Ένα σώμα που ρίχνεται υπό γωνία προς τον ορίζοντα: τύποι τροχιών, τύποι

2024 Συγγραφέας: Angel Austin | [email protected]. Τελευταία τροποποίηση: 2023-12-17 05:22

Ο καθένας μας πέταξε πέτρες στον ουρανό και παρακολουθούσε την τροχιά της πτώσης του. Αυτό είναι το πιο συνηθισμένο παράδειγμα της κίνησης ενός άκαμπτου σώματος στο πεδίο των βαρυτικών δυνάμεων του πλανήτη μας. Σε αυτό το άρθρο, θα εξετάσουμε τύπους που μπορούν να είναι χρήσιμοι για την επίλυση προβλημάτων σχετικά με την ελεύθερη κίνηση ενός σώματος που ρίχνεται στον ορίζοντα υπό γωνία.

Η έννοια της μετακίνησης προς τον ορίζοντα υπό γωνία

Όταν σε κάποιο στερεό αντικείμενο δίνεται μια αρχική ταχύτητα, και αρχίζει να κερδίζει ύψος και μετά, ξανά, να πέφτει στο έδαφος, είναι γενικά αποδεκτό ότι το σώμα κινείται κατά μήκος μιας παραβολικής τροχιάς. Στην πραγματικότητα, η λύση των εξισώσεων για αυτό το είδος κίνησης δείχνει ότι η γραμμή που περιγράφεται από το σώμα στον αέρα είναι μέρος μιας έλλειψης. Ωστόσο, για πρακτική χρήση, η παραβολική προσέγγιση αποδεικνύεται αρκετά βολική και οδηγεί σε ακριβή αποτελέσματα.

Παραδείγματα κίνησης ενός σώματος που ρίχνεται υπό γωνία προς τον ορίζοντα είναι η εκτόξευση ενός βλήματος από ένα ρύγχος κανονιού, η κλωτσιά μιας μπάλας και ακόμη και το άλμα με βότσαλα στην επιφάνεια του νερού («φρύνοι»), τα οποία είναι που πραγματοποιήθηκεδιεθνείς διαγωνισμοί.

Ο τύπος της κίνησης υπό γωνία μελετάται από τη βαλλιστική.

Ιδιότητες του θεωρούμενου τύπου κίνησης

Όταν εξετάζουμε την τροχιά ενός σώματος στο πεδίο των βαρυτικών δυνάμεων της Γης, ισχύουν οι ακόλουθες δηλώσεις:

• η γνώση του αρχικού ύψους, της ταχύτητας και της γωνίας ως προς τον ορίζοντα σάς επιτρέπει να υπολογίσετε ολόκληρη την τροχιά.
• η γωνία αναχώρησης είναι ίση με τη γωνία πρόσπτωσης του σώματος, με την προϋπόθεση ότι το αρχικό ύψος είναι μηδέν·
• η κάθετη κίνηση μπορεί να θεωρηθεί ανεξάρτητα από την οριζόντια κίνηση.

Σημειώστε ότι αυτές οι ιδιότητες ισχύουν εάν η δύναμη τριβής κατά την πτήση του σώματος είναι αμελητέα. Στη βαλλιστική, κατά τη μελέτη της πτήσης των βλημάτων, λαμβάνονται υπόψη πολλοί διαφορετικοί παράγοντες, συμπεριλαμβανομένης της τριβής.

Τύποι παραβολικής κίνησης

Ανάλογα με το ύψος από το οποίο ξεκινά η κίνηση, σε ποιο ύψος τελειώνει και πώς κατευθύνεται η αρχική ταχύτητα, διακρίνονται οι ακόλουθοι τύποι παραβολικής κίνησης:

• Πλήρης παραβολή. Σε αυτή την περίπτωση, το σώμα εκτοξεύεται από την επιφάνεια της γης και πέφτει σε αυτήν την επιφάνεια, περιγράφοντας μια πλήρη παραβολή.
• Μισή παραβολή. Μια τέτοια γραφική παράσταση της κίνησης του σώματος παρατηρείται αν εκτοξευθεί από ορισμένο ύψος h, κατευθύνοντας την ταχύτητα v παράλληλα προς τον ορίζοντα, δηλαδή υπό γωνία θ=0^o.
• Μέρος μιας παραβολής. Τέτοιες τροχιές προκύπτουν όταν ένα σώμα εκτινάσσεται σε κάποια γωνία θ≠0^o, και η διαφοράτα ύψη έναρξης και τέλους είναι επίσης μη μηδενικά (h-h₀≠0). Οι περισσότερες τροχιές κίνησης αντικειμένων είναι αυτού του τύπου. Για παράδειγμα, μια βολή από ένα κανόνι που στέκεται σε ένα λόφο ή ένας μπασκετμπολίστας που ρίχνει μια μπάλα σε ένα καλάθι.

Η γραφική παράσταση της κίνησης του σώματος που αντιστοιχεί σε μια πλήρη παραβολή φαίνεται παραπάνω.

Απαιτούμενοι τύποι για υπολογισμό

Ας δώσουμε τύπους για την περιγραφή της κίνησης ενός σώματος που εκτοξεύεται υπό γωνία ως προς τον ορίζοντα. Παραβλέποντας τη δύναμη της τριβής και λαμβάνοντας υπόψη μόνο τη δύναμη της βαρύτητας, μπορούμε να γράψουμε δύο εξισώσεις για την ταχύτητα ενός αντικειμένου:

v_x=v₀cos(θ)

v_y=v₀sin(θ) - gt

Δεδομένου ότι η βαρύτητα κατευθύνεται κατακόρυφα προς τα κάτω, δεν αλλάζει την οριζόντια συνιστώσα της ταχύτητας v_x, επομένως δεν υπάρχει χρονική εξάρτηση στην πρώτη ισότητα. Η συνιστώσα v_y, με τη σειρά της, επηρεάζεται από τη βαρύτητα, η οποία δίνει g μια επιτάχυνση στο σώμα που κατευθύνεται προς το έδαφος (εξ ου και το σύμβολο μείον στον τύπο).

Τώρα ας γράψουμε τύπους για την αλλαγή των συντεταγμένων ενός σώματος που ρίχνεται υπό γωνία ως προς τον ορίζοντα:

x=x₀+v₀cos(θ)t

y=y₀+ v₀sin(θ)t - gt² /2

Συντεταγμένη έναρξης x₀συχνά υποτίθεται ότι είναι μηδέν. Η συντεταγμένη y₀ δεν είναι παρά το ύψος h από το οποίο εκτινάσσεται το σώμα (y₀=h).

Τώρα ας εκφράσουμε το χρόνο t από την πρώτη παράσταση και ας τον αντικαταστήσουμε με τη δεύτερη, παίρνουμε:

y=h + tg(θ)x - g /(2v₀²cos ²(θ))x²

Αυτή η έκφραση στη γεωμετρία αντιστοιχεί σε μια παραβολή της οποίας οι κλάδοι είναι στραμμένοι προς τα κάτω.

Οι παραπάνω εξισώσεις επαρκούν για τον προσδιορισμό τυχόν χαρακτηριστικών αυτού του τύπου κίνησης. Άρα, η επίλυσή τους οδηγεί στο γεγονός ότι το μέγιστο εύρος πτήσης επιτυγχάνεται εάν θ=45^o, ενώ το μέγιστο ύψος στο οποίο ανεβαίνει το εκτοξευόμενο σώμα επιτυγχάνεται όταν θ=90o.