Αριθμητικά συστήματα - τι είναι; Ακόμη και χωρίς να γνωρίζουμε την απάντηση σε αυτό το ερώτημα, ο καθένας από εμάς χρησιμοποιεί ακούσια συστήματα αριθμών στη ζωή του και δεν το υποπτεύεται. Σωστά, πληθυντικός! Δηλαδή όχι ένα, αλλά πολλά. Πριν δώσουμε παραδείγματα συστημάτων αριθμών χωρίς θέση, ας κατανοήσουμε αυτό το ζήτημα, ας μιλήσουμε και για συστήματα θέσεων.
Απαιτείται τιμολόγιο
Από την αρχαιότητα, οι άνθρωποι είχαν ανάγκη για μέτρηση, δηλαδή συνειδητοποιούσαν διαισθητικά ότι έπρεπε να εκφράσουν με κάποιο τρόπο μια ποσοτική οπτική των πραγμάτων και των γεγονότων. Ο εγκέφαλος πρότεινε ότι ήταν απαραίτητο να χρησιμοποιηθούν αντικείμενα για μέτρηση. Τα δάχτυλα ήταν πάντα τα πιο βολικά, και αυτό είναι κατανοητό, γιατί είναι πάντα διαθέσιμα (με σπάνιες εξαιρέσεις).
Έτσι, οι αρχαίοι εκπρόσωποι της ανθρώπινης φυλής έπρεπε να λυγίσουν τα δάχτυλά τους με την κυριολεκτική έννοια - για να υποδείξουν τον αριθμό των σκοτωμένων μαμούθ, για παράδειγμα. Τέτοια στοιχεία του λογαριασμού δεν είχαν ακόμη ονόματα, αλλά μόνο μια οπτική εικόνα, μια σύγκριση.
Σύγχρονα συστήματα αριθμών θέσης
Το αριθμητικό σύστημα είναι μια μέθοδος (τρόπος) αναπαράστασης ποσοτικών τιμών και ποσοτήτων χρησιμοποιώντας ορισμένα σημάδια (σύμβολα ή γράμματα).
Είναι απαραίτητο να κατανοήσουμε τι είναι θέσιο και μη θέσιο στη μέτρηση πριν δώσουμε παραδείγματα μη θέσεων αριθμητικών συστημάτων. Υπάρχουν πολλά συστήματα αριθμών θέσης. Τώρα τα ακόλουθα χρησιμοποιούνται σε διάφορους τομείς γνώσης: δυαδικό (περιλαμβάνει μόνο δύο σημαντικά στοιχεία: 0 και 1), δεκαεξαδικό (αριθμός χαρακτήρων - 6), οκταδικό (χαρακτήρες - 8), δωδεκαδικό (δώδεκα χαρακτήρες), δεκαεξαδικό (περιλαμβάνει δεκαέξι χαρακτήρες). Επιπλέον, κάθε σειρά χαρακτήρων στα συστήματα ξεκινά από το μηδέν. Οι σύγχρονες τεχνολογίες υπολογιστών βασίζονται στη χρήση δυαδικών κωδικών - το δυαδικό σύστημα αριθμών θέσης.
Σύστημα δεκαδικών αριθμών
Η θέση είναι η παρουσία σημαντικών θέσεων σε διαφορετικό βαθμό, στις οποίες βρίσκονται τα σημάδια του αριθμού. Αυτό μπορεί να αποδειχθεί καλύτερα χρησιμοποιώντας το παράδειγμα του συστήματος δεκαδικών αριθμών. Εξάλλου, έχουμε συνηθίσει να το χρησιμοποιούμε από την παιδική ηλικία. Υπάρχουν δέκα σημάδια σε αυτό το σύστημα: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Πάρτε τον αριθμό 327. Έχει τρία σημάδια: 3, 2, 7. Κάθε ένα από αυτά βρίσκεται στο τη δική του θέση (τόπος). Το επτά παίρνει τη θέση που προορίζεται για μεμονωμένες τιμές (μονάδες), οι δύο - δεκάδες και οι τρεις - εκατοντάδες. Επειδή ο αριθμός είναι τριψήφιος, υπάρχουν μόνο τρεις θέσεις σε αυτόν.
Με βάση τα παραπάνω, αυτόένας τριψήφιος δεκαδικός αριθμός μπορεί να περιγραφεί ως εξής: τρεις εκατοντάδες, δύο δεκάδες και επτά μονάδες. Επιπλέον, η σημασία (σημασία) των θέσεων μετράται από αριστερά προς τα δεξιά, από μια αδύναμη θέση (μία) σε μια ισχυρότερη (εκατοντάδες).
Αισθανόμαστε πολύ άνετα στο σύστημα δεκαδικών αριθμών θέσης. Έχουμε δέκα δάχτυλα στα χέρια μας και το ίδιο στα πόδια μας. Πέντε συν πέντε - έτσι, χάρη στα δάχτυλα, φανταζόμαστε εύκολα μια ντουζίνα από την παιδική ηλικία. Γι' αυτό είναι εύκολο για τα παιδιά να μάθουν τους πίνακες πολλαπλασιασμού για πέντε και δέκα. Και είναι επίσης τόσο εύκολο να μάθετε πώς να μετράτε τα τραπεζογραμμάτια, τα οποία είναι συνήθως πολλαπλάσια (δηλαδή διαιρούνται χωρίς υπόλοιπο) με το πέντε και το δέκα.
Άλλα συστήματα αριθμών θέσης
Προς έκπληξη πολλών, πρέπει να πούμε ότι όχι μόνο στο σύστημα δεκαδικών μετρήσεων, ο εγκέφαλός μας έχει συνηθίσει να κάνει κάποιους υπολογισμούς. Μέχρι τώρα, η ανθρωπότητα χρησιμοποιούσε έξι και δωδεκαδικά συστήματα αριθμών. Δηλαδή, σε ένα τέτοιο σύστημα υπάρχουν μόνο έξι χαρακτήρες (σε δεκαεξαδικό): 0, 1, 2, 3, 4, 5. Στο δωδεκαδικό υπάρχουν δώδεκα από αυτούς: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, όπου A - δηλώνει τον αριθμό 10, B - τον αριθμό 11 (καθώς το πρόσημο πρέπει να είναι ένα).
Κρίνε μόνος σου. Μετράμε τον χρόνο σε έξι, έτσι δεν είναι; Μια ώρα είναι εξήντα λεπτά (έξι δεκάδες), μια μέρα είναι είκοσι τέσσερις ώρες (δύο επί δώδεκα), ένας χρόνος είναι δώδεκα μήνες, και ούτω καθεξής… Όλα τα χρονικά διαστήματα χωρούν εύκολα σε έξι και δωδεκαδικές σειρές. Αλλά είμαστε τόσο συνηθισμένοι σε αυτό που δεν το σκεφτόμαστε καν όταν μετράμε τον χρόνο.
Συστήματα αριθμών χωρίς θέση. Unary
Είναι απαραίτητο να ορίσουμε τι είναι - ένα σύστημα αριθμών χωρίς θέση. Αυτό είναι ένα τέτοιο σύστημα σημείων στο οποίο δεν υπάρχουν θέσεις για τα σημάδια ενός αριθμού ή η αρχή της «ανάγνωσης» ενός αριθμού δεν εξαρτάται από τη θέση. Έχει επίσης τους δικούς του κανόνες για τη γραφή ή τον υπολογισμό.
Ας δώσουμε παραδείγματα συστημάτων αριθμών χωρίς θέση. Ας πάμε πίσω στην αρχαιότητα. Οι άνθρωποι χρειάζονταν έναν λογαριασμό και βρήκαν την πιο απλή εφεύρεση - τους κόμπους. Το σύστημα αριθμών χωρίς θέση είναι οζώδες. Ένα είδος (ένα σακουλάκι ρύζι, ένας ταύρος, μια θημωνιά κ.λπ.) μετρούνταν, για παράδειγμα, κατά την αγορά ή την πώληση, και έδεναν έναν κόμπο σε ένα κορδόνι.
Σαν αποτέλεσμα, έγιναν τόσοι κόμποι στο σχοινί, τόσα σακουλάκια με ρύζι αγοράστηκαν (για παράδειγμα). Θα μπορούσαν όμως να είναι και εγκοπές σε ξύλινο ραβδί, σε πέτρινη πλάκα κ.λπ. Ένα τέτοιο σύστημα αριθμών έγινε γνωστό ως οζώδες. Έχει ένα δεύτερο όνομα - unary, ή single ("uno" στα λατινικά σημαίνει "ένα").
Γίνεται προφανές ότι αυτό το σύστημα αριθμών δεν είναι θέσεις. Άλλωστε, για τι είδους θέσεις μπορούμε να μιλήσουμε όταν αυτή (η θέση) είναι μόνο μία! Παραδόξως, σε ορισμένα μέρη της Γης, το μονομερές μη θέσιο σύστημα αριθμών εξακολουθεί να χρησιμοποιείται.
Επίσης, τα συστήματα αριθμών χωρίς θέση περιλαμβάνουν:
- Roman (τα γράμματα χρησιμοποιούνται για την εγγραφή αριθμών - λατινικοί χαρακτήρες);
- αρχαία αιγυπτιακά (παρόμοια με τα ρωμαϊκά, χρησιμοποιήθηκαν επίσης σύμβολα);
- αλφαβητικό (χρησιμοποιήθηκαν γράμματα του αλφαβήτου);
- Βαβυλωνιακή (σφηνοειδής - χρησιμοποιείται απευθείας καιανεστραμμένη "σφήνα");
- Ελληνικά (αναφέρεται και ως αλφαβητική).
Ρωμαϊκό σύστημα αριθμών
Η αρχαία Ρωμαϊκή Αυτοκρατορία, καθώς και η επιστήμη της, ήταν πολύ προοδευτική. Οι Ρωμαίοι έδωσαν στον κόσμο πολλές χρήσιμες εφευρέσεις επιστήμης και τέχνης, συμπεριλαμβανομένου του συστήματος μέτρησής τους. Πριν από διακόσια χρόνια, χρησιμοποιήθηκαν ρωμαϊκοί αριθμοί για να δηλώσουν ποσά σε επαγγελματικά έγγραφα (έτσι αποφεύχθηκε η παραχάραξη).
Η ρωμαϊκή αρίθμηση είναι ένα παράδειγμα ενός συστήματος αριθμών χωρίς θέση, το γνωρίζουμε τώρα. Επίσης, το ρωμαϊκό σύστημα χρησιμοποιείται ενεργά, αλλά όχι για μαθηματικούς υπολογισμούς, αλλά για στενά εστιασμένες ενέργειες. Για παράδειγμα, με τη βοήθεια των ρωμαϊκών αριθμών, συνηθίζεται να ορίζονται ιστορικές ημερομηνίες, αιώνες, αριθμοί τόμων, ενοτήτων και κεφαλαίων σε εκδόσεις βιβλίων. Οι ρωμαϊκές πινακίδες χρησιμοποιούνται συχνά για τη διακόσμηση των καντράν ρολογιών. Και επίσης η ρωμαϊκή αρίθμηση είναι ένα παράδειγμα ενός συστήματος μη θέσεων αριθμών.
Οι Ρωμαίοι υποδείκνυαν τους αριθμούς με λατινικά γράμματα. Επιπλέον, κατέγραψαν τους αριθμούς σύμφωνα με ορισμένους κανόνες. Υπάρχει μια λίστα με βασικά σύμβολα στο ρωμαϊκό αριθμητικό σύστημα, με τη βοήθεια του οποίου γράφτηκαν όλοι οι αριθμοί χωρίς εξαίρεση.
| Αριθμός (δεκαδικός) | Ρωμαϊκός αριθμός (γράμμα του λατινικού αλφαβήτου) |
| 1 | I |
| 5 | V |
| 10 | X |
| 50 | L |
| 100 | C |
| 500 | D |
| 1000 | M |
Κανόνες για τη σύνθεση αριθμών
Ο απαιτούμενος αριθμός λήφθηκε προσθέτοντας πρόσημα (λατινικά γράμματα) και υπολογίζοντας το άθροισμά τους. Ας αναλογιστούμε πώς γράφονται συμβολικά τα σημάδια στο ρωμαϊκό σύστημα και πώς πρέπει να «διαβάζονται». Ας απαριθμήσουμε τους κύριους νόμους του σχηματισμού αριθμών στο ρωμαϊκό σύστημα μη θέσεων.
- Ο αριθμός τέσσερα - IV, αποτελείται από δύο χαρακτήρες (I, V - ένα και πέντε). Λαμβάνεται αφαιρώντας το μικρότερο πρόσημο από το μεγαλύτερο αν είναι προς τα αριστερά. Όταν το μικρότερο σημάδι βρίσκεται στα δεξιά, πρέπει να προσθέσετε, τότε παίρνετε τον αριθμό έξι - VI.
- Είναι απαραίτητο να προσθέσετε δύο πανομοιότυπα σημάδια το ένα δίπλα στο άλλο. Για παράδειγμα: SS είναι 200 (C είναι 100) ή XX είναι 20.
- Αν το πρώτο πρόσημο ενός αριθμού είναι μικρότερο από το δεύτερο, τότε ο τρίτος χαρακτήρας σε αυτήν τη σειρά μπορεί να είναι ένας χαρακτήρας του οποίου η τιμή είναι ακόμη μικρότερη από την πρώτη. Για αποφυγή σύγχυσης, εδώ είναι ένα παράδειγμα: CDX - 410 (σε δεκαδικό).
- Μερικοί μεγάλοι αριθμοί μπορούν να αναπαρασταθούν με διαφορετικούς τρόπους, κάτι που είναι ένα από τα μειονεκτήματα του ρωμαϊκού συστήματος μέτρησης. Ακολουθούν μερικά παραδείγματα: MVM (Roman)=1000 + (1000 - 5)=1995 (δεκαδικό) ή MDVD=1000 + 500 + (500 - 5)=1995. Και δεν είναι μόνο αυτό.
Αριθμητικά κόλπα
Το σύστημα αριθμών μη θέσεων είναι μερικές φορές ένα σύνθετο σύνολο κανόνων για το σχηματισμό αριθμών, την επεξεργασία τους (ενέργειες σε αυτούς). Οι αριθμητικές πράξεις σε συστήματα αριθμών χωρίς θέση δεν είναι εύκολεςγια τους σύγχρονους ανθρώπους. Δεν ζηλεύουμε τους αρχαίους Ρωμαίους μαθηματικούς!
Παράδειγμα προσθήκης. Ας προσπαθήσουμε να προσθέσουμε δύο αριθμούς: XIX + XXVI=XXXV, αυτή η εργασία εκτελείται σε δύο βήματα:
- Πρώτα - πάρτε και προσθέστε τα μικρότερα κλάσματα αριθμών: IX + VI=XV (I μετά το V και το I πριν το X «καταστρέφονται» μεταξύ τους).
- Δεύτερο - προσθέστε μεγάλα κλάσματα δύο αριθμών: X + XX=XXX.
Η αφαίρεση είναι κάπως πιο περίπλοκη. Ο αριθμός που πρέπει να μειωθεί πρέπει να διαιρεθεί στα συστατικά στοιχεία του και, στη συνέχεια, οι διπλότυποι χαρακτήρες να μειωθούν στον αριθμό που πρέπει να μειωθεί και να αφαιρεθεί. Αφαίρεση 263 από το 500:
D - CCLXIII=CCCCLXXXXVIIIII - CCLXIII=CCXXXVII.
Πολλαπλασιασμός ρωμαϊκών αριθμών. Παρεμπιπτόντως, είναι απαραίτητο να αναφέρουμε ότι οι Ρωμαίοι δεν είχαν σημάδια αριθμητικών πράξεων, απλώς τις δήλωναν με λέξεις.
Ο πολλαπλάσιος αριθμός έπρεπε να πολλαπλασιαστεί με κάθε μεμονωμένο σύμβολο του πολλαπλασιαστή, με αποτέλεσμα να προστεθούν πολλά γινόμενα. Έτσι πολλαπλασιάζονται τα πολυώνυμα.
Όσον αφορά τη διαίρεση, αυτή η διαδικασία στο ρωμαϊκό αριθμητικό σύστημα ήταν και παραμένει η πιο δύσκολη. Εδώ χρησιμοποιήθηκε ο αρχαίος ρωμαϊκός άβακας. Για να δουλέψουν μαζί του, οι άνθρωποι ήταν ειδικά εκπαιδευμένοι (και δεν κατάφεραν όλοι να κατακτήσουν μια τέτοια επιστήμη).
Σχετικά με τα μειονεκτήματα των συστημάτων μη θέσης
Όπως αναφέρθηκε παραπάνω, τα συστήματα αριθμών χωρίς θέση έχουν τα μειονεκτήματά τους, τις ταλαιπωρίες στη χρήση. Το Unary είναι αρκετά απλό για απλή μέτρηση, αλλά για αριθμητικούς και σύνθετους υπολογισμούς δεν είναιαρκετά καλό.
Στο ρωμαϊκό δεν υπάρχουν ενιαίοι κανόνες για το σχηματισμό μεγάλων αριθμών και δημιουργείται σύγχυση, ενώ είναι επίσης πολύ δύσκολο να γίνουν υπολογισμοί σε αυτό. Επίσης, ο μεγαλύτερος αριθμός που μπορούσαν να καταγράψουν οι αρχαίοι Ρωμαίοι με τη μέθοδό τους ήταν 100.000.
