Ακούγοντας έναν καθηγητή μαθηματικών, οι περισσότεροι μαθητές θεωρούν την ύλη ως αξίωμα. Ταυτόχρονα, λίγοι άνθρωποι προσπαθούν να φτάσουν στο κάτω μέρος και να καταλάβουν γιατί το «μείον» στο «συν» δίνει το σύμβολο «μείον» και όταν πολλαπλασιάζουμε δύο αρνητικούς αριθμούς, βγαίνει θετικός.
Νόμοι των μαθηματικών
Οι περισσότεροι ενήλικες δεν είναι σε θέση να εξηγήσουν στον εαυτό τους ή στα παιδιά τους γιατί συμβαίνει αυτό. Είχαν απορροφήσει καλά αυτό το υλικό στο σχολείο, αλλά δεν προσπάθησαν καν να βρουν από πού προέρχονται τέτοιοι κανόνες. Αλλά μάταια. Συχνά, τα σύγχρονα παιδιά δεν είναι τόσο ευκολόπιστα, πρέπει να φτάσουν στο βάθος του θέματος και να καταλάβουν, για παράδειγμα, γιατί το «συν» στο «μείον» δίνει το «μείον». Και μερικές φορές τα αγόρια κάνουν επίτηδες δύσκολες ερωτήσεις για να απολαύσουν τη στιγμή που οι ενήλικες δεν μπορούν να δώσουν μια κατανοητή απάντηση. Και είναι πραγματικά καταστροφή αν ένας νεαρός δάσκαλος μπει σε ένα χάος…
Παρεμπιπτόντως, πρέπει να σημειωθεί ότι ο κανόνας που αναφέρεται παραπάνω ισχύει τόσο για τον πολλαπλασιασμό όσο και για τη διαίρεση. Το γινόμενο ενός αρνητικού και ενός θετικού αριθμού θα δώσει μόνο ένα μείον. Εάν μιλάμε για δύο ψηφία με σύμβολο "-", τότε το αποτέλεσμα θα είναι ένας θετικός αριθμός. Το ίδιο ισχύει και για τη διαίρεση. Αν έναένας από τους αριθμούς είναι αρνητικός, τότε το πηλίκο θα είναι επίσης με σύμβολο "-".
Για να εξηγηθεί η ορθότητα αυτού του νόμου των μαθηματικών, είναι απαραίτητο να διατυπωθούν τα αξιώματα του δακτυλίου. Αλλά πρώτα πρέπει να καταλάβετε τι είναι. Στα μαθηματικά, συνηθίζεται να ονομάζουμε δαχτυλίδι ένα σύνολο στο οποίο εμπλέκονται δύο πράξεις με δύο στοιχεία. Αλλά είναι καλύτερα να το αντιμετωπίσουμε με ένα παράδειγμα.
Αξίωμα του Δαχτυλιδιού
Υπάρχουν αρκετοί μαθηματικοί νόμοι.
- Το πρώτο είναι ανταλλακτική, σύμφωνα με τον ίδιο, C + V=V + C.
- Το δεύτερο ονομάζεται συσχετιστικό (V + C) + D=V + (C + D).
Υπακούουν επίσης στον πολλαπλασιασμό (V x C) x D=V x (C x D).
Κανείς δεν έχει ακυρώσει τους κανόνες με τους οποίους ανοίγουν οι αγκύλες (V + C) x D=V x D + C x D, είναι επίσης αλήθεια ότι C x (V + D)=C x V + C x D.
Επιπλέον, έχει διαπιστωθεί ότι μπορεί να εισαχθεί στον δακτύλιο ένα ειδικό στοιχείο, ουδέτερο ως προς την προσθήκη, χρησιμοποιώντας το οποίο θα ισχύουν τα εξής: C + 0=C. Επιπλέον, για κάθε C υπάρχει ένα αντίθετο στοιχείο, το οποίο μπορεί να συμβολιστεί ως (-C). Σε αυτήν την περίπτωση, C + (-C)=0.
Παραγωγή αξιωμάτων για αρνητικούς αριθμούς
Αποδέχοντας τις παραπάνω δηλώσεις, μπορούμε να απαντήσουμε στην ερώτηση: ""Συν" στο "πλην" τι πρόσημο δίνει; Γνωρίζοντας το αξίωμα για τον πολλαπλασιασμό των αρνητικών αριθμών, είναι απαραίτητο να επιβεβαιωθεί ότι πράγματι (-C) x V=-(C x V). Και επίσης ότι ισχύει η ακόλουθη ισότητα: (-(-C))=C.
Για να γίνει αυτό, θα πρέπει πρώτα να αποδείξουμε ότι κάθε ένα από τα στοιχεία έχει μόνο ένααπέναντι αδερφός. Εξετάστε το ακόλουθο αποδεικτικό παράδειγμα. Ας προσπαθήσουμε να φανταστούμε ότι δύο αριθμοί είναι αντίθετοι για το C - V και το D. Από αυτό προκύπτει ότι C + V=0 και C + D=0, δηλαδή C + V=0=C + D. Υπενθυμίζοντας τους νόμους μετατόπισης και σχετικά με τις ιδιότητες του αριθμού 0, μπορούμε να θεωρήσουμε το άθροισμα και των τριών αριθμών: C, V και D. Ας προσπαθήσουμε να καταλάβουμε την τιμή του V. Είναι λογικό ότι V=V + 0=V + (C + Δ)=V + C + D, επειδή η τιμή του C + D, όπως έγινε αποδεκτό παραπάνω, ισούται με 0. Επομένως, V=V + C + D.
Η τιμή για το D προκύπτει ακριβώς με τον ίδιο τρόπο: D=V + C + D=(V + C) + D=0 + D=D. Με βάση αυτό, γίνεται σαφές ότι V=D.
Για να καταλάβετε γιατί το "συν" στο "μείον" δίνει ένα "μείον", πρέπει να καταλάβετε τα εξής. Άρα, για το στοιχείο (-C), το αντίθετο είναι το C και το (-(-C)), δηλαδή είναι ίσα μεταξύ τους.
Τότε είναι προφανές ότι 0 x V=(C + (-C)) x V=C x V + (-C) x V. Συνεπάγεται ότι το C x V είναι αντίθετο με το (-)C x V, άρα (-C) x V=-(C x V).
Για πλήρη μαθηματική αυστηρότητα, είναι επίσης απαραίτητο να επιβεβαιωθεί ότι 0 x V=0 για οποιοδήποτε στοιχείο. Εάν ακολουθείτε τη λογική, τότε 0 x V \u003d (0 + 0) x V \u003d 0 x V + 0 x V. Αυτό σημαίνει ότι η προσθήκη του προϊόντος 0 x V δεν αλλάζει με κανέναν τρόπο το καθορισμένο ποσό. Τελικά, αυτό το γινόμενο είναι ίσο με μηδέν.
Γνωρίζοντας όλα αυτά τα αξιώματα, μπορείτε να συμπεράνετε όχι μόνο πόσα δίνει το "συν" με το "πλην", αλλά και τι συμβαίνει όταν πολλαπλασιάζετε αρνητικούς αριθμούς.
Πολλαπλασιασμός και διαίρεση δύο αριθμών με σύμβολο "-"
Αν δεν πάτε βαθιά στα μαθηματικάαποχρώσεις, μπορείτε να προσπαθήσετε να εξηγήσετε τους κανόνες πράξεων με αρνητικούς αριθμούς με απλούστερο τρόπο.
Ας υποθέσουμε ότι C - (-V)=D, άρα C=D + (-V), δηλ. C=D - V. Μεταφέρουμε V και πάρουμε C + V=D. Δηλαδή, C + V=C - (-V). Αυτό το παράδειγμα εξηγεί γιατί σε μια έκφραση όπου υπάρχουν δύο "μείον" στη σειρά, τα αναφερόμενα σημάδια πρέπει να αλλάξουν σε "συν". Τώρα ας ασχοληθούμε με τον πολλαπλασιασμό.
(-C) x (-V)=D, μπορείτε να προσθέσετε και να αφαιρέσετε δύο ίδια γινόμενα στην παράσταση, τα οποία δεν θα αλλάξουν την τιμή της: (-C) x (-V) + (C x V) - (C x V)=D.
Μην θυμόμαστε τους κανόνες για την εργασία με αγκύλες, παίρνουμε:
1) (-C) x (-V) + (C x V) + (-C) x V=D;
2) (-C) x ((-V) + V) + C x V=D;
3) (-C) x 0 + C x V=D;
4) C x V=D.
Ακολουθεί ότι C x V=(-C) x (-V).
Ομοίως, μπορούμε να αποδείξουμε ότι η διαίρεση δύο αρνητικών αριθμών θα έχει ως αποτέλεσμα έναν θετικό.
Γενικοί μαθηματικοί κανόνες
Φυσικά, αυτή η εξήγηση δεν είναι κατάλληλη για μαθητές δημοτικού που μόλις αρχίζουν να μαθαίνουν αφηρημένους αρνητικούς αριθμούς. Είναι καλύτερα για αυτούς να εξηγούν σε ορατά αντικείμενα, χειραγωγώντας τον γνωστό όρο μέσα από το βλέμμα. Για παράδειγμα, επινοημένα, αλλά όχι υπάρχοντα παιχνίδια βρίσκονται εκεί. Μπορούν να εμφανίζονται με ένα σύμβολο "-". Ο πολλαπλασιασμός δύο αντικειμένων από γυαλί τα μεταφέρει σε έναν άλλο κόσμο, ο οποίος εξισώνεται με τον παρόν, δηλαδή ως αποτέλεσμα έχουμε θετικούς αριθμούς. Αλλά ο πολλαπλασιασμός ενός αφηρημένου αρνητικού αριθμού με έναν θετικό δίνει μόνο το οικείο σε όλους αποτέλεσμα. Γιατί "συν"πολλαπλασιάζοντας με "μείον" δίνει "μείον". Είναι αλήθεια ότι στην ηλικία του δημοτικού σχολείου, τα παιδιά δεν προσπαθούν πραγματικά να εμβαθύνουν σε όλες τις μαθηματικές αποχρώσεις.
Αν και, αν αντιμετωπίσετε την αλήθεια, για πολλούς ανθρώπους, ακόμη και με ανώτερη εκπαίδευση, πολλοί κανόνες παραμένουν μυστήριο. Όλοι θεωρούν δεδομένο αυτό που τους διδάσκουν οι δάσκαλοι, χωρίς να χάσουν να εμβαθύνουν σε όλες τις πολυπλοκότητες που είναι γεμάτες τα μαθηματικά. Το "Μείον" στο "μείον" δίνει ένα "συν" - όλοι το γνωρίζουν χωρίς εξαίρεση. Αυτό ισχύει τόσο για ακέραιους όσο και για κλασματικούς αριθμούς.
