Τα μαθηματικά είναι ουσιαστικά μια αφηρημένη επιστήμη, αν απομακρυνθούμε από τις στοιχειώδεις έννοιες. Έτσι, σε μερικά μήλα, μπορείτε να απεικονίσετε οπτικά τις βασικές πράξεις που αποτελούν τη βάση των μαθηματικών, αλλά μόλις επεκταθεί το επίπεδο δραστηριότητας, αυτά τα αντικείμενα γίνονται ανεπαρκή. Έχει προσπαθήσει κανείς να απεικονίσει πράξεις σε άπειρα σύνολα σε μήλα; Αυτό είναι το θέμα, όχι. Όσο πιο περίπλοκες γίνονταν οι έννοιες με τις οποίες λειτουργούν τα μαθηματικά στις κρίσεις τους, τόσο πιο προβληματική φαινόταν η οπτική τους έκφραση, η οποία θα ήταν σχεδιασμένη για να διευκολύνει την κατανόηση. Ωστόσο, για την ευτυχία τόσο των σύγχρονων μαθητών όσο και της επιστήμης γενικότερα, προέκυψαν κύκλοι Euler, παραδείγματα και δυνατότητες των οποίων θα εξετάσουμε παρακάτω.
Λίγη ιστορία
Στις 17 Απριλίου 1707, ο κόσμος έδωσε την επιστήμη Leonhard Euler, έναν αξιόλογο επιστήμονα του οποίου η συμβολή στα μαθηματικά, τη φυσική, τη ναυπηγική και ακόμη και τη θεωρία της μουσικής δεν μπορεί να υπερεκτιμηθεί.
Τα έργα του αναγνωρίζονται και έχουν ζήτηση σε όλο τον κόσμο μέχρι σήμερα, παρά το γεγονός ότι η επιστήμη δεν στέκεται ακίνητη. Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζει το γεγονός ότι ο κ. Euler συμμετείχε άμεσα στη συγκρότηση της ρωσικής σχολής ανώτερων μαθηματικών, ειδικά αφού, με τη θέληση της μοίρας, επέστρεψε δύο φορές στο κράτος μας. Ο επιστήμονας είχε μια μοναδική ικανότητα να κατασκευάζει αλγόριθμους που ήταν διάφανοι στη λογική τους, κόβοντας οτιδήποτε περιττό και περνώντας από το γενικό στο συγκεκριμένο στο συντομότερο δυνατό χρόνο. Δεν θα απαριθμήσουμε όλα τα πλεονεκτήματά του, καθώς θα χρειαστεί πολύς χρόνος και θα στραφούμε απευθείας στο θέμα του άρθρου. Ήταν αυτός που πρότεινε τη χρήση μιας γραφικής αναπαράστασης πράξεων σε σύνολα. Οι κύκλοι του Euler είναι σε θέση να οπτικοποιήσουν τη λύση οποιουδήποτε, ακόμη και του πιο περίπλοκου προβλήματος.
Ποιο είναι το νόημα;
Στην πράξη, οι κύκλοι Euler, το σχήμα των οποίων φαίνεται παρακάτω, μπορούν να χρησιμοποιηθούν όχι μόνο στα μαθηματικά, καθώς η έννοια του "συνόλου" είναι εγγενής όχι μόνο σε αυτόν τον κλάδο. Έτσι, εφαρμόζονται με επιτυχία στη διαχείριση.
Το παραπάνω διάγραμμα δείχνει τις σχέσεις των συνόλων A (παράλογοι αριθμοί), B (ρητικοί αριθμοί) και C (φυσικοί αριθμοί). Οι κύκλοι δείχνουν ότι το σύνολο Γ περιλαμβάνεται στο σύνολο Β, ενώ το σύνολο Α δεν τέμνεται με αυτούς με κανέναν τρόπο. Το παράδειγμα είναι το απλούστερο, αλλά εξηγεί ξεκάθαρα τις ιδιαιτερότητες των "σχέσεων συνόλων", οι οποίες είναι πολύ αφηρημένες για πραγματική σύγκριση, έστω και μόνο λόγω του άπειρου χαρακτήρα τους.
Άλγεβρα της λογικής
Αυτή η περιοχήΗ μαθηματική λογική λειτουργεί με προτάσεις που μπορεί να είναι και αληθείς και ψευδείς. Για παράδειγμα, από το δημοτικό: ο αριθμός 625 διαιρείται με το 25, ο αριθμός 625 διαιρείται με το 5, ο αριθμός 625 είναι πρώτος. Η πρώτη και η δεύτερη πρόταση είναι αληθείς, ενώ η τελευταία είναι ψευδής. Φυσικά, στην πράξη όλα είναι πιο περίπλοκα, αλλά η ουσία φαίνεται ξεκάθαρα. Και, φυσικά, οι κύκλοι του Euler εμπλέκονται και πάλι στη λύση, τα παραδείγματα με τη χρήση τους είναι πολύ βολικά και οπτικά για να αγνοηθούν.
Λίγη θεωρία:
- Έστω τα σύνολα A και B και δεν είναι κενά, τότε ορίζονται οι ακόλουθες πράξεις τομής, ένωσης και άρνησης.
- Η τομή των συνόλων Α και Β αποτελείται από στοιχεία που ανήκουν ταυτόχρονα και στο σύνολο Α και στο σύνολο Β.
- Η ένωση των συνόλων Α και Β αποτελείται από στοιχεία που ανήκουν στο σύνολο Α ή στο σύνολο Β.
- Η άρνηση του συνόλου Α είναι ένα σύνολο που αποτελείται από στοιχεία που δεν ανήκουν στο σύνολο Α.
Όλα αυτά απεικονίζονται ξανά από κύκλους του Euler στη λογική, αφού με τη βοήθειά τους κάθε εργασία, ανεξάρτητα από το βαθμό πολυπλοκότητας, γίνεται εμφανής και οπτική.
Αξιώματα της άλγεβρας της λογικής
Υποθέστε ότι το 1 και το 0 υπάρχουν και ορίζονται στο σύνολο A, τότε:
- άρνηση της άρνησης του συνόλου Α ορίζεται Α;
- η ένωση του συνόλου A με το not_A είναι 1;
- η ένωση του συνόλου Α με 1 είναι 1;
- η ένωση του συνόλου Α με τον εαυτό του ορίζεται Α;
- ένωση του συνόλου Αμε 0 υπάρχει ένα σύνολο A;
- τομή του συνόλου A με το not_A είναι 0;
- η τομή του συνόλου Α με τον εαυτό του ορίζεται Α;
- τομή του συνόλου Α με 0 είναι 0;
- η τομή του συνόλου Α με 1 ορίζεται Α.
Βασικές ιδιότητες της άλγεβρας της λογικής
Ας υπάρχουν τα σύνολα Α και Β και δεν είναι κενά, τότε:
- για την τομή και την ένωση των συνόλων Α και Β, ισχύει ο νόμος μετατροπής·
- ο νόμος του συνδυασμού ισχύει για την τομή και την ένωση των συνόλων A και B;
- εφαρμόζεται ο κατανεμητικός νόμος για την τομή και την ένωση των συνόλων Α και Β;
- η άρνηση της τομής των συνόλων Α και Β είναι η τομή των άρνησης των συνόλων Α και Β;
- η άρνηση της ένωσης των συνόλων Α και Β είναι η ένωση των αρνήσεων των συνόλων Α και Β.
Το παρακάτω δείχνει κύκλους Euler, παραδείγματα τομής και ένωσης συνόλων A, B και C.
Προοπτικές
Τα έργα του Leonhard Euler θεωρούνται δικαιολογημένα η βάση των σύγχρονων μαθηματικών, αλλά τώρα χρησιμοποιούνται με επιτυχία σε τομείς της ανθρώπινης δραστηριότητας που εμφανίστηκαν σχετικά πρόσφατα, πάρτε για παράδειγμα την εταιρική διακυβέρνηση: οι κύκλοι, τα παραδείγματα και τα γραφήματα του Euler περιγράφουν τους μηχανισμούς μοντέλα ανάπτυξης, είτε πρόκειται για ρωσική είτε αγγλοαμερικανική έκδοση.
