Όταν μελετούν τη μηχανική κίνηση στη φυσική, αφού εξοικειωθούν με την ομοιόμορφη και ομοιόμορφα επιταχυνόμενη κίνηση των αντικειμένων, προχωρούν στην εξέταση της κίνησης ενός σώματος υπό γωνία ως προς τον ορίζοντα. Σε αυτό το άρθρο, θα μελετήσουμε αυτό το ζήτημα με περισσότερες λεπτομέρειες.
Τι είναι η κίνηση ενός σώματος υπό γωνία ως προς τον ορίζοντα;
Αυτός ο τύπος κίνησης αντικειμένου συμβαίνει όταν ένα άτομο πετάει μια πέτρα στον αέρα, ένα κανόνι εκτοξεύει μια μπάλα κανονιού ή ένας τερματοφύλακας κλωτσάει μια μπάλα ποδοσφαίρου έξω από το τέρμα. Όλες αυτές οι περιπτώσεις εξετάζονται από την επιστήμη της βαλλιστικής.
Ο σημειωμένος τύπος κίνησης των αντικειμένων στον αέρα συμβαίνει κατά μήκος μιας παραβολικής τροχιάς. Σε γενικές γραμμές, η διενέργεια των αντίστοιχων υπολογισμών δεν είναι εύκολη υπόθεση, καθώς είναι απαραίτητο να ληφθεί υπόψη η αντίσταση του αέρα, η περιστροφή του σώματος κατά την πτήση, η περιστροφή της Γης γύρω από τον άξονά της και ορισμένοι άλλοι παράγοντες.
Σε αυτό το άρθρο, δεν θα λάβουμε υπόψη όλους αυτούς τους παράγοντες, αλλά θα εξετάσουμε το ζήτημα από μια καθαρά θεωρητική σκοπιά. Ωστόσο, οι συνθέσεις που προκύπτουν είναι αρκετά καλέςπεριγράψτε τις τροχιές των σωμάτων που κινούνται σε μικρές αποστάσεις.
Λήψη τύπων για τον εξεταζόμενο τύπο κίνησης
Ας εξάγουμε τους τύπους για την κίνηση του σώματος προς τον ορίζοντα υπό γωνία. Σε αυτή την περίπτωση, θα λάβουμε υπόψη μόνο μία μόνο δύναμη που ενεργεί σε ένα ιπτάμενο αντικείμενο - τη βαρύτητα. Εφόσον δρα κατακόρυφα προς τα κάτω (παράλληλα προς τον άξονα y και εναντίον του), τότε, λαμβάνοντας υπόψη τις οριζόντιες και κατακόρυφες συνιστώσες της κίνησης, μπορούμε να πούμε ότι η πρώτη θα έχει τον χαρακτήρα μιας ομοιόμορφης ευθύγραμμης κίνησης. Και η δεύτερη - εξίσου αργή (ομοιόμορφα επιταχυνόμενη) ευθύγραμμη κίνηση με επιτάχυνση g. Δηλαδή, οι συνιστώσες της ταχύτητας μέσω της τιμής v0 (αρχική ταχύτητα) και θ (η γωνία της κατεύθυνσης κίνησης του σώματος) θα γραφτούν ως εξής:
vx=v0cos(θ)
vy=v0sin(θ)-gt
Ο πρώτος τύπος (για vx) είναι πάντα έγκυρος. Όσον αφορά το δεύτερο, εδώ πρέπει να σημειωθεί μια απόχρωση: το σύμβολο μείον πριν από το γινόμενο gt τίθεται μόνο εάν το κατακόρυφο στοιχείο v0sin(θ) κατευθύνεται προς τα πάνω. Στις περισσότερες περιπτώσεις, αυτό συμβαίνει, ωστόσο, εάν πετάξετε ένα σώμα από ύψος, δείχνοντάς το προς τα κάτω, τότε στην έκφραση για vy θα πρέπει να βάλετε ένα σύμβολο "+" πριν από το g t.
Ενσωματώνοντας τους τύπους για τις συνιστώσες της ταχύτητας με την πάροδο του χρόνου και λαμβάνοντας υπόψη το αρχικό ύψος h της πτήσης του σώματος, λαμβάνουμε τις εξισώσεις για τις συντεταγμένες:
x=v0cos(θ)t
y=h+v0sin(θ)t-gt2/2
Υπολογισμός εύρους πτήσης
Όταν εξετάζουμε στη φυσική την κίνηση ενός σώματος προς τον ορίζοντα υπό γωνία χρήσιμη για πρακτική χρήση, αποδεικνύεται ότι υπολογίζεται το εύρος πτήσης. Ας το ορίσουμε.
Δεδομένου ότι αυτή η κίνηση είναι μια ομοιόμορφη κίνηση χωρίς επιτάχυνση, αρκεί να αντικαταστήσετε τον χρόνο πτήσης σε αυτήν και να έχετε το επιθυμητό αποτέλεσμα. Το εύρος πτήσης καθορίζεται αποκλειστικά από την κίνηση κατά μήκος του άξονα x (παράλληλα με τον ορίζοντα).
Ο χρόνος που το σώμα βρίσκεται στον αέρα μπορεί να υπολογιστεί εξισώνοντας τη συντεταγμένη y με μηδέν. Έχουμε:
0=h+v0sin(θ)t-gt2/2
Αυτή η τετραγωνική εξίσωση λύνεται μέσω της διάκρισης, παίρνουμε:
D=b2- 4ac=v02αμαρτία 2(θ) - 4(-g/2)h=v02 sin2(θ) + 2gh, t=(-b±√D)/(2a)=(-v0sin(θ)±√(v0 2sin2(θ) + 2gh))/(-2g/2)=
=(v0sin(θ)+√(v02 sin2(θ) + 2gh))/g.
Στην τελευταία έκφραση, μια ρίζα με το σύμβολο μείον απορρίπτεται, λόγω της ασήμαντης φυσικής αξίας της. Αντικαθιστώντας τον χρόνο πτήσης t στην έκφραση x, παίρνουμε το εύρος πτήσης l:
l=x=v0cos(θ)(v0sin(θ)+√(v 02sin2(θ) + 2gh))/g.
Ο ευκολότερος τρόπος ανάλυσης αυτής της έκφρασης είναι εάν το αρχικό ύψοςισούται με μηδέν (h=0), τότε παίρνουμε έναν απλό τύπο:
l=v 02sin(2θ)/g
Αυτή η έκφραση υποδηλώνει ότι το μέγιστο εύρος πτήσης μπορεί να επιτευχθεί εάν το σώμα εκτινάσσεται σε γωνία 45o(sin(245o )=m1).
Μέγιστο ύψος σώματος
Εκτός από το εύρος πτήσης, είναι επίσης χρήσιμο να βρείτε το ύψος πάνω από το έδαφος στο οποίο μπορεί να ανέλθει το σώμα. Δεδομένου ότι αυτός ο τύπος κίνησης περιγράφεται από μια παραβολή, οι κλάδοι της οποίας κατευθύνονται προς τα κάτω, το μέγιστο ύψος ανύψωσης είναι το άκρο της. Το τελευταίο υπολογίζεται λύνοντας την εξίσωση για την παράγωγο ως προς το t για y:
dy/dt=d(h+v0sin(θ)t-gt2/2)/dt=v0sin(θ)-gt=0=>
=>t=v0sin(θ)/g.
Αντικαταστήστε αυτή τη φορά στην εξίσωση για το y, παίρνουμε:
y=h+v0sin(θ)v0sin(θ)/g-g(v 0sin(θ)/g)2/2=h + v0 2αμαρτία2(θ)/(2g).
Αυτή η έκφραση υποδηλώνει ότι το σώμα θα ανέβει στο μέγιστο ύψος εάν εκτιναχθεί κάθετα προς τα πάνω (sin2(90o)=1).
