Η δύναμη είναι μια από τις πιο σημαντικές έννοιες στη φυσική. Προκαλεί αλλαγή στην κατάσταση οποιωνδήποτε αντικειμένων. Σε αυτό το άρθρο, θα εξετάσουμε ποια είναι αυτή η τιμή, ποιες δυνάμεις υπάρχουν και επίσης θα δείξουμε πώς να βρείτε την προβολή της δύναμης στον άξονα και στο επίπεδο.
Η εξουσία και η φυσική της σημασία
Στη φυσική, η δύναμη είναι ένα διανυσματικό μέγεθος που δείχνει τη μεταβολή της ορμής ενός σώματος ανά μονάδα χρόνου. Αυτός ο ορισμός θεωρεί ότι η δύναμη είναι ένα δυναμικό χαρακτηριστικό. Από την άποψη της στατικής, η δύναμη στη φυσική είναι ένα μέτρο της ελαστικής ή πλαστικής παραμόρφωσης των σωμάτων.
Το διεθνές σύστημα SI εκφράζει τη δύναμη σε Newton (N). Τι είναι 1 Newton, ο ευκολότερος τρόπος για να κατανοήσετε το παράδειγμα του δεύτερου νόμου της κλασικής μηχανικής. Η μαθηματική του σημειογραφία είναι η εξής:
F¯=ma¯
Εδώ F¯ είναι κάποια εξωτερική δύναμη που ενεργεί σε ένα σώμα μάζας m και έχει ως αποτέλεσμα την επιτάχυνση a¯. Ο ποσοτικός ορισμός του ενός Newton προκύπτει από τον τύπο: 1 N είναι μια τέτοια δύναμη που οδηγεί σε μεταβολή της ταχύτητας ενός σώματος με μάζα 1 kg κατά 1 m / s για κάθε δευτερόλεπτο.
Παραδείγματα δυναμικήςΟι εκδηλώσεις δύναμης είναι η επιτάχυνση ενός αυτοκινήτου ή ενός σώματος που πέφτει ελεύθερα στο βαρυτικό πεδίο της γης.
Η στατική εκδήλωση δύναμης, όπως σημειώθηκε, σχετίζεται με φαινόμενα παραμόρφωσης. Οι ακόλουθοι τύποι πρέπει να δοθούν εδώ:
F=PS
F=-kx
Η πρώτη έκφραση σχετίζεται με τη δύναμη F με την πίεση P που ασκεί σε κάποια περιοχή S. Μέσω αυτού του τύπου, το 1 N μπορεί να οριστεί ως πίεση 1 pascal που εφαρμόζεται σε μια περιοχή 1 m 2. Για παράδειγμα, μια στήλη ατμοσφαιρικού αέρα στο επίπεδο της θάλασσας πιέζει μια θέση 1 m2με δύναμη 105N!
Η δεύτερη έκφραση είναι η κλασική μορφή του νόμου του Χουκ. Για παράδειγμα, το τέντωμα ή η συμπίεση ενός ελατηρίου κατά μια γραμμική τιμή x οδηγεί στην εμφάνιση μιας αντίθετης δύναμης F (στην έκφραση k είναι ο παράγοντας αναλογικότητας).
Τι δυνάμεις υπάρχουν
Έχει ήδη αποδειχθεί παραπάνω ότι οι δυνάμεις μπορεί να είναι στατικές και δυναμικές. Εδώ λέμε ότι εκτός από αυτό το χαρακτηριστικό, μπορεί να είναι δυνάμεις επαφής ή μεγάλης εμβέλειας. Για παράδειγμα, η δύναμη τριβής, οι αντιδράσεις υποστήριξης είναι δυνάμεις επαφής. Ο λόγος για την εμφάνισή τους είναι η εγκυρότητα της αρχής Pauli. Το τελευταίο δηλώνει ότι δύο ηλεκτρόνια δεν μπορούν να καταλάβουν την ίδια κατάσταση. Γι' αυτό το άγγιγμα δύο ατόμων οδηγεί στην απώθησή τους.
Δυνάμεις μεγάλης εμβέλειας εμφανίζονται ως αποτέλεσμα της αλληλεπίδρασης των σωμάτων μέσω ενός συγκεκριμένου φέροντος πεδίου. Για παράδειγμα, τέτοιες είναι η δύναμη της βαρύτητας ή η ηλεκτρομαγνητική αλληλεπίδραση. Και οι δύο δυνάμεις έχουν άπειρο εύρος,Ωστόσο, η έντασή τους πέφτει στο τετράγωνο της απόστασης (νόμοι του Κουλόμπ και βαρύτητα).
Η ισχύς είναι διανυσματική ποσότητα
Έχοντας ασχοληθεί με την έννοια του θεωρούμενου φυσικού μεγέθους, μπορούμε να προχωρήσουμε στη μελέτη του ζητήματος της προβολής δύναμης στον άξονα. Πρώτα από όλα, σημειώνουμε ότι αυτή η ποσότητα είναι διάνυσμα, δηλαδή χαρακτηρίζεται από μια ενότητα και κατεύθυνση. Θα δείξουμε πώς υπολογίζεται ο συντελεστής δύναμης και η κατεύθυνσή του.
Είναι γνωστό ότι οποιοδήποτε διάνυσμα μπορεί να οριστεί μοναδικά σε ένα δεδομένο σύστημα συντεταγμένων εάν είναι γνωστές οι τιμές των συντεταγμένων της αρχής και του τέλους του. Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει κάποιο κατευθυνόμενο τμήμα MN¯. Στη συνέχεια, η κατεύθυνση και η ενότητα μπορούν να προσδιοριστούν χρησιμοποιώντας τις ακόλουθες εκφράσεις:
MN¯=(x2-x1; y2-y 1; z2-z1);
|MN¯|=√((x2-x1)2+ (y2 -y1)2+ (z2-z1 )2).
Εδώ, οι συντεταγμένες με δείκτες 2 αντιστοιχούν στο σημείο N, αυτές με δείκτες 1 αντιστοιχούν στο σημείο M. Το διάνυσμα MN¯ κατευθύνεται από το M στο N.
Για λόγους γενικότητας, δείξαμε πώς να βρίσκουμε το μέτρο και τις συντεταγμένες (κατεύθυνση) ενός διανύσματος στον τρισδιάστατο χώρο. Παρόμοιοι τύποι χωρίς την τρίτη συντεταγμένη ισχύουν για την περίπτωση στο επίπεδο.
Έτσι, το μέτρο δύναμης είναι η απόλυτη τιμή του, εκφρασμένη σε νεύτονα. Από την άποψη της γεωμετρίας, ο συντελεστής είναι το μήκος του κατευθυνόμενου τμήματος.
Ποιά είναι η προβολή της δύναμηςάξονας;
Είναι πιο βολικό να μιλάμε για προβολές κατευθυνόμενων τμημάτων σε άξονες συντεταγμένων και επίπεδα εάν τοποθετήσετε πρώτα το αντίστοιχο διάνυσμα στην αρχή, δηλαδή στο σημείο (0; 0; 0). Ας υποθέσουμε ότι έχουμε κάποιο διάνυσμα δύναμης F¯. Ας τοποθετήσουμε την αρχή του στο σημείο (0; 0; 0), τότε οι συντεταγμένες του διανύσματος μπορούν να γραφτούν ως εξής:
F¯=((x1- 0); (y1- 0); (z1 - 0))=(x1; y1; z1).
Το διάνυσμα F¯ δείχνει την κατεύθυνση της δύναμης στο διάστημα στο δεδομένο σύστημα συντεταγμένων. Τώρα ας σχεδιάσουμε κάθετα τμήματα από το άκρο του F¯ σε κάθε έναν από τους άξονες. Η απόσταση από το σημείο τομής της κάθετου με τον αντίστοιχο άξονα προς την αρχή ονομάζεται προβολή της δύναμης στον άξονα. Δεν είναι δύσκολο να μαντέψει κανείς ότι στην περίπτωση της δύναμης F¯, οι προβολές της στους άξονες x, y και z θα είναι x1, y1και z 1, αντίστοιχα. Σημειώστε ότι αυτές οι συντεταγμένες δείχνουν τις μονάδες προβολών δύναμης (το μήκος των τμημάτων).
Γωνίες μεταξύ της δύναμης και των προβολών της στους άξονες συντεταγμένων
Ο υπολογισμός αυτών των γωνιών δεν είναι δύσκολος. Το μόνο που απαιτείται για την επίλυσή του είναι η γνώση των ιδιοτήτων των τριγωνομετρικών συναρτήσεων και η ικανότητα εφαρμογής του πυθαγόρειου θεωρήματος.
Για παράδειγμα, ας ορίσουμε τη γωνία μεταξύ της κατεύθυνσης της δύναμης και της προβολής της στον άξονα x. Το αντίστοιχο ορθογώνιο τρίγωνο θα σχηματιστεί από την υποτείνουσα (διάνυσμα F¯) και το σκέλος (τμήμα x1). Το δεύτερο σκέλος είναι η απόσταση από το τέλος του διανύσματος F¯ στον άξονα x. Η γωνία α μεταξύ F¯ και του άξονα x υπολογίζεται με τον τύπο:
α=arccos(|x1|/|F¯|)=arccos(x1/√(x 12+y12+z1 2)).
Όπως μπορείτε να δείτε, για τον προσδιορισμό της γωνίας μεταξύ του άξονα και του διανύσματος, είναι απαραίτητο και αρκετό να γνωρίζουμε τις συντεταγμένες του τέλους του κατευθυνόμενου τμήματος.
Για γωνίες με άλλους άξονες (y και z), μπορείτε να γράψετε παρόμοιες εκφράσεις:
β=arccos(|y1|/|F¯|)=arccos(y1/√(x 12+y12+z 12));
γ=arccos(|z1|/|F¯|)=arccos(z1/√(x 12+y12+z 12)).
Σημειώστε ότι σε όλους τους τύπους υπάρχουν μονάδες στους αριθμητές, γεγονός που εξαλείφει την εμφάνιση αμβλειών γωνιών. Μεταξύ της δύναμης και των αξονικών της προεξοχών, οι γωνίες είναι πάντα μικρότερες ή ίσες με 90o.
Δύναμη και οι προβολές της στο επίπεδο συντεταγμένων
Ο ορισμός της προβολής δύναμης στο επίπεδο είναι ο ίδιος με αυτόν για τον άξονα, μόνο που σε αυτήν την περίπτωση η κάθετη πρέπει να χαμηλώσει όχι στον άξονα, αλλά στο επίπεδο.
Στην περίπτωση ενός χωρικού ορθογώνιου συστήματος συντεταγμένων, έχουμε τρία αμοιβαία κάθετα επίπεδα xy (οριζόντιο), yz (μετωπιαίο κατακόρυφο), xz (πλάγιο κατακόρυφο). Τα σημεία τομής των καθέτων που έπεσαν από το τέλος του διανύσματος στα ονομαζόμενα επίπεδα είναι:
(x1; y1; 0) για xy;
(x1; 0; z1) για xz;
(0; y1; z1) για zy.
Αν καθένα από τα σημειωμένα σημεία συνδέεται με την αρχή, τότε παίρνουμε την προβολή της δύναμης F¯ στο αντίστοιχο επίπεδο. Ποιο είναι το μέτρο δύναμης, το ξέρουμε. Για να βρείτε το μέτρο κάθε προβολής, πρέπει να εφαρμόσετε το Πυθαγόρειο θεώρημα. Ας υποδηλώσουμε τις προβολές στο επίπεδο ως Fxy, Fxz και Fzy. Τότε οι ισότητες θα ισχύουν για τις ενότητες τους:
Fxy=√(x12+y1 2);
Fxz=√(x12+ z1 2);
Fzy=√(y12+ z1 2).
Γωνίες μεταξύ προβολών στο επίπεδο και διανύσματος δύναμης
Στην παραπάνω παράγραφο, δόθηκαν τύποι για τις ενότητες των προβολών στο επίπεδο του θεωρούμενου διανύσματος F¯. Αυτές οι προεξοχές, μαζί με το τμήμα F¯ και την απόσταση από το άκρο του μέχρι το επίπεδο, σχηματίζουν ορθογώνια τρίγωνα. Επομένως, όπως και στην περίπτωση των προβολών στον άξονα, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον ορισμό των τριγωνομετρικών συναρτήσεων για να υπολογίσετε τις εν λόγω γωνίες. Μπορείτε να γράψετε τις ακόλουθες ισότητες:
α=arccos(Fxy/|F¯|)=arccos(√(x12 +y12) /√(x12 +y12+z12));
β=arccos(Fxz/|F¯|)=arccos(√(x12 +z12)/√(x12 +y12+z12));
γ=arccos(Fzy/|F¯|)=arccos(√(y12+z12)/√(x12+y12 +z12)).
Είναι σημαντικό να κατανοήσουμε ότι η γωνία μεταξύ της κατεύθυνσης της δύναμης F¯ και της αντίστοιχης προβολής της στο επίπεδο είναι ίση με τη γωνία μεταξύ F¯ και αυτού του επιπέδου. Εάν εξετάσουμε αυτό το πρόβλημα από τη σκοπιά της γεωμετρίας, τότε μπορούμε να πούμε ότι το κατευθυνόμενο τμήμα F¯ έχει κλίση ως προς τα επίπεδα xy, xz και zy.
Πού χρησιμοποιούνται οι προβολές δύναμης;
Οι παραπάνω τύποι για προβολές δυνάμεων στους άξονες των συντεταγμένων και στο επίπεδο δεν έχουν μόνο θεωρητικό ενδιαφέρον. Συχνά χρησιμοποιούνται για την επίλυση σωματικών προβλημάτων. Η ίδια η διαδικασία εύρεσης προβολών ονομάζεται αποσύνθεση της δύναμης στα συστατικά της. Τα τελευταία είναι διανύσματα, το άθροισμα των οποίων θα πρέπει να δώσει το αρχικό διάνυσμα δύναμης. Στη γενική περίπτωση, είναι δυνατή η αποσύνθεση της δύναμης σε αυθαίρετα στοιχεία, ωστόσο, για την επίλυση προβλημάτων, είναι βολικό να χρησιμοποιηθούν προεξοχές σε κάθετους άξονες και επίπεδα.
Τα προβλήματα στα οποία εφαρμόζεται η έννοια των προβολών δύναμης μπορεί να είναι πολύ διαφορετικά. Για παράδειγμα, ο ίδιος ο δεύτερος νόμος του Νεύτωνα υποθέτει ότι η εξωτερική δύναμη F¯ που ενεργεί στο σώμα πρέπει να κατευθύνεται με τον ίδιο τρόπο όπως το διάνυσμα της ταχύτητας v¯. Εάν οι κατευθύνσεις τους διαφέρουν κατά κάποια γωνία, τότε, για να παραμείνει έγκυρη η ισότητα, θα πρέπει να αντικατασταθεί σε αυτήν όχι η ίδια η δύναμη F¯, αλλά η προβολή της στην κατεύθυνση v¯.
Στη συνέχεια, θα δώσουμε μερικά παραδείγματα, όπου θα δείξουμε πώς να χρησιμοποιήσετε το ηχογραφημένοτύποι.
Το έργο του προσδιορισμού των προβολών δύναμης στο επίπεδο και στους άξονες συντεταγμένων
Υποθέστε ότι υπάρχει κάποια δύναμη F¯, η οποία αντιπροσωπεύεται από ένα διάνυσμα που έχει τις ακόλουθες συντεταγμένες τέλους και έναρξης:
(2; 0; 1);
(-1; 4; -1).
Είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί το μέτρο της δύναμης, καθώς και όλες οι προβολές της στους άξονες και τα επίπεδα συντεταγμένων, και οι γωνίες μεταξύ F¯ και κάθε προεξοχής της.
Ας αρχίσουμε να λύνουμε το πρόβλημα υπολογίζοντας τις συντεταγμένες του διανύσματος F¯. Έχουμε:
F¯=(-1; 4; -1) - (2; 0; 1)=(-3; 4; -2).
Τότε το μέτρο δύναμης θα είναι:
|F¯|=√(9 + 16 + 4)=√29 ≈ 5, 385 N.
Οι προβολές στους άξονες συντεταγμένων είναι ίσες με τις αντίστοιχες συντεταγμένες του διανύσματος F¯. Ας υπολογίσουμε τις γωνίες μεταξύ τους και την κατεύθυνση F¯. Έχουμε:
α=arccos(|-3 |/5, 385) ≈ 56, 14o;
β=arccos(|4|/5, 385) ≈ 42, 03o;
γ=arccos(|-2|/5, 385) ≈ 68, 20o.
Δεδομένου ότι οι συντεταγμένες του διανύσματος F¯ είναι γνωστές, είναι δυνατός ο υπολογισμός των μονάδων προβολών δύναμης στο επίπεδο συντεταγμένων. Χρησιμοποιώντας τους παραπάνω τύπους, παίρνουμε:
Fxy=√(9 +16)=5 N;
Fxz=√(9 + 4)=3, 606 N;
Fzy=√(16 + 4)=4, 472 N.
Τέλος, απομένει να υπολογίσουμε τις γωνίες μεταξύ των προβολών που βρέθηκαν στο επίπεδο και του διανύσματος δύναμης. Έχουμε:
α=arccos(Fxy/|F¯|)=arccos(5/5, 385) ≈ 21, 8o;
β=arccos(Fxz/|F¯|)=arccos(3, 606/5, 385) ≈ 48, 0o;
γ=arccos(Fzy/|F¯|)=arccos(4, 472/5, 385) ≈ 33, 9o.
Έτσι, το διάνυσμα F¯ είναι πιο κοντά στο επίπεδο συντεταγμένων xy.
Πρόβλημα με συρόμενη μπάρα σε κεκλιμένο επίπεδο
Τώρα ας λύσουμε ένα φυσικό πρόβλημα όπου θα είναι απαραίτητο να εφαρμόσουμε την έννοια της προβολής δύναμης. Ας δοθεί ένα ξύλινο κεκλιμένο επίπεδο. Η γωνία κλίσης του προς τον ορίζοντα είναι 45o. Στο αεροπλάνο υπάρχει ένα ξύλινο μπλοκ με μάζα 3 κιλών. Είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί με ποια επιτάχυνση αυτή η μπάρα θα κινηθεί προς τα κάτω στο επίπεδο εάν είναι γνωστό ότι ο συντελεστής τριβής ολίσθησης είναι 0,7.
Πρώτα, ας φτιάξουμε την εξίσωση κίνησης του σώματος. Δεδομένου ότι μόνο δύο δυνάμεις θα δράσουν σε αυτό (η προβολή της βαρύτητας σε ένα επίπεδο και η δύναμη τριβής), η εξίσωση θα έχει τη μορφή:
Fg- Ff=ma=>
a=(Fg- Ff)/μ.
Εδώ Fg, Ff είναι η προβολή της βαρύτητας και της τριβής, αντίστοιχα. Δηλαδή, η εργασία περιορίζεται στον υπολογισμό των τιμών τους.
Δεδομένου ότι η γωνία στην οποία το επίπεδο είναι κεκλιμένο προς τον ορίζοντα είναι 45o, είναι εύκολο να δείξουμε ότι η προβολή της βαρύτητας Fgκατά μήκος της επιφάνειας του επιπέδου θα ισούται με:
Fg=mgsin(45o)=39, 81/√2 ≈ 20, 81 N.
Αυτή η προβολή δύναμης επιδιώκει να διαταραχθείξύλινο μπλοκ και δώστε του επιτάχυνση.
Σύμφωνα με τον ορισμό, η δύναμη της τριβής ολίσθησης είναι:
Ff=ΜN
Όπου Μ=0, 7 (δείτε την κατάσταση του προβλήματος). Η δύναμη αντίδρασης του στηρίγματος N είναι ίση με την προβολή της δύναμης της βαρύτητας στον άξονα κάθετο στο κεκλιμένο επίπεδο, δηλαδή:
N=mgcos(45o)
Τότε η δύναμη τριβής είναι:
Ff=Μmgcos(45o)=0, 739, 81/√2 ≈ 14, 57 N.
Αντικαταστήστε τις δυνάμεις που βρέθηκαν στην εξίσωση της κίνησης, παίρνουμε:
a=(Fg- Ff)/m=(20,81 - 14,57)/3=2,08 m/ c2.
Έτσι, το μπλοκ θα κατεβαίνει στο κεκλιμένο επίπεδο, αυξάνοντας την ταχύτητά του κατά 2,08 m/s κάθε δευτερόλεπτο.
