Για να πάρετε μια γενική ιδέα του τι είναι κύκλος, δείτε ένα δαχτυλίδι ή ένα τσέρκι. Μπορείτε επίσης να πάρετε ένα στρογγυλό ποτήρι και ένα φλιτζάνι, να το βάλετε ανάποδα σε ένα χαρτί και να το κυκλώσετε με ένα μολύβι. Με πολλαπλή μεγέθυνση, η γραμμή που προκύπτει θα γίνει παχιά και όχι αρκετά ομοιόμορφη και οι άκρες της θα είναι θολές. Ο κύκλος ως γεωμετρικό σχήμα δεν έχει τέτοιο χαρακτηριστικό όπως το πάχος.
Circumference: ορισμός και κύριος τρόπος περιγραφής
Ένας κύκλος είναι μια κλειστή καμπύλη που αποτελείται από ένα σύνολο σημείων που βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο και σε ίση απόσταση από το κέντρο του κύκλου. Σε αυτή την περίπτωση, το κέντρο βρίσκεται στο ίδιο επίπεδο. Κατά κανόνα, υποδεικνύεται με το γράμμα O.
Η απόσταση από οποιοδήποτε από τα σημεία του κύκλου στο κέντρο ονομάζεται ακτίνα και συμβολίζεται με το γράμμα R.
Αν συνδέσετε οποιαδήποτε δύο σημεία του κύκλου, το τμήμα που προκύπτει θα ονομάζεται χορδή. Η χορδή που διέρχεται από το κέντρο του κύκλου είναι η διάμετρος, που συμβολίζεται με το γράμμα D. Η διάμετρος χωρίζει τον κύκλο σε δύο ίσα τόξα και είναι διπλάσια από το μήκος της ακτίνας. Άρα D=2R, ή R=D/2.
Ιδιότητες των συγχορδιών
- Αν τραβήξετε μια χορδή μέσα από οποιαδήποτε δύο σημεία του κύκλου και στη συνέχεια σχεδιάσετε μια ακτίνα ή διάμετρο κάθετη στο τελευταίο, τότε αυτό το τμήμα θα χωρίσει τόσο τη χορδή όσο και το τόξο που κόβεται από αυτό σε δύο ίσα μέρη. Το αντίστροφο ισχύει επίσης: αν η ακτίνα (διάμετρος) χωρίζει τη χορδή στο μισό, τότε είναι κάθετη σε αυτήν.
- Αν δύο παράλληλες χορδές τραβηχτούν στον ίδιο κύκλο, τότε τα τόξα που κόβονται από αυτές, καθώς και που περικλείονται μεταξύ τους, θα είναι ίσα.
- Ας σχεδιάσουμε δύο συγχορδίες PR και QS που τέμνονται μέσα σε κύκλο στο σημείο T. Το γινόμενο των τμημάτων μιας χορδής θα είναι πάντα ίσο με το γινόμενο των τμημάτων της άλλης χορδής, δηλαδή PT x TR=QT x TS.
Circumference: γενική έννοια και βασικοί τύποι
Ένα από τα βασικά χαρακτηριστικά αυτού του γεωμετρικού σχήματος είναι η περιφέρεια. Ο τύπος προκύπτει χρησιμοποιώντας τιμές όπως η ακτίνα, η διάμετρος και η σταθερά "π", που αντικατοπτρίζουν τη σταθερότητα του λόγου της περιφέρειας ενός κύκλου προς τη διάμετρό του.
Έτσι, L=πD, ή L=2πR, όπου L είναι η περιφέρεια, D είναι η διάμετρος, R είναι η ακτίνα.
Ο τύπος για την περιφέρεια ενός κύκλου μπορεί να θεωρηθεί ως ο αρχικός τύπος για την εύρεση της ακτίνας ή της διαμέτρου για μια δεδομένη περιφέρεια: D=L/π, R=L/2π.
Τι είναι κύκλος: βασικά αξιώματα
1. Μια ευθεία γραμμή και ένας κύκλος μπορούν να βρεθούν σε ένα επίπεδο ως εξής:
- δεν έχω κοινά σημεία;
- έχουν ένα κοινό σημείο, ενώ η ευθεία ονομάζεται εφαπτομένη: αν τραβήξετε μια ακτίνα μέσα από το κέντρο και το σημείοάγγιγμα, θα είναι κάθετο στην εφαπτομένη;
- έχει δύο κοινά σημεία, ενώ η ευθεία ονομάζεται διατομή.
Το
2. Μέσα από τρία αυθαίρετα σημεία που βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο, μπορεί να σχεδιαστεί το πολύ ένας κύκλος.
3. Δύο κύκλοι μπορούν να αγγίξουν μόνο ένα σημείο, το οποίο βρίσκεται στο τμήμα που συνδέει τα κέντρα αυτών των κύκλων.
4. Με οποιαδήποτε περιστροφή γύρω από το κέντρο, ο κύκλος μετατρέπεται στον εαυτό του.
5. Τι είναι ένας κύκλος από άποψη συμμετρίας;
- ίδια καμπυλότητα γραμμής σε οποιοδήποτε σημείο;
- κεντρική συμμετρία σχετικά με το σημείο O;
- συμμετρία καθρέφτη σχετικά με τη διάμετρο.
6. Εάν κατασκευάσετε δύο αυθαίρετες εγγεγραμμένες γωνίες με βάση το ίδιο κυκλικό τόξο, θα είναι ίσες. Η γωνία που βασίζεται σε ένα τόξο ίση με το ήμισυ της περιφέρειας του κύκλου, δηλαδή αποκομμένη από μια διάμετρο χορδής, είναι πάντα 90 °.
7. Αν συγκρίνουμε κλειστές καμπύλες γραμμές του ίδιου μήκους, τότε αποδεικνύεται ότι ο κύκλος οριοθετεί το τμήμα του επιπέδου της μεγαλύτερης περιοχής.
Κύκλος εγγεγραμμένος σε τρίγωνο και περιγραφόμενος γύρω του
Μια ιδέα για το τι είναι ένας κύκλος θα είναι ελλιπής χωρίς περιγραφή της σχέσης μεταξύ αυτού του γεωμετρικού σχήματος και των τριγώνων.
- Όταν κατασκευάζουμε έναν κύκλο εγγεγραμμένο σε ένα τρίγωνο, το κέντρο του θα συμπίπτει πάντα με το σημείο τομής των διχοτόμων των γωνιών του τριγώνου.
- Το κέντρο του περιγεγραμμένου τριγώνου βρίσκεται στην τομήμεσαίες κάθετες σε κάθε πλευρά του τριγώνου.
- Αν περιγράφετε έναν κύκλο γύρω από ένα ορθογώνιο τρίγωνο, τότε το κέντρο του θα είναι στο μέσο της υποτείνουσας, δηλαδή η τελευταία θα είναι η διάμετρος.
- Τα κέντρα των εγγεγραμμένων και περιγεγραμμένων κύκλων θα βρίσκονται στο ίδιο σημείο εάν η βάση για την κατασκευή είναι ένα ισόπλευρο τρίγωνο.
Βασικές προτάσεις για τον κύκλο και τα τετράπλευρα
- Ένας κύκλος μπορεί να περιγραφεί γύρω από ένα κυρτό τετράπλευρο μόνο εάν το άθροισμα των απέναντι εσωτερικών γωνιών του είναι 180°.
- Είναι δυνατό να κατασκευαστεί ένας κύκλος εγγεγραμμένος σε ένα κυρτό τετράπλευρο εάν το άθροισμα των μηκών των απέναντι πλευρών του είναι το ίδιο.
- Είναι δυνατόν να περιγράψουμε έναν κύκλο γύρω από ένα παραλληλόγραμμο αν οι γωνίες του είναι ορθές.
- Μπορείτε να εγγράψετε έναν κύκλο σε ένα παραλληλόγραμμο εάν όλες οι πλευρές του είναι ίσες, δηλαδή είναι ρόμβος.
- Είναι δυνατό να κατασκευαστεί ένας κύκλος στις γωνίες ενός τραπεζοειδούς μόνο εάν είναι ισοσκελές. Σε αυτήν την περίπτωση, το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου θα βρίσκεται στη τομή του άξονα συμμετρίας του τετραγώνου και της μέσης κάθετου που σύρεται προς την πλευρά.
