Όλοι μελετήσαμε αριθμητικές τετραγωνικές ρίζες στο μάθημα της άλγεβρας στο σχολείο. Συμβαίνει ότι αν η γνώση δεν ανανεωθεί, τότε γρήγορα ξεχνιέται, το ίδιο και οι ρίζες. Αυτό το άρθρο θα είναι χρήσιμο στους μαθητές της όγδοης τάξης που θέλουν να ανανεώσουν τις γνώσεις τους σε αυτόν τον τομέα, καθώς και σε άλλους μαθητές, επειδή εργαζόμαστε με ρίζες στις τάξεις 9, 10 και 11.
Ιστορικό ρίζας και βαθμού
Ακόμη και στην αρχαιότητα, και συγκεκριμένα στην αρχαία Αίγυπτο, οι άνθρωποι χρειάζονταν πτυχία για να κάνουν πράξεις στους αριθμούς. Όταν δεν υπήρχε αυτή η έννοια, οι Αιγύπτιοι κατέγραψαν το γινόμενο του ίδιου αριθμού είκοσι φορές. Σύντομα όμως επινοήθηκε μια λύση στο πρόβλημα - ο αριθμός των φορών που ο αριθμός έπρεπε να πολλαπλασιαστεί από μόνος του άρχισε να γράφεται στην επάνω δεξιά γωνία πάνω από αυτό, και αυτή η μορφή εγγραφής έχει επιβιώσει μέχρι σήμερα.
Και η ιστορία της τετραγωνικής ρίζας ξεκίνησε πριν από περίπου 500 χρόνια. Ονομάστηκε με διαφορετικούς τρόπους, και μόνο τον δέκατο έβδομο αιώνα ο Ρενέ Ντεκάρτ εισήγαγε ένα τέτοιο σημάδι, το οποίο χρησιμοποιούμε μέχρι σήμερα.
Τι είναι τετραγωνική ρίζα
Ας ξεκινήσουμε εξηγώντας τι είναι τετραγωνική ρίζα. Η τετραγωνική ρίζα κάποιου αριθμού c είναι ένας μη αρνητικός αριθμός που, όταν τετραγωνιστεί, θα είναι ίσος με c. Σε αυτήν την περίπτωση, το c είναι μεγαλύτερο ή ίσο με μηδέν.
Για να φέρουμε έναν αριθμό κάτω από τη ρίζα, τον τετραγωνίζουμε και βάζουμε το σύμβολο της ρίζας πάνω του:
32=9, 3=√9
Επίσης, δεν μπορούμε να πάρουμε την τιμή της τετραγωνικής ρίζας ενός αρνητικού αριθμού, αφού οποιοσδήποτε αριθμός σε ένα τετράγωνο είναι θετικός, δηλαδή:
c2 ≧ 0, αν το √c είναι αρνητικός αριθμός, τότε c2 < 0 - αντίθετα με τον κανόνα.
Για να υπολογίσετε γρήγορα τις τετραγωνικές ρίζες, πρέπει να γνωρίζετε τον πίνακα των τετραγώνων των αριθμών.
Ιδιότητες
Ας εξετάσουμε τις αλγεβρικές ιδιότητες της τετραγωνικής ρίζας.
1) Για να εξαγάγετε την τετραγωνική ρίζα του προϊόντος, πρέπει να πάρετε τη ρίζα κάθε παράγοντα. Δηλαδή, μπορεί να γραφτεί ως το γινόμενο των ριζών των παραγόντων:
√ac=√a × √c, για παράδειγμα:
√36=√4 × √9
2) Όταν εξάγετε μια ρίζα από ένα κλάσμα, είναι απαραίτητο να εξαγάγετε τη ρίζα ξεχωριστά από τον αριθμητή και τον παρονομαστή, δηλαδή να τη γράψετε ως πηλίκο των ριζών τους.
3) Η τιμή που προκύπτει λαμβάνοντας την τετραγωνική ρίζα ενός αριθμού είναι πάντα ίση με το μέτρο συντελεστή αυτού του αριθμού, αφού ο συντελεστής μπορεί να είναι μόνο θετικός:
√с2=∣с∣, ∣с∣ > 0.
4) Για να υψώσουμε μια ρίζα σε οποιαδήποτε δύναμη, υψώνουμε σε αυτήνριζική έκφραση:
(√с)4=√с4, για παράδειγμα:
(√2)6 =√26=√64=8
5) Το τετράγωνο της αριθμητικής ρίζας του c είναι ίσο με αυτόν τον ίδιο τον αριθμό:
(√s)2=s.
Ρίζες παράλογων αριθμών
Ας πούμε ότι η ρίζα του δεκαέξι είναι εύκολη, αλλά πώς να πάρεις τη ρίζα αριθμών όπως 7, 10, 11;
Ένας αριθμός του οποίου η ρίζα είναι ένα άπειρο μη περιοδικό κλάσμα ονομάζεται παράλογος. Δεν μπορούμε να βγάλουμε τη ρίζα από αυτό μόνοι μας. Μπορούμε μόνο να το συγκρίνουμε με άλλους αριθμούς. Για παράδειγμα, πάρτε τη ρίζα του 5 και συγκρίνετέ το με το √4 και το √9. Είναι σαφές ότι √4 < √5 < √9, μετά 2 < √5 < 3. Αυτό σημαίνει ότι η τιμή της ρίζας του πέντε είναι κάπου μεταξύ δύο και τριών, αλλά υπάρχουν πολλά δεκαδικά κλάσματα μεταξύ τους, και Η επιλογή του καθενός είναι ένας αμφίβολος τρόπος για να βρείτε τη ρίζα.
Μπορείτε να κάνετε αυτήν τη λειτουργία σε μια αριθμομηχανή - αυτός είναι ο πιο εύκολος και γρήγορος τρόπος, αλλά στην 8η δημοτικού δεν θα χρειαστεί ποτέ να εξαγάγετε παράλογους αριθμούς από την αριθμητική τετραγωνική ρίζα. Χρειάζεται μόνο να θυμάστε τις κατά προσέγγιση τιμές της ρίζας των δύο και της ρίζας των τριών:
√2 ≈ 1, 4, √3 ≈ 1, 7.
Παραδείγματα
Τώρα, με βάση τις ιδιότητες της τετραγωνικής ρίζας, θα λύσουμε αρκετά παραδείγματα:
1) √172 - 82
Θυμηθείτε τον τύπο για τη διαφορά των τετραγώνων:
√(17-8) (17+8)=√9 ×25
Γνωρίζουμε την ιδιότητα της τετραγωνικής αριθμητικής ρίζας - για να εξαγάγετε τη ρίζα από το γινόμενο, πρέπει να την εξαγάγετε από κάθε παράγοντα:
√9 × √25=3 × 5=15
2) √3 (2√3 + √12)=2 (√3)2 + √36
Εφαρμογή άλλης ιδιότητας της ρίζας - το τετράγωνο της αριθμητικής ρίζας ενός αριθμού είναι ίσο με αυτόν τον ίδιο τον αριθμό:
2 × 3 + 6=12
Σημαντικό! Συχνά, όταν αρχίζουν να εργάζονται και να λύνουν παραδείγματα με αριθμητικές τετραγωνικές ρίζες, οι μαθητές κάνουν το ακόλουθο λάθος:
√12 + 3=√12 + √3 - δεν μπορείτε να το κάνετε αυτό!
Δεν μπορούμε να πάρουμε τη ρίζα κάθε όρου. Δεν υπάρχει τέτοιος κανόνας, αλλά συγχέεται με την ανάληψη της ρίζας κάθε παράγοντα. Αν είχαμε αυτήν την καταχώρηση:
√12 × 3, τότε θα ήταν δίκαιο να γράψουμε √12 × 3=√12 × √3.
Και έτσι μπορούμε μόνο να γράψουμε:
√12 + 3=√15
