Τι είναι η αριθμητική; Πότε άρχισε η ανθρωπότητα να χρησιμοποιεί αριθμούς και να δουλεύει με αυτούς; Πού πάνε οι ρίζες τέτοιων καθημερινών εννοιών όπως οι αριθμοί, τα κλάσματα, η αφαίρεση, η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός, που ένα άτομο έχει κάνει αναπόσπαστο μέρος της ζωής και της κοσμοθεωρίας του; Τα αρχαία ελληνικά μυαλά θαύμαζαν επιστήμες όπως τα μαθηματικά, την αριθμητική και τη γεωμετρία ως τις πιο όμορφες συμφωνίες της ανθρώπινης λογικής.
Ίσως η αριθμητική δεν είναι τόσο βαθιά όσο άλλες επιστήμες, αλλά τι θα τους συνέβαινε αν κάποιος ξεχάσει τον στοιχειώδη πίνακα πολλαπλασιασμού; Η λογική σκέψη που συνηθίζεται σε εμάς, χρησιμοποιώντας αριθμούς, κλάσματα και άλλα εργαλεία, δεν ήταν εύκολη για τους ανθρώπους και για μεγάλο χρονικό διάστημα ήταν απρόσιτη για τους προγόνους μας. Στην πραγματικότητα, πριν από την ανάπτυξη της αριθμητικής, κανένας τομέας της ανθρώπινης γνώσης δεν ήταν πραγματικά επιστημονικός.
Η αριθμητική είναι το ΑΒΓ των μαθηματικών
Αριθμητική είναι η επιστήμη των αριθμών, με την οποία κάθε άτομο αρχίζει να εξοικειώνεται με τον συναρπαστικό κόσμο των μαθηματικών. Όπως είπε ο M. V. Lomonosov, η αριθμητική είναι η πύλη της μάθησης, που μας ανοίγει το δρόμο προς την παγκόσμια γνώση. Αλλά έχει δίκιοΜπορεί η γνώση του κόσμου να διαχωριστεί από τη γνώση των αριθμών και των γραμμάτων, των μαθηματικών και της ομιλίας; Ίσως στα παλιά χρόνια, αλλά όχι στον σύγχρονο κόσμο, όπου η ραγδαία ανάπτυξη της επιστήμης και της τεχνολογίας υπαγορεύει τους δικούς της νόμους.
Η λέξη "arithmetic" (ελληνικά "arithmos") ελληνικής προέλευσης, σημαίνει "αριθμός". Μελετά τους αριθμούς και ό,τι μπορεί να συνδεθεί με αυτούς. Αυτός είναι ο κόσμος των αριθμών: διάφορες πράξεις σε αριθμούς, αριθμητικοί κανόνες, επίλυση προβλημάτων που σχετίζονται με τον πολλαπλασιασμό, την αφαίρεση κ.λπ.
Είναι γενικά αποδεκτό ότι η αριθμητική είναι το αρχικό βήμα των μαθηματικών και μια σταθερή βάση για τα πιο περίπλοκα τμήματα τους, όπως η άλγεβρα, η μαθηματική ανάλυση, τα ανώτερα μαθηματικά κ.λπ.
Κύριο αντικείμενο της αριθμητικής
Η βάση της αριθμητικής είναι ένας ακέραιος, οι ιδιότητες και τα μοτίβα του οποίου εξετάζονται στην ανώτερη αριθμητική ή στη θεωρία αριθμών. Στην πραγματικότητα, η ισχύς ολόκληρου του κτιρίου - τα μαθηματικά - εξαρτάται από το πόσο σωστή προσέγγιση υιοθετείται όταν θεωρούμε ένα τόσο μικρό μπλοκ ως φυσικό αριθμό.
Επομένως, το ερώτημα του τι είναι η αριθμητική μπορεί να απαντηθεί απλά: είναι η επιστήμη των αριθμών. Ναι, για τα συνηθισμένα επτά, εννιά και όλη αυτή την ποικιλόμορφη κοινότητα. Και όπως δεν μπορείς να γράψεις καλή ή ακόμα και την πιο μέτρια ποίηση χωρίς στοιχειώδες αλφάβητο, δεν μπορείς να λύσεις ούτε ένα στοιχειώδες πρόβλημα χωρίς αριθμητική. Γι' αυτό όλες οι επιστήμες προχώρησαν μόνο μετά την ανάπτυξη της αριθμητικής και των μαθηματικών, πριν από αυτό ήταν απλώς ένα σύνολο υποθέσεων.
Η αριθμητική είναι μια επιστήμη φάντασμα
Τι είναι η αριθμητική - φυσική επιστήμη ή φάντασμα; Στην πραγματικότητα, όπως υποστήριξαν οι αρχαίοι Έλληνες φιλόσοφοι, ούτε αριθμοί υπάρχουν ούτε αριθμοί στην πραγματικότητα. Αυτό είναι απλώς ένα φάντασμα που δημιουργείται στην ανθρώπινη σκέψη όταν εξετάζουμε το περιβάλλον με τις διαδικασίες του. Πράγματι, τι είναι ένας αριθμός; Πουθενά τριγύρω δεν βλέπουμε κάτι τέτοιο που θα μπορούσε να ονομαστεί αριθμός, μάλλον ο αριθμός είναι ένας τρόπος του ανθρώπινου μυαλού να μελετήσει τον κόσμο. Ή μήπως είναι η μελέτη του εαυτού μας από μέσα; Οι φιλόσοφοι διαφωνούν για αυτό πολλούς αιώνες στη σειρά, οπότε δεν αναλαμβάνουμε να δώσουμε μια εξαντλητική απάντηση. Με τον ένα ή τον άλλο τρόπο, η αριθμητική έχει καταφέρει να πάρει τη θέση της τόσο σταθερά που στον σύγχρονο κόσμο κανείς δεν μπορεί να θεωρηθεί κοινωνικά προσαρμοσμένος χωρίς να γνωρίζει τα βασικά της.
Πώς εμφανίστηκε ο φυσικός αριθμός
Φυσικά, το κύριο αντικείμενο στο οποίο λειτουργεί η αριθμητική είναι ένας φυσικός αριθμός, όπως 1, 2, 3, 4, …, 152… κ.λπ. Η αριθμητική των φυσικών αριθμών είναι το αποτέλεσμα της μέτρησης συνηθισμένων αντικειμένων, όπως οι αγελάδες σε ένα λιβάδι. Ωστόσο, ο ορισμός του "πολύ" ή "λίγος" κάποτε έπαψε να ταιριάζει στους ανθρώπους και έπρεπε να εφεύρουν πιο προηγμένες τεχνικές μέτρησης.
Αλλά η πραγματική ανακάλυψη συνέβη όταν η ανθρώπινη σκέψη έφτασε στο σημείο ότι είναι δυνατόν να ορίσουμε 2 κιλά, 2 τούβλα και 2 μέρη με τον ίδιο αριθμό "δύο". Το γεγονός είναι ότι πρέπει να αφαιρέσετε από τις μορφές, τις ιδιότητες και το νόημα των αντικειμένων, τότε μπορείτε να εκτελέσετε ορισμένες ενέργειες με αυτά τα αντικείμενα με τη μορφή φυσικών αριθμών. Έτσι γεννήθηκε η αριθμητική των αριθμών, η οποίααναπτύχθηκε και επεκτάθηκε περαιτέρω, καταλαμβάνοντας όλο και μεγαλύτερες θέσεις στη ζωή της κοινωνίας.
Τέτοιες εις βάθος έννοιες του αριθμού όπως το μηδέν και ο αρνητικός αριθμός, τα κλάσματα, οι προσδιορισμοί αριθμών με αριθμούς και με άλλους τρόπους, έχουν μια πλούσια και ενδιαφέρουσα ιστορία ανάπτυξης.
Αριθμητικοί και πρακτικοί Αιγύπτιοι
Οι δύο παλαιότεροι ανθρώπινοι σύντροφοι στην εξερεύνηση του κόσμου γύρω μας και στην επίλυση καθημερινών προβλημάτων είναι η αριθμητική και η γεωμετρία.
Πιστεύεται ότι η ιστορία της αριθμητικής προέρχεται από την Αρχαία Ανατολή: στην Ινδία, την Αίγυπτο, τη Βαβυλώνα και την Κίνα. Έτσι, ο αιγυπτιακής προέλευσης πάπυρος Rinda (ονομάστηκε έτσι επειδή ανήκε στον ομώνυμο ιδιοκτήτη), που χρονολογείται από τον 20ο αιώνα. π. Χ., εκτός από άλλα πολύτιμα δεδομένα, περιέχει την επέκταση ενός κλάσματος στο άθροισμα κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές και αριθμητή ίσο με ένα.
Για παράδειγμα: 2/73=1/60+1/219+1/292+1/365.
Αλλά ποιο είναι το νόημα μιας τόσο πολύπλοκης αποσύνθεσης; Το γεγονός είναι ότι η αιγυπτιακή προσέγγιση δεν ανέχτηκε αφηρημένες σκέψεις για αριθμούς, αντίθετα, οι υπολογισμοί έγιναν μόνο για πρακτικούς σκοπούς. Δηλαδή, ο Αιγύπτιος θα ασχοληθεί με κάτι τέτοιο όπως τους υπολογισμούς, μόνο και μόνο για να φτιάξει έναν τάφο, για παράδειγμα. Ήταν απαραίτητο να υπολογιστεί το μήκος της άκρης της δομής και αυτό ανάγκασε ένα άτομο να καθίσει πίσω από τον πάπυρο. Όπως μπορείτε να δείτε, η αιγυπτιακή πρόοδος στους υπολογισμούς προκλήθηκε μάλλον από τη μαζική κατασκευή παρά από την αγάπη για την επιστήμη.
Για αυτόν τον λόγο, οι υπολογισμοί που βρίσκονται στους παπύρους δεν μπορούν να ονομαστούν αντανακλάσεις για το θέμα των κλασμάτων. Πιθανότατα, πρόκειται για μια πρακτική προετοιμασία που βοήθησε στο μέλλον.επίλυση προβλημάτων με κλάσματα. Οι αρχαίοι Αιγύπτιοι, που δεν γνώριζαν τους πίνακες πολλαπλασιασμού, έκαναν μάλλον μεγάλους υπολογισμούς, αποσυντεθειμένους σε πολλές δευτερεύουσες εργασίες. Ίσως αυτό είναι ένα από αυτά τα δευτερεύοντα καθήκοντα. Είναι εύκολο να διαπιστωθεί ότι οι υπολογισμοί με τέτοια τεμάχια εργασίας είναι πολύ επίπονοι και χωρίς πολλά υποσχόμενα. Ίσως για αυτόν τον λόγο δεν βλέπουμε τη μεγάλη συμβολή της Αρχαίας Αιγύπτου στην ανάπτυξη των μαθηματικών.
Αρχαία Ελλάδα και φιλοσοφική αριθμητική
Πολλές γνώσεις της Αρχαίας Ανατολής κατακτήθηκαν με επιτυχία από τους αρχαίους Έλληνες, διάσημους λάτρεις των αφηρημένων, αφηρημένων και φιλοσοφικών στοχασμών. Δεν τους ενδιέφερε λιγότερο η πράξη, αλλά είναι δύσκολο να βρεις τους καλύτερους θεωρητικούς και στοχαστές. Αυτό έχει ωφελήσει την επιστήμη, αφού είναι αδύνατο να εμβαθύνουμε στην αριθμητική χωρίς να την αποχωρίσουμε από την πραγματικότητα. Σίγουρα, μπορείτε να πολλαπλασιάσετε 10 αγελάδες και 100 λίτρα γάλα, αλλά δεν θα πάτε πολύ μακριά.
Οι βαθιά σκεπτόμενοι Έλληνες άφησαν ένα σημαντικό σημάδι στην ιστορία και τα γραπτά τους έχουν φτάσει σε εμάς:
- Ο Ευκλείδης και τα Στοιχεία.
- Pythagoras.
- Αρχιμήδης.
- Ερατοσθένης.
- Zeno.
- Anaxagoras.
Και, φυσικά, οι Έλληνες, που μετέτρεψαν τα πάντα σε φιλοσοφία, και κυρίως οι συνεχιστές του έργου του Πυθαγόρα, γοητεύτηκαν τόσο πολύ από τους αριθμούς που τους θεωρούσαν το μυστήριο της αρμονίας του κόσμου. Οι αριθμοί έχουν μελετηθεί και ερευνηθεί σε τέτοιο βαθμό που σε κάποιους από αυτούς και στα ζεύγη τους έχουν αποδοθεί ειδικές ιδιότητες. Για παράδειγμα:
- Τέλειοι αριθμοί είναι εκείνοι που είναι ίσοι με το άθροισμα όλων των διαιρετών τους, εκτός από τον ίδιο τον αριθμό (6=1+2+3).
- Φιλικοί αριθμοί είναι αυτοί οι αριθμοί, ένας από τους οποίουςισούται με το άθροισμα όλων των διαιρετών του δεύτερου και αντίστροφα (οι Πυθαγόρειοι γνώριζαν μόνο ένα τέτοιο ζεύγος: 220 και 284).
Οι Έλληνες, που πίστευαν ότι η επιστήμη έπρεπε να αγαπηθεί, και όχι να είναι μαζί της για χάρη του κέρδους, πέτυχαν μεγάλη επιτυχία εξερευνώντας, παίζοντας και προσθέτοντας αριθμούς. Σημειωτέον ότι δεν χρησιμοποιήθηκαν ευρέως όλες οι έρευνές τους, κάποιες από αυτές παρέμειναν μόνο «για ομορφιά».
Ανατολικοί στοχαστές του Μεσαίωνα
Με τον ίδιο τρόπο, στον Μεσαίωνα, η αριθμητική οφείλει την ανάπτυξή της στους σύγχρονους της Ανατολής. Οι Ινδοί μας έδωσαν τους αριθμούς που χρησιμοποιούμε ενεργά, μια έννοια όπως "μηδέν" και την εκδοχή θέσης του λογισμού, οικεία στη σύγχρονη αντίληψη. Από τον Al-Kashi, ο οποίος εργάστηκε στη Σαμαρκάνδη τον 15ο αιώνα, κληρονομήσαμε δεκαδικά κλάσματα, χωρίς τα οποία είναι δύσκολο να φανταστεί κανείς τη σύγχρονη αριθμητική.
Με πολλούς τρόπους, η γνωριμία της Ευρώπης με τα επιτεύγματα της Ανατολής έγινε δυνατή χάρη στο έργο του Ιταλού επιστήμονα Λεονάρντο Φιμπονάτσι, ο οποίος έγραψε το έργο «Το Βιβλίο του Άβακα», εισάγοντας ανατολικές καινοτομίες. Έγινε ο ακρογωνιαίος λίθος της ανάπτυξης της άλγεβρας και της αριθμητικής, της έρευνας και των επιστημονικών δραστηριοτήτων στην Ευρώπη.
Ρωσική αριθμητική
Και, τελικά, η αριθμητική, που βρήκε τη θέση της και ρίζωσε στην Ευρώπη, άρχισε να εξαπλώνεται στα ρωσικά εδάφη. Η πρώτη ρωσική αριθμητική δημοσιεύτηκε το 1703 - ήταν ένα βιβλίο για την αριθμητική του Leonty Magnitsky. Για πολύ καιρό παρέμεινε το μοναδικό εγχειρίδιο στα μαθηματικά. Περιέχει τις αρχικές στιγμές της άλγεβρας και της γεωμετρίας. Οι αριθμοί που χρησιμοποιούνται στα παραδείγματα του πρώτου εγχειριδίου αριθμητικής στη Ρωσία είναι αραβικοί. Αν και αραβικοί αριθμοί έχουν δει στο παρελθόν, σε γκραβούρες που χρονολογούνται από τον 17ο αιώνα.
Το ίδιο το βιβλίο είναι διακοσμημένο με εικόνες του Αρχιμήδη και του Πυθαγόρα, και στο πρώτο φύλλο - η εικόνα της αριθμητικής με τη μορφή γυναίκας. Κάθεται σε ένα θρόνο, κάτω από αυτήν είναι γραμμένη στα εβραϊκά μια λέξη που δηλώνει το όνομα του Θεού και στα σκαλιά που οδηγούν στον θρόνο αναγράφονται οι λέξεις «διαίρεση», «πολλαπλασιασμός», «προσθήκη» κ.λπ.. αλήθειες που πλέον θεωρούνται συνηθισμένα.
Ένα εγχειρίδιο 600 σελίδων καλύπτει τόσο βασικά στοιχεία, όπως πίνακες πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού, όσο και εφαρμογές στις επιστήμες πλοήγησης.
Δεν προκαλεί έκπληξη το γεγονός ότι ο συγγραφέας επέλεξε εικόνες Ελλήνων στοχαστών για το βιβλίο του, γιατί ο ίδιος συνεπάρθη από την ομορφιά της αριθμητικής, λέγοντας: «Η αριθμητική είναι ο αριθμητής, υπάρχει τέχνη τίμια, αξιοζήλευτη…». Αυτή η προσέγγιση της αριθμητικής είναι αρκετά δικαιολογημένη, επειδή είναι η ευρεία εισαγωγή της που μπορεί να θεωρηθεί η αρχή της ταχείας ανάπτυξης της επιστημονικής σκέψης στη Ρωσία και της γενικής εκπαίδευσης.
Πρώτοι πρώτοι αριθμοί
Πρώτος αριθμός είναι ένας φυσικός αριθμός που έχει μόνο 2 θετικούς διαιρέτες: 1 και τον εαυτό του. Όλοι οι άλλοι αριθμοί, εκτός από το 1, ονομάζονται σύνθετοι. Παραδείγματα πρώτων αριθμών: 2, 3, 5, 7, 11 και όλοι οι άλλοι που δεν έχουν διαιρέτες εκτός από το 1 και τον εαυτό του.
Όσον αφορά τον αριθμό 1, είναι σε ειδικό λογαριασμό - υπάρχει συμφωνία ότι δεν πρέπει να θεωρείται ούτε απλός ούτε σύνθετος. Απλός με την πρώτη ματιά, ένας απλός αριθμός κρύβει πολλά άλυτα μυστήρια μέσα του.
Το θεώρημα του Ευκλείδη λέει ότι υπάρχει άπειρος αριθμός πρώτων αριθμών και ο Ερατοσθένης εφηύρε ένα ειδικό αριθμητικό "κόσκινο" που εξαλείφει τους μη πρώτους αριθμούς, αφήνοντας μόνο απλούς.
Η ουσία του είναι να υπογραμμίσει τον πρώτο μη διαγραμμένο αριθμό και, στη συνέχεια, να διαγράψει εκείνους που είναι πολλαπλάσιοί του. Επαναλαμβάνουμε αυτή τη διαδικασία πολλές φορές - και παίρνουμε έναν πίνακα με πρώτους αριθμούς.
Το Θεμελιώδες Θεώρημα της Αριθμητικής
Μεταξύ των παρατηρήσεων σχετικά με τους πρώτους αριθμούς, το θεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικής πρέπει να αναφέρεται με ιδιαίτερο τρόπο.
Το θεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικής λέει ότι οποιοσδήποτε ακέραιος αριθμός μεγαλύτερος από 1 είναι είτε πρώτος είτε μπορεί να αποσυντεθεί σε γινόμενο πρώτων αριθμών μέχρι την τάξη των παραγόντων και με μοναδικό τρόπο.
Το κύριο θεώρημα της αριθμητικής αποδεικνύεται μάλλον δυσκίνητο και η κατανόησή του δεν μοιάζει πλέον με τα πιο απλά βασικά.
Με την πρώτη ματιά, οι πρώτοι αριθμοί είναι μια στοιχειώδης έννοια, αλλά δεν είναι. Η Φυσική επίσης κάποτε θεωρούσε το άτομο στοιχειώδες, μέχρι που βρήκε ολόκληρο το σύμπαν μέσα του. Μια υπέροχη ιστορία του μαθηματικού Don Tzagir "The First Fifty Million Primes" είναι αφιερωμένη στους πρώτους αριθμούς.
Από τα "τρία μήλα" στους απαγωγικούς νόμους
Αυτό που πραγματικά μπορεί να ονομαστεί το ενισχυμένο θεμέλιο όλης της επιστήμης είναι οι νόμοι της αριθμητικής. Ακόμη και στην παιδική ηλικία, όλοι έρχονται αντιμέτωποι με την αριθμητική, μελετώντας τον αριθμό των ποδιών και των χεριών των κούκλων,ο αριθμός των κύβων, των μήλων κ.λπ. Με αυτόν τον τρόπο μελετάμε την αριθμητική, η οποία στη συνέχεια πηγαίνει σε πιο σύνθετους κανόνες.
Όλη μας η ζωή μας εξοικειώνει με τους κανόνες της αριθμητικής, που έχουν γίνει για τον απλό άνθρωπο οι πιο χρήσιμοι από όλα όσα δίνει η επιστήμη. Η μελέτη των αριθμών είναι "αριθμητική-μωρό", η οποία εισάγει ένα άτομο στον κόσμο των αριθμών με τη μορφή αριθμών στην πρώιμη παιδική ηλικία.
Η ανώτερη αριθμητική είναι μια απαγωγική επιστήμη που μελετά τους νόμους της αριθμητικής. Γνωρίζουμε τα περισσότερα από αυτά, αν και μπορεί να μην γνωρίζουμε την ακριβή διατύπωσή τους.
Ο νόμος της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού
Δύο φυσικοί αριθμοί a και b μπορούν να εκφραστούν ως άθροισμα a+b, το οποίο θα είναι επίσης φυσικός αριθμός. Οι ακόλουθοι νόμοι ισχύουν για την προσθήκη:
- Commutative, που λέει ότι το άθροισμα δεν αλλάζει από την αναδιάταξη των όρων, ή a+b=b+a.
- Associative, που λέει ότι το άθροισμα δεν εξαρτάται από τον τρόπο ομαδοποίησης των όρων σε μέρη, ή a+(b+c)=(a+ b)+ c.
Οι αριθμητικοί κανόνες, όπως η πρόσθεση, είναι από τους πιο στοιχειώδεις, αλλά χρησιμοποιούνται από όλες τις επιστήμες, για να μην αναφέρουμε την καθημερινότητα.
Δύο φυσικοί αριθμοί a και b μπορούν να εκφραστούν ως γινόμενο ab ή ab, που είναι επίσης φυσικός αριθμός. Για το προϊόν ισχύουν οι ίδιοι νόμοι αντικατάστασης και συσχέτισης με την προσθήκη:
- ab=b a;
- a(bc)=(a b) c.
Αναρωτιέμαιότι υπάρχει ένας νόμος που ενώνει την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό, που ονομάζεται επίσης κατανεμητικός ή κατανεμητικός νόμος:
a(b+c)=ab+ac
Αυτός ο νόμος στην πραγματικότητα μας διδάσκει να εργαζόμαστε με παρενθέσεις επεκτείνοντάς τις, επομένως μπορούμε να εργαστούμε με πιο σύνθετους τύπους. Αυτοί είναι οι νόμοι που θα μας καθοδηγήσουν στον παράξενο και περίπλοκο κόσμο της άλγεβρας.
Ο νόμος της αριθμητικής τάξης
Ο νόμος της τάξης χρησιμοποιείται από την ανθρώπινη λογική κάθε μέρα, συγκρίνοντας ρολόγια και μετρώντας χαρτονομίσματα. Και, ωστόσο, πρέπει να επισημοποιηθεί με τη μορφή συγκεκριμένων σκευασμάτων.
Αν έχουμε δύο φυσικούς αριθμούς a και b, τότε είναι δυνατές οι ακόλουθες επιλογές:
- a ισούται με b, ή a=b;
- a είναι μικρότερο από το b ή το a < b;
- a είναι μεγαλύτερο από το b ή ένα > b.
Το
Το
Από τρεις επιλογές, μόνο μία μπορεί να είναι δίκαιη. Ο βασικός νόμος που διέπει τη σειρά λέει: εάν a < b και b < c, τότε a< c.
Υπάρχουν επίσης νόμοι που σχετίζονται με τη σειρά με τον πολλαπλασιασμό και την πρόσθεση: αν a< είναι b, τότε a + c < b+c και ac< bc.
Οι νόμοι της αριθμητικής μας διδάσκουν να εργαζόμαστε με αριθμούς, σημεία και αγκύλες, μετατρέποντας τα πάντα σε μια αρμονική συμφωνία αριθμών.
Λογισμός θέσης και μη θέσεων
Μπορεί να ειπωθεί ότι οι αριθμοί είναι μια μαθηματική γλώσσα, από την ευκολία της οποίας εξαρτώνται πολλά. Υπάρχουν πολλά συστήματα αριθμών, τα οποία, όπως τα αλφάβητα διαφορετικών γλωσσών, διαφέρουν μεταξύ τους.
Ας εξετάσουμε τα συστήματα αριθμών από την άποψη της επιρροής της θέσης στην ποσοτική τιμήαριθμούς σε αυτή τη θέση. Έτσι, για παράδειγμα, το ρωμαϊκό σύστημα είναι μη θέσεων, όπου κάθε αριθμός κωδικοποιείται από ένα συγκεκριμένο σύνολο ειδικών χαρακτήρων: I/ V/ X/L/ C/ D/ M. Είναι ίσοι, αντίστοιχα, με τους αριθμούς 1 / 5/10/50/100/500/ 1000. Σε ένα τέτοιο σύστημα, ο αριθμός δεν αλλάζει τον ποσοτικό του ορισμό ανάλογα με τη θέση που βρίσκεται: πρώτος, δεύτερος κ.λπ. Για να λάβετε άλλους αριθμούς, πρέπει να προσθέσετε τους βασικούς. Για παράδειγμα:
- DCC=700.
- CCM=800.
Το σύστημα αριθμών που είναι πιο γνωστό σε εμάς χρησιμοποιώντας αραβικούς αριθμούς είναι θέσιο. Σε ένα τέτοιο σύστημα, το ψηφίο ενός αριθμού καθορίζει τον αριθμό των ψηφίων, για παράδειγμα, τριψήφιων αριθμών: 333, 567 κ.λπ. Το βάρος οποιουδήποτε ψηφίου εξαρτάται από τη θέση στην οποία βρίσκεται αυτό ή εκείνο το ψηφίο, για παράδειγμα, ο αριθμός 8 στη δεύτερη θέση έχει τιμή 80. Αυτό είναι χαρακτηριστικό για το δεκαδικό σύστημα, υπάρχουν άλλα συστήματα θέσεων, για παράδειγμα, δυαδικό.
Δυαδική αριθμητική
Είμαστε εξοικειωμένοι με το δεκαδικό σύστημα, που αποτελείται από μονοψήφιους και πολυψήφιους αριθμούς. Ο αριθμός στα αριστερά ενός πολυψήφιου αριθμού είναι δέκα φορές πιο σημαντικός από αυτόν στα δεξιά. Έτσι, έχουμε συνηθίσει να διαβάζουμε 2, 17, 467 κλπ. Η ενότητα που ονομάζεται «δυαδική αριθμητική» έχει εντελώς διαφορετική λογική και προσέγγιση. Αυτό δεν προκαλεί έκπληξη, γιατί η δυαδική αριθμητική δεν δημιουργήθηκε για την ανθρώπινη λογική, αλλά για τη λογική του υπολογιστή. Εάν η αριθμητική των αριθμών προήλθε από την καταμέτρηση των αντικειμένων, η οποία αφαιρέθηκε περαιτέρω από τις ιδιότητες του αντικειμένου σε "γυμνή" αριθμητική, τότε αυτό δεν θα λειτουργήσει με έναν υπολογιστή. Για να μπορέσετε να μοιραστείτεμε τις γνώσεις του για έναν υπολογιστή, ένα άτομο έπρεπε να εφεύρει ένα τέτοιο μοντέλο λογισμού.
Η δυαδική αριθμητική λειτουργεί με το δυαδικό αλφάβητο, το οποίο αποτελείται μόνο από 0 και 1. Και η χρήση αυτού του αλφαβήτου ονομάζεται δυαδικό σύστημα.
Η διαφορά μεταξύ δυαδικής αριθμητικής και δεκαδικής αριθμητικής είναι ότι η σημασία της θέσης στα αριστερά δεν είναι πλέον 10, αλλά 2 φορές. Οι δυαδικοί αριθμοί είναι της μορφής 111, 1001 κλπ. Πώς να κατανοήσετε τέτοιους αριθμούς; Λοιπόν, σκεφτείτε τον αριθμό 1100:
- Το πρώτο ψηφίο στα αριστερά είναι 18=8, υπενθυμίζοντας ότι το τέταρτο ψηφίο, που σημαίνει ότι πρέπει να πολλαπλασιαστεί με το 2, παίρνουμε τη θέση 8.
- Δεύτερο ψηφίο 14=4 (θέση 4).
- Τρίτο ψηφίο 02=0 (θέση 2).
- Τέταρτο ψηφίο 01=0 (θέση 1).
- Έτσι ο αριθμός μας είναι 1100=8+4+0+0=12.
Δηλαδή, όταν μετακινούμαστε σε ένα νέο ψηφίο στα αριστερά, η σημασία του στο δυαδικό σύστημα πολλαπλασιάζεται με 2 και σε δεκαδικό - επί 10. Ένα τέτοιο σύστημα έχει ένα μείον: είναι πολύ μεγάλη η αύξηση του ψηφία που χρειάζονται για την εγγραφή αριθμών. Παραδείγματα αναπαράστασης δεκαδικών αριθμών ως δυαδικών αριθμών μπορείτε να βρείτε στον παρακάτω πίνακα.
Οι δεκαδικοί αριθμοί σε δυαδική μορφή εμφανίζονται παρακάτω.
Χρησιμοποιούνται επίσης και οκταδικά και δεκαεξαδικά συστήματα.
Αυτή η μυστηριώδης αριθμητική
Τι είναι η αριθμητική, "δύο φορές δύο" ή ανεξερεύνητα μυστήρια αριθμών; Όπως μπορείτε να δείτε, η αριθμητική μπορεί να φαίνεται απλή με την πρώτη ματιά, αλλά η αφανής ευκολία της είναι παραπλανητική. Μπορεί επίσης να μελετηθεί από παιδιά μαζί με τη θεία κουκουβάγια απόκινούμενα σχέδια "Arithmetic-baby", και μπορείτε να βυθιστείτε σε βαθιά επιστημονική έρευνα σχεδόν φιλοσοφικής τάξης. Στην ιστορία, έχει περάσει από το να μετράει αντικείμενα στο να λατρεύει την ομορφιά των αριθμών. Μόνο ένα πράγμα είναι γνωστό με βεβαιότητα: με την καθιέρωση των βασικών αξιωμάτων της αριθμητικής, όλη η επιστήμη μπορεί να βασιστεί στον ισχυρό της ώμο.
