είναι εύκολο να διαπιστωθεί ότι αυτή η συγκλίνουσα ακολουθία είναι οριοθετημένη επειδή είναι αυστηρά φθίνουσα και σε καμία περίπτωση δεν μπορεί να λάβει αρνητικές τιμές.
Ας γράψουμε έναν αριθμό από τα μέλη του στη σειρά.
Θα αποδειχθεί: 1; 0,25; 0,0625; 0,015625; 0, 00390625 και ούτω καθεξής. Αρκετοί απλοί υπολογισμοί αρκούν για να καταλάβουμε πόσο γρήγορα μειώνεται αυτή η γεωμετρική πρόοδος από τους παρονομαστές 0<q<1. Ενώ ο παρονομαστής των όρων αυξάνεται απεριόριστα, οι ίδιοι γίνονται απειροελάχιστοι. Αυτό σημαίνει ότι το όριο της σειράς αριθμών είναι 0. Αυτό το παράδειγμα δείχνει για άλλη μια φορά την περιορισμένη φύση της συγκλίνουσας ακολουθίας.
Θεμελιώδεις ακολουθίες
Augustin Louis Cauchy, Γάλλος επιστήμονας, αποκάλυψε στον κόσμο πολλά έργα που σχετίζονται με τη μαθηματική ανάλυση. Έδωσε ορισμούς σε έννοιες όπως διαφορικό, ολοκλήρωμα, όριο και συνέχεια. Μελέτησε επίσης τις βασικές ιδιότητες των συγκλίνουσων ακολουθιών. Για να κατανοήσουμε την ουσία των ιδεών του,ορισμένες σημαντικές λεπτομέρειες πρέπει να συνοψιστούν.
Στην αρχή του άρθρου, δείχθηκε ότι υπάρχουν τέτοιες ακολουθίες για τις οποίες υπάρχει μια γειτονιά όπου τα σημεία που αντιπροσωπεύουν τα μέλη μιας συγκεκριμένης σειράς στην πραγματική γραμμή αρχίζουν να συγκεντρώνονται, παρατάσσοντας όλο και περισσότερο πυκνά. Ταυτόχρονα, η απόσταση μεταξύ τους μειώνεται όσο αυξάνεται ο αριθμός του επόμενου εκπροσώπου, μετατρέποντας σε απείρως μικρό. Έτσι, αποδεικνύεται ότι σε μια δεδομένη γειτονιά ομαδοποιείται άπειρος αριθμός αντιπροσώπων μιας δεδομένης σειράς, ενώ έξω από αυτήν υπάρχει ένας πεπερασμένος αριθμός από αυτούς. Τέτοιες ακολουθίες ονομάζονται θεμελιώδεις.
Το περίφημο κριτήριο Cauchy, που δημιουργήθηκε από έναν Γάλλο μαθηματικό, δείχνει ξεκάθαρα ότι η παρουσία μιας τέτοιας ιδιότητας είναι επαρκής για να αποδείξει ότι η ακολουθία συγκλίνει. Το αντίστροφο ισχύει επίσης.
Θα πρέπει να σημειωθεί ότι αυτό το συμπέρασμα του Γάλλου μαθηματικού έχει ως επί το πλείστον καθαρά θεωρητικό ενδιαφέρον. Η εφαρμογή του στην πράξη θεωρείται αρκετά περίπλοκη υπόθεση, επομένως, για να αποσαφηνιστεί η σύγκλιση των σειρών, είναι πολύ πιο σημαντικό να αποδειχθεί η ύπαρξη ενός πεπερασμένου ορίου για μια ακολουθία. Διαφορετικά, θεωρείται αποκλίνουσα.
Κατά την επίλυση προβλημάτων, θα πρέπει επίσης να ληφθούν υπόψη οι βασικές ιδιότητες των συγκλίνουσων ακολουθιών. Εμφανίζονται παρακάτω.
Άπειρα αθροίσματα
Τέτοιοι διάσημοι επιστήμονες της αρχαιότητας όπως ο Αρχιμήδης, ο Ευκλείδης, ο Εύδοξος χρησιμοποίησαν τα αθροίσματα άπειρων σειρών αριθμών για να υπολογίσουν τα μήκη των καμπυλών, τους όγκους των σωμάτωνκαι περιοχές μορφών. Συγκεκριμένα, με αυτόν τον τρόπο ήταν δυνατό να εντοπιστεί η περιοχή του παραβολικού τμήματος. Για αυτό χρησιμοποιήθηκε το άθροισμα της αριθμητικής σειράς μιας γεωμετρικής προόδου με q=1/4. Οι όγκοι και οι περιοχές άλλων αυθαίρετων μορφών βρέθηκαν με παρόμοιο τρόπο. Αυτή η επιλογή ονομάστηκε μέθοδος «εξάντλησης». Η ιδέα ήταν ότι το σώμα που μελετήθηκε, πολύπλοκο σε σχήμα, ήταν σπασμένο σε μέρη, τα οποία ήταν φιγούρες με εύκολα μετρήσιμες παραμέτρους. Για το λόγο αυτό, δεν ήταν δύσκολο να υπολογιστούν τα εμβαδά και οι όγκοι τους και στη συνέχεια αθροίστηκαν.
Με την ευκαιρία, παρόμοιες εργασίες είναι πολύ γνωστές στους σύγχρονους μαθητές και απαντώνται στις εργασίες USE. Η μοναδική μέθοδος, που βρέθηκε από μακρινούς προγόνους, είναι μακράν η απλούστερη λύση. Ακόμα κι αν υπάρχουν μόνο δύο ή τρία μέρη στα οποία χωρίζεται το αριθμητικό σχήμα, η πρόσθεση των εμβαδών τους εξακολουθεί να είναι το άθροισμα της σειράς αριθμών.
Πολύ αργότερα από ό,τι οι αρχαίοι Έλληνες επιστήμονες Leibniz και Newton, βασισμένοι στην εμπειρία των σοφών προκατόχων τους, έμαθαν τα πρότυπα του ολοκληρωτικού υπολογισμού. Η γνώση των ιδιοτήτων των ακολουθιών τους βοήθησε να λύσουν διαφορικές και αλγεβρικές εξισώσεις. Προς το παρόν, η θεωρία των σειρών, που δημιουργήθηκε από τις προσπάθειες πολλών γενεών ταλαντούχων επιστημόνων, δίνει την ευκαιρία να λυθούν ένας τεράστιος αριθμός μαθηματικών και πρακτικών προβλημάτων. Και η μελέτη των αριθμητικών ακολουθιών ήταν το κύριο πρόβλημα που λύθηκε με τη μαθηματική ανάλυση από την έναρξή της.
