Πολυώνυμο, ή πολυώνυμο - μία από τις βασικές αλγεβρικές δομές, που συναντάμε στα σχολικά και ανώτερα μαθηματικά. Η μελέτη ενός πολυωνύμου είναι το πιο σημαντικό θέμα σε ένα μάθημα άλγεβρας, αφού, αφενός, τα πολυώνυμα είναι αρκετά απλά σε σύγκριση με άλλους τύπους συναρτήσεων και, αφετέρου, χρησιμοποιούνται ευρέως στην επίλυση προβλημάτων μαθηματικής ανάλυσης.. Τι είναι λοιπόν ένα πολυώνυμο;
Ορισμός
Ο ορισμός του όρου πολυωνύμου μπορεί να δοθεί μέσω της έννοιας ενός μονωνύμου ή μονοωνύμου.
Ένα μονώνυμο είναι μια έκφραση της μορφής cx1i1x2 i2 …x σε. Εδώ το σ είναι μια σταθερά, x1, x2, … x - μεταβλητές, i1, i2, … σε - εκθέτες μεταβλητών. Τότε ένα πολυώνυμο είναι κάθε πεπερασμένο άθροισμα μονωνύμων.
Για να κατανοήσετε τι είναι ένα πολυώνυμο, μπορείτε να δείτε συγκεκριμένα παραδείγματα.
Το τετράγωνο τριώνυμο, που συζητήθηκε λεπτομερώς στο μάθημα των μαθηματικών της 8ης δημοτικού, είναι ένα πολυώνυμο: ax2+bx+c.
Ένα πολυώνυμο με δύο μεταβλητές μπορεί να μοιάζει με αυτό: x2-xy+y2. Τέτοιοςένα πολυώνυμο ονομάζεται επίσης ατελές τετράγωνο της διαφοράς μεταξύ x και y.
Ταξινομήσεις πολυωνύμων
Πολυώνυμος βαθμός
Για κάθε μονώνυμο του πολυωνύμου, βρείτε το άθροισμα των εκθετών i1+i2+…+in. Το μεγαλύτερο από τα αθροίσματα ονομάζεται εκθέτης του πολυωνύμου και το μονώνυμο που αντιστοιχεί σε αυτό το άθροισμα ονομάζεται υψηλότερος όρος.
Με την ευκαιρία, οποιαδήποτε σταθερά μπορεί να θεωρηθεί πολυώνυμο βαθμού μηδέν.
Μειωμένα και μη ανηγμένα πολυώνυμα
Αν ο συντελεστής c είναι ίσος με 1 για τον υψηλότερο όρο, τότε δίνεται το πολυώνυμο, διαφορετικά δεν είναι.
Για παράδειγμα, η έκφραση x2+2x+1 είναι ένα μειωμένο πολυώνυμο και το 2x2+2x+1 δεν είναι μειωμένο.
Ομογενή και ανομοιογενή πολυώνυμα
Αν οι μοίρες όλων των μελών ενός πολυωνύμου είναι ίσοι, τότε λέμε ότι ένα τέτοιο πολυώνυμο είναι ομοιογενές. Όλα τα άλλα πολυώνυμα θεωρούνται μη ομοιογενή.
Ομογενή πολυώνυμα: x2-xy+y2, xyz+x3 +y 3. Ετερογενές: x+1, x2+y.
Υπάρχουν ειδικά ονόματα για ένα πολυώνυμο δύο και τριών όρων: διώνυμο και τριώνυμο, αντίστοιχα.
Τα πολυώνυμα μιας μεταβλητής κατανέμονται σε ξεχωριστή κατηγορία.
Εφαρμογή πολυωνύμου μιας μεταβλητής
Πολυώνυμα μιας μεταβλητής προσεγγίζουν καλά συνεχείς συναρτήσεις ποικίλης πολυπλοκότητας από ένα όρισμα.
Το γεγονός είναι ότι τέτοια πολυώνυμα μπορούν να θεωρηθούν ως μερικά αθροίσματα μιας σειράς ισχύος και μια συνεχής συνάρτηση μπορεί να αναπαρασταθεί ως μια σειρά με ένα αυθαίρετα μικρό σφάλμα. Οι σειρές επέκτασης μιας συνάρτησης ονομάζονται σειρές Taylor και αυτέςμερικά αθροίσματα με τη μορφή πολυωνύμων - πολυώνυμα Taylor.
Η γραφική μελέτη της συμπεριφοράς μιας συνάρτησης προσεγγίζοντας την με κάποιο πολυώνυμο είναι συχνά ευκολότερη από τη διερεύνηση της ίδιας συνάρτησης απευθείας ή χρησιμοποιώντας μια σειρά.
Είναι εύκολο να αναζητήσετε παραγώγους πολυωνύμων. Για να βρείτε τις ρίζες πολυωνύμων βαθμού 4 και κάτω, υπάρχουν έτοιμοι τύποι και για εργασία με υψηλότερους βαθμούς, χρησιμοποιούνται κατά προσέγγιση αλγόριθμοι υψηλής ακρίβειας.
Υπάρχει επίσης μια γενίκευση των περιγραφόμενων πολυωνύμων για συναρτήσεις πολλών μεταβλητών.
διώνυμο του Νεύτωνα
Τα γνωστά πολυώνυμα είναι τα πολυώνυμα του Νεύτωνα, τα οποία προέρχονται από επιστήμονες για να βρουν τους συντελεστές της έκφρασης (x + y).
Αρκεί να δούμε τις πρώτες λίγες δυνάμεις της διωνυμικής αποσύνθεσης για να βεβαιωθείτε ότι ο τύπος δεν είναι τετριμμένος:
(x+y)2=x2+2xy+y2;
(x+y)3=x3+3x2y+3xy2+y3;
(x+y)4=x4+4x3y+6x2y2+4xy3+y4;
(x+y)5=x5+5x4y+10x3y2+10x2y3+5xy4+y5.
Για κάθε συντελεστή υπάρχει μια παράσταση που σας επιτρέπει να τον υπολογίσετε. Ωστόσο, η απομνημόνευση δυσκίνητων τύπων και η εκτέλεση των απαραίτητων αριθμητικών πράξεων κάθε φορά θα ήταν εξαιρετικά άβολο για εκείνους τους μαθηματικούς που χρειάζονται συχνά τέτοιες επεκτάσεις. Το τρίγωνο του Πασκάλ τους έκανε τη ζωή πολύ πιο εύκολη.
Το σχήμα είναι κατασκευασμένο σύμφωνα με την ακόλουθη αρχή. Το 1 γράφεται στην κορυφή του τριγώνου και σε κάθε επόμενη γραμμή γίνεται ένα ακόμη ψηφίο, το 1 τοποθετείται στις άκρες και το μέσο της γραμμής συμπληρώνεται με τα αθροίσματα δύο διπλανών αριθμών από τον προηγούμενο.
Όταν κοιτάς την εικόνα, όλα γίνονται ξεκάθαρα.
Φυσικά, η χρήση των πολυωνύμων στα μαθηματικά δεν περιορίζεται στα παραδείγματα που δίνονται, τα πιο ευρέως γνωστά.
