Στη μελέτη του πολυωνύμου του δεύτερου βαθμού δίνεται μεγάλη προσοχή στο μάθημα της άλγεβρας της όγδοης τάξης. Εάν η ύλη αυτή δεν κατακτηθεί καλά από τον μαθητή, τότε τα προβλήματα είναι αναπόφευκτα στις εξετάσεις του ΟΓΕ και της Ενιαίας Κρατικής Εξέτασης, τόσο σε επίπεδο προφίλ όσο και σε επίπεδο βάσης. Οι υποχρεωτικές δεξιότητες που σχετίζονται με τις τετραγωνικές συναρτήσεις περιλαμβάνουν τη χάραξη και την ανάλυση γραφημάτων, την επίλυση εξισώσεων.
Η παραγοντοποίηση ενός τετραγωνικού τριωνύμου είναι ένα από τα τυπικά σχολικά προβλήματα. Είναι βοηθητικό στην επίλυση της ανισότητας με τη μέθοδο του διαστήματος.
Εύρεση των ριζών μιας εξίσωσης
Το πρώτο πράγμα που πρέπει να παραγοντοποιήσετε ένα πολυώνυμο είναι να βρείτε τις ρίζες του.
Οι ρίζες είναι αριθμοί που μετατρέπουν το άθροισμα των μονοωνύμων στο πολυώνυμο σε μηδέν, το οποίο γραφικά μοιάζει με τομή με τον οριζόντιο άξονα. Καθορίζονται χρησιμοποιώντας τη διάκριση ή το θεώρημα του Vieta.
Η διάκριση του τριωνύμου ax2 + bx + c υπολογίζεται με τον τύπο: D=b2m- 4ac.
Στην περίπτωση που η διάκριση δεν είναι αρνητική,μέσω αυτού εκφράζονται οι ρίζες και οι πολυωνυμικοί συντελεστές:
x1 =1/2(-b + √D); x2 =1/2(-β - √D)
Εάν η διάκριση είναι μηδέν, τα x1και x2είναι ίδια.
Για να λύσετε μερικά τριώνυμα, είναι βολικό να χρησιμοποιήσετε το θεώρημα Vieta:
x1 + x2 =-β: a; x1 × x2=c: a
Χρειάζεται μια ορισμένη ποσότητα μαθηματικής διαίσθησης για να εφαρμοστεί το θεώρημα. Η ουσία είναι ότι, γνωρίζοντας το άθροισμα και το γινόμενο δύο αγνώστων, μαζέψτε αυτούς τους αριθμούς. Εάν υπάρχουν, βρίσκονται μοναδικά (μέχρι μια μετάθεση).
Μπορείτε να επαληθεύσετε την εγκυρότητα του θεωρήματος υπολογίζοντας το άθροισμα και το γινόμενο των ριζών σε γενικούς όρους. Οι τύποι για x1 και x2 ελέγχονται επίσης με απευθείας αντικατάσταση.
Κανόνας Factoring
Το πρόβλημα μπορεί να λυθεί σε πραγματικούς αριθμούς εάν το πολυώνυμο έχει ρίζες. Η αποσύνθεση καθορίζεται από τον τύπο:
ax2 + bx + c=a(x - x1)(x - x2)
Παραδείγματα
Πρόβλημα: βρείτε την παραγοντοποίηση των τετραγωνικών τριωνύμων.
a) x2 - 6x + 5
Λύση: γράψτε τους συντελεστές του τριωνύμου:
α=1; b=-6; c=5.
Χρησιμοποιώντας το θεώρημα Vieta:
x1 + x2 =6;
x1 × x2=5.
Μπορεί να φανεί ότι x1 =1, x2 =5.
Αν, σύμφωνα με τις γραπτές ισότητες του θεωρήματος,είναι δυνατό να βρείτε γρήγορα τις ρίζες, θα πρέπει να προχωρήσετε αμέσως στον υπολογισμό του διαχωριστικού.
Αφού βρεθούν οι ρίζες, πρέπει να τις αντικαταστήσετε στον τύπο επέκτασης:
x2 - 6x + 5=(x - 1)(x - 5)
Το αποτέλεσμα που καταγράφεται σε αυτήν τη φόρμα μπορεί να θεωρηθεί τελικό.
β) 2x2 + x - 1
Λύση:
a=2, b=1, c=-1.
Αν ο κύριος συντελεστής είναι διαφορετικός από 1, η εφαρμογή του θεωρήματος Vieta συνήθως απαιτεί περισσότερο χρόνο από την επίλυση μέσω του διαχωριστικού, οπότε ας προχωρήσουμε στον υπολογισμό του.
D=1 - 4 × 2 × (-1)=9.
x1=1/2; x2=-1.
Ο τύπος είναι:
2x2 + x - 1=2(x - 1/2)(x + 1).
γ)x2 - 8x + 16
Λύση:
α=1; b=-8; c=16.
D=0.
Δεδομένου ότι η διάκριση είναι μηδέν, έχουμε την περίπτωση σύμπτωσης των ριζών:
x1 =x2 =4.
Αυτή η κατάσταση, ωστόσο, δεν διαφέρει θεμελιωδώς από αυτές που εξετάστηκαν προηγουμένως.
x2 - 8x + 16=1(x - 4)(x - 4)
Το αποτέλεσμα γράφεται συχνά ως: (x - 4)2.
δ)x2 - 7x + 1
Λύση:
α=1; b=-7; c=1.
D=45.
Αυτό το παράδειγμα διαφέρει από τα προηγούμενα στο ότι δεν μπορεί να εξαχθεί μια λογική ρίζα από το διαχωριστικό. Αυτό σημαίνει ότι οι ρίζες του πολυωνύμου είναι παράλογες.
x1 =-1/2(7 + √45); x2 =-1/2(7 - √45).
Ή ισοδύναμα, x1=-3, 5 - 1/2√45; x2 =-3, 5 + 1/2√45.
Η τελευταία επιλογή είναι πιο βολική στη χρήση για επέκταση γραφής. Παραλείποντας τον ανώτερο συντελεστή, ο οποίος είναι ίσος εδώ με 1, παίρνουμε:
x2- 7x + 1=(x + 3,5 + 1/2√45)(x + 3,5 - 1/2√45)
Για την περίπτωση που η διάκριση είναι αρνητική, αρκεί η ακόλουθη απάντηση στο πλαίσιο του σχολικού προγράμματος: το τριώνυμο δεν έχει ρίζες και, επομένως, δεν μπορεί να παραγοντοποιηθεί. Τέτοια τριώνυμα ονομάζονται επίσης μη αναγώγιμα. Είναι σημαντικό να καταλάβουμε ότι μιλάμε μόνο για την παρουσία ή την απουσία πραγματικών ριζών.
Αν ληφθεί υπόψη το πεδίο των μιγαδικών αριθμών, η παραγοντοποίηση ενός τετραγωνικού τριωνύμου είναι δυνατή με οποιαδήποτε διάκριση.
Τυπικά λάθη
1) Στην αρχή της μελέτης ενός πολυωνύμου, πολλοί άνθρωποι γράφουν λανθασμένα τους συντελεστές, για παράδειγμα, δίνουν προσοχή στη σειρά των μονώνυμων στη σημειογραφία.
Έτσι, ο κύριος παράγοντας a στην εξίσωση 101 είναι 79x + 38x2είναι 38, όχι 101 όπως νομίζετε.
Ένα άλλο σφάλμα που σχετίζεται με τους συντελεστές της εξίσωσης είναι η λεγόμενη "απώλεια προσήμου". Στο ίδιο παράδειγμα, συντελεστής b=-79, όχι 79.
2) Συνηθίζοντας να χρησιμοποιούν το θεώρημα Vieta για την περίπτωση που a=1, οι μαθητές ξεχνούν μερικές φορές την πλήρη διατύπωσή του. Στο πολυώνυμο της πρώτης παραγράφου, είναι λάθος να υποθέσουμε ότι το άθροισμα των ριζών είναι 79, καθώς ο πρώτος συντελεστής είναι διαφορετικός από το 1.
3) Τα υπολογιστικά σφάλματα είναι το πιο κοινό πρόβλημα για τους μαθητές. Σε πολλές περιπτώσεις, ο έλεγχος βοηθά στην αποφυγή τους.αντικατάσταση.
Πολυώνυμα τρίτου βαθμού και άνω
Πολυώνυμα υψηλότερου βαθμού σπάνια εξετάζονται στο σχολείο, καθώς το πρόβλημα της εύρεσης ριζών για πολυώνυμα τρίτου βαθμού και άνω είναι επίπονο. Υπάρχουν αλγόριθμοι υψηλής υπολογιστικής πολυπλοκότητας για την επέκταση ενός πολυωνύμου τρίτου και τέταρτου βαθμού. Για τον πέμπτο βαθμό και άνω, αποδεικνύεται ένα θεώρημα για τη μη επιλυτότητα της εξίσωσης σε ρίζες σε γενική μορφή.
Ειδικές περιπτώσεις αυτών των πολυωνύμων, που μπορούν να εξεταστούν στο γυμνάσιο, χαρακτηρίζονται από την παρουσία ορθολογικών εύκολα επιλεγμένων ριζών. Ο αριθμός των τελευταίων δεν μπορεί να υπερβαίνει τον βαθμό του πολυωνύμου. Όταν εργάζεστε με το μιγαδικό επίπεδο, ο αριθμός τους είναι ακριβώς ίδιος με τον υψηλότερο βαθμό.
Τα πολυώνυμα περιττού βαθμού έχουν πάντα τουλάχιστον μία πραγματική ρίζα. Αυτό είναι εύκολο να εμφανιστεί γραφικά - μια συνεχής συνάρτηση που δίνεται από ένα τέτοιο πολυώνυμο έχει θετικές και αρνητικές τιμές, που σημαίνει ότι περνάει από το 0.
Όλες οι ρίζες δύο πολυωνύμων συμπίπτουν εάν και μόνο εάν οι συντελεστές τους είναι ανάλογοι.
Γενικά, το πρόβλημα της εύρεσης ριζών και το πρόβλημα της κατασκευής μιας αποσύνθεσης μπορούν να θεωρηθούν ισοδύναμα.
