Η ακολουθία των αριθμών και το όριό της ήταν ένα από τα πιο σημαντικά προβλήματα στα μαθηματικά σε όλη την ιστορία αυτής της επιστήμης. Συνεχώς ενημερωμένη γνώση, διατυπωμένα νέα θεωρήματα και αποδείξεις - όλα αυτά μας επιτρέπουν να εξετάσουμε αυτήν την έννοια από νέες θέσεις και από διαφορετικές οπτικές γωνίες.
Μια ακολουθία αριθμών, σύμφωνα με έναν από τους πιο συνηθισμένους ορισμούς, είναι μια μαθηματική συνάρτηση, η βάση της οποίας είναι το σύνολο των φυσικών αριθμών που είναι διατεταγμένοι σύμφωνα με το ένα ή το άλλο σχέδιο.
Αυτή η συνάρτηση μπορεί να θεωρηθεί ορισμένη εάν είναι γνωστός ο νόμος, σύμφωνα με τον οποίο ένας πραγματικός αριθμός μπορεί να οριστεί σαφώς για κάθε φυσικό αριθμό.
Υπάρχουν πολλές επιλογές για τη δημιουργία ακολουθιών αριθμών.
Πρώτον, αυτή η συνάρτηση μπορεί να οριστεί με τον λεγόμενο «ρητό» τρόπο, όταν υπάρχει ένας συγκεκριμένος τύπος με τον οποίο μπορεί να προσδιοριστεί κάθε μέλος τηςμε απλή αντικατάσταση του σειριακού αριθμού στη δεδομένη ακολουθία.
Η δεύτερη μέθοδος ονομάζεται "επαναλαμβανόμενη". Η ουσία του έγκειται στο γεγονός ότι δίνονται τα πρώτα μέλη της αριθμητικής ακολουθίας, καθώς και ένας ειδικός αναδρομικός τύπος, με τη βοήθεια του οποίου, γνωρίζοντας το προηγούμενο μέλος, μπορείτε να βρείτε το επόμενο.
Τέλος, ο πιο γενικός τρόπος προσδιορισμού ακολουθιών είναι η λεγόμενη «αναλυτική μέθοδος», όταν χωρίς μεγάλη δυσκολία μπορεί κανείς όχι μόνο να αναγνωρίσει έναν ή τον άλλο όρο κάτω από έναν συγκεκριμένο αύξοντα αριθμό, αλλά και γνωρίζοντας πολλούς διαδοχικούς όρους, έρχονται στον γενικό τύπο μιας δεδομένης συνάρτησης.
Η ακολουθία αριθμών μπορεί να είναι φθίνουσα ή αυξανόμενη. Στην πρώτη περίπτωση, κάθε επόμενος όρος είναι μικρότερος από τον προηγούμενο και στη δεύτερη περίπτωση, αντίθετα, είναι μεγαλύτερος.
Λαμβάνοντας υπόψη αυτό το θέμα, είναι αδύνατο να μην θίξουμε το θέμα των ορίων των ακολουθιών. Το όριο μιας ακολουθίας είναι ένας τέτοιος αριθμός όταν για οποιαδήποτε τιμή, συμπεριλαμβανομένης μιας απειροελάχιστης, υπάρχει ένας σειριακός αριθμός μετά τον οποίο η απόκλιση των διαδοχικών μελών της ακολουθίας από ένα δεδομένο σημείο σε αριθμητική μορφή γίνεται μικρότερη από την τιμή που καθορίζεται κατά τον σχηματισμό αυτής της συνάρτησης.
Η έννοια του ορίου μιας αριθμητικής ακολουθίας χρησιμοποιείται ενεργά κατά την εκτέλεση ορισμένων ολοκληρωτικών και διαφορικών υπολογισμών.
Οι μαθηματικές ακολουθίες έχουν ένα ολόκληρο σύνολο από αρκετά ενδιαφέρονταιδιότητες.
Πρώτον, οποιαδήποτε αριθμητική ακολουθία είναι ένα παράδειγμα μαθηματικής συνάρτησης, επομένως, αυτές οι ιδιότητες που είναι χαρακτηριστικές συναρτήσεων μπορούν να εφαρμοστούν με ασφάλεια σε ακολουθίες. Το πιο εντυπωσιακό παράδειγμα τέτοιων ιδιοτήτων είναι η διάταξη για την αύξηση και τη μείωση αριθμητικών σειρών, οι οποίες ενώνονται με μια κοινή έννοια - τις μονοτονικές ακολουθίες.
Δεύτερον, υπάρχει μια αρκετά μεγάλη ομάδα ακολουθιών που δεν μπορούν να ταξινομηθούν είτε ως αυξανόμενες είτε ως φθίνουσες - αυτές είναι περιοδικές ακολουθίες. Στα μαθηματικά, θεωρούνται εκείνες οι συναρτήσεις στις οποίες υπάρχει το λεγόμενο μήκος περιόδου, δηλαδή από μια ορισμένη στιγμή (n), αρχίζει να λειτουργεί η ακόλουθη ισότητα y =yn+T, όπου T θα είναι η ίδια η διάρκεια της περιόδου.
