Τι είναι οι μεταβλητές; Μεταβλητή στα μαθηματικά

2024 Συγγραφέας: Angel Austin | [email protected]. Τελευταία τροποποίηση: 2024-01-02 17:44

Η σημασία των μεταβλητών στα μαθηματικά είναι μεγάλη, γιατί κατά τη διάρκεια της ύπαρξής τους, οι επιστήμονες κατάφεραν να κάνουν πολλές ανακαλύψεις σε αυτόν τον τομέα και για να εκφράσουμε συνοπτικά και ξεκάθαρα αυτό ή εκείνο το θεώρημα, χρησιμοποιούμε μεταβλητές για να γράψουμε τους αντίστοιχους τύπους. Για παράδειγμα, το Πυθαγόρειο θεώρημα σε ορθογώνιο τρίγωνο: a² =b² + c^{2. Πώς να γράφετε κάθε φορά όταν λύνετε ένα πρόβλημα: σύμφωνα με το Πυθαγόρειο θεώρημα, το τετράγωνο της υποτείνουσας είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των ποδιών - το γράφουμε με έναν τύπο και όλα γίνονται αμέσως ξεκάθαρα.}

Έτσι, αυτό το άρθρο θα συζητήσει τι είναι οι μεταβλητές, τους τύπους και τις ιδιότητές τους. Θα ληφθούν επίσης υπόψη διάφορες μαθηματικές εκφράσεις: ανισότητες, τύποι, συστήματα και αλγόριθμοι για την επίλυσή τους.

Έννοια μεταβλητής

Καταρχάς, τι είναι μια μεταβλητή; Αυτή είναι μια αριθμητική τιμή που μπορεί να λάβει πολλές τιμές. Δεν μπορεί να είναι σταθερό, αφού σε διαφορετικά προβλήματα και εξισώσεις, για ευκολία, παίρνουμε λύσεις ωςμεταβλητή διαφορετικοί αριθμοί, δηλαδή, για παράδειγμα, το z είναι ένας γενικός προσδιορισμός για καθεμία από τις ποσότητες για τις οποίες λαμβάνεται. Συνήθως συμβολίζονται με γράμματα του λατινικού ή ελληνικού αλφαβήτου (x, y, a, b, και ούτω καθεξής).

Υπάρχουν διάφορα είδη μεταβλητών. Ορίζουν και ορισμένα φυσικά μεγέθη - διαδρομή (S), χρόνο (t) και απλώς άγνωστες τιμές σε εξισώσεις, συναρτήσεις και άλλες εκφράσεις.

Για παράδειγμα, υπάρχει ένας τύπος: S=Vt. Εδώ, οι μεταβλητές δηλώνουν ορισμένες ποσότητες που σχετίζονται με τον πραγματικό κόσμο - τη διαδρομή, την ταχύτητα και τον χρόνο.

Και υπάρχει μια εξίσωση της μορφής: 3x - 16=12x. Εδώ, το x λαμβάνεται ήδη ως ένας αφηρημένος αριθμός που έχει νόημα σε αυτόν τον συμβολισμό.

Τύποι ποσοτήτων

Ποσό σημαίνει κάτι που εκφράζει τις ιδιότητες ενός συγκεκριμένου αντικειμένου, ουσίας ή φαινομένου. Για παράδειγμα, η θερμοκρασία του αέρα, το βάρος ενός ζώου, το ποσοστό των βιταμινών σε ένα δισκίο - όλα αυτά είναι ποσότητες των οποίων οι αριθμητικές τιμές μπορούν να υπολογιστούν.

Κάθε ποσότητα έχει τις δικές της μονάδες μέτρησης, οι οποίες μαζί σχηματίζουν ένα σύστημα. Ονομάζεται αριθμητικό σύστημα (SI).

Τι είναι οι μεταβλητές και οι σταθερές; Εξετάστε τα με συγκεκριμένα παραδείγματα.

Ας πάρουμε ευθύγραμμη ομοιόμορφη κίνηση. Ένα σημείο στο διάστημα κινείται με την ίδια ταχύτητα κάθε φορά. Δηλαδή, ο χρόνος και η απόσταση αλλάζουν, αλλά η ταχύτητα παραμένει ίδια. Σε αυτό το παράδειγμα, ο χρόνος και η απόσταση είναι μεταβλητές και η ταχύτητα είναι σταθερή.

Ή, για παράδειγμα, "pi". Αυτός είναι ένας παράλογος αριθμός που συνεχίζεται χωρίς να επαναλαμβάνεταιμια ακολουθία ψηφίων και δεν μπορεί να γραφτεί πλήρως, επομένως στα μαθηματικά εκφράζεται με ένα γενικά αποδεκτό σύμβολο που παίρνει μόνο την τιμή ενός δεδομένου άπειρου κλάσματος. Δηλαδή, το "pi" είναι μια σταθερή τιμή.

Ιστορία

Η ιστορία της σημειογραφίας των μεταβλητών ξεκινά τον δέκατο έβδομο αιώνα με τον επιστήμονα René Descartes.

Όρισε τις γνωστές τιμές με τα πρώτα γράμματα του αλφαβήτου: a, b και ούτω καθεξής, και για το άγνωστο πρότεινε τη χρήση των τελευταίων γραμμάτων: x, y, z. Είναι αξιοσημείωτο ότι ο Καρτέσιος θεωρούσε τέτοιες μεταβλητές ως μη αρνητικούς αριθμούς και όταν αντιμετώπιζε αρνητικές παραμέτρους, έβαζε πρόσημο μείον μπροστά από τη μεταβλητή ή, αν δεν ήταν γνωστό ποιο πρόσημο ήταν ο αριθμός, έλλειψη. Αλλά με την πάροδο του χρόνου, τα ονόματα των μεταβλητών άρχισαν να υποδηλώνουν αριθμούς οποιουδήποτε σημείου, και αυτό ξεκίνησε με τον μαθηματικό Johann Hudde.

Με μεταβλητές, οι υπολογισμοί στα μαθηματικά είναι πιο εύκολο να λυθούν, γιατί, για παράδειγμα, πώς λύνουμε τώρα διτετραγωνικές εξισώσεις; Εισάγουμε μια μεταβλητή. Για παράδειγμα:

x⁴ + 15x^{2 + 7=0}

Για x2 παίρνουμε λίγο k και η εξίσωση γίνεται σαφής:

x2=k, για k ≧ 0

k2 + 15k + 7=0

Αυτό φέρνει η εισαγωγή των μεταβλητών στα μαθηματικά.

Ανισότητες, παραδείγματα λύσεων

Μια ανισότητα είναι μια εγγραφή στην οποία δύο μαθηματικές παραστάσεις ή δύο αριθμοί συνδέονται με πρόσημα σύγκρισης:, ≦, ≧. Είναι αυστηρά και υποδεικνύονται με πινακίδες ή μη αυστηρά με σημάδια ≦, ≧.

Για πρώτη φορά εισήχθησαν αυτά τα σημάδιαΤόμας Χάριοτ. Μετά τον θάνατο του Τόμας, εκδόθηκε το βιβλίο του με αυτές τις σημειώσεις, άρεσαν στους μαθηματικούς και με τον καιρό άρχισαν να χρησιμοποιούνται ευρέως στους μαθηματικούς υπολογισμούς.

Υπάρχουν αρκετοί κανόνες που πρέπει να ακολουθήσετε κατά την επίλυση ανισώσεων μεμονωμένων μεταβλητών:

Όταν μεταφέρετε έναν αριθμό από ένα μέρος της ανίσωσης σε άλλο, αλλάξτε το πρόσημο του στο αντίθετο.
Όταν πολλαπλασιάζουμε ή διαιρούμε μέρη μιας ανίσωσης με έναν αρνητικό αριθμό, τα πρόσημά τους αντιστρέφονται.
Αν πολλαπλασιάσετε ή διαιρέσετε και τις δύο πλευρές της ανίσωσης με έναν θετικό αριθμό, θα λάβετε μια ανίσωση ίση με την αρχική.

Η επίλυση μιας ανισότητας σημαίνει την εύρεση όλων των έγκυρων τιμών για μια μεταβλητή.

Παράδειγμα μεμονωμένης μεταβλητής:

10x - 50 > 150

Το λύνουμε σαν μια κανονική γραμμική εξίσωση - μετακινούμε τους όρους με μια μεταβλητή προς τα αριστερά, χωρίς μεταβλητή - προς τα δεξιά και δίνουμε παρόμοιους όρους:

10x > 200

Διαιρούμε και τις δύο πλευρές της ανισότητας με το 10 και παίρνουμε:

x > 20

Για λόγους σαφήνειας, στο παράδειγμα επίλυσης μιας ανίσωσης με μία μεταβλητή, σχεδιάστε μια αριθμητική γραμμή, σημειώστε το διάτρητο σημείο 20 πάνω της, καθώς η ανισότητα είναι αυστηρή και αυτός ο αριθμός δεν περιλαμβάνεται στο σύνολο των λύσεών της.

Η λύση σε αυτήν την ανισότητα είναι το διάστημα (20; +∞).

Η επίλυση μιας μη αυστηρής ανισότητας πραγματοποιείται με τον ίδιο τρόπο όπως μια αυστηρή:

6x - 12 ≧ 18

6x ≧ 30

x ≧ 5

Αλλά υπάρχει μία εξαίρεση. Μια εγγραφή της μορφής x ≧ 5 πρέπει να γίνει κατανοητή ως εξής: το x είναι μεγαλύτερο ή ίσο με πέντε, που σημαίνειο αριθμός πέντε περιλαμβάνεται στο σύνολο όλων των λύσεων της ανισότητας, δηλαδή όταν γράφουμε την απάντηση, βάζουμε αγκύλη μπροστά από τον αριθμό πέντε.

x ∈ [5; +∞)

Τετράγωνες ανισώσεις

Αν πάρουμε μια τετραγωνική εξίσωση της μορφής ax2 + bx +c=0 και αλλάξουμε το πρόσημο ίσου στο πρόσημο της ανισότητας σε αυτήν, τότε θα λάβουμε αναλόγως ένα τετραγωνική ανισότητα.

Για να λύσετε μια τετραγωνική ανισότητα, πρέπει να είστε σε θέση να λύσετε τετραγωνικές εξισώσεις.

y=ax2 + bx + c είναι μια τετραγωνική συνάρτηση. Μπορούμε να το λύσουμε χρησιμοποιώντας τη διάκριση ή χρησιμοποιώντας το θεώρημα Vieta. Θυμηθείτε πώς λύνονται αυτές οι εξισώσεις:

1) y=x2 + 12x + 11 - η συνάρτηση είναι παραβολή. Οι κλάδοι του κατευθύνονται προς τα πάνω, αφού το πρόσημο του συντελεστή «α» είναι θετικό.

2) x2 + 12x + 11=0 - ισοδυναμεί με μηδέν και λύνεται χρησιμοποιώντας το διαχωριστικό.

a=1, b=12, c=11

D=b2 - 4ac=144 - 44=100 > 0, 2 ρίζες

Σύμφωνα με τον τύπο των ριζών της τετραγωνικής εξίσωσης, παίρνουμε:

x₁ =-1, x_2=-11

Ή θα μπορούσατε να λύσετε αυτήν την εξίσωση χρησιμοποιώντας το θεώρημα Vieta:

x₁ + x₂ =-β/α, x₁ + x _2=-12

x₁x₂ =c/a, x₁x₂₌₁₁

Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο επιλογής, λαμβάνουμε τις ίδιες ρίζες της εξίσωσης.

Parabola

Λοιπόν, ο πρώτος τρόπος για να λύσετε μια τετραγωνική ανισότητα είναι μια παραβολή. Ο αλγόριθμος για την επίλυσή του είναι ο εξής:

1. Προσδιορίστε πού κατευθύνονται οι κλάδοι της παραβολής.

2. Εξισώστε τη συνάρτηση με μηδέν και βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης.

3. Χτίζουμε μια αριθμητική γραμμή, σημειώνουμε τις ρίζες πάνω της, σχεδιάζουμε μια παραβολή και βρίσκουμε το κενό που χρειαζόμαστε, ανάλογα με το πρόσημο της ανισότητας.

Λύστε την ανισότητα x2 + x - 12 > 0

Εγγραφή ως συνάρτηση:

1) y=x2 + x - 12 - παραβολή, διακλαδώνεται.

Ορισμός στο μηδέν.

2) x2 + x -12=0

Στη συνέχεια, λύνουμε ως τετραγωνική εξίσωση και βρίσκουμε τα μηδενικά της συνάρτησης:

x₁ =3, x_2=-4

3) Σχεδιάστε μια αριθμητική ευθεία με τα σημεία 3 και -4 πάνω της. Η παραβολή θα περάσει μέσα από αυτά, θα διακλαδωθεί και η απάντηση στην ανισότητα θα είναι ένα σύνολο θετικών τιμών, δηλαδή, (-∞; -4), (3; +∞).

Μέθοδος διαστήματος

Ο δεύτερος τρόπος είναι η μέθοδος διαστήματος. Αλγόριθμος για την επίλυσή του:

1. Βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης για την οποία η ανίσωση είναι ίση με μηδέν.

2. Τα σημειώνουμε στην αριθμητική γραμμή. Έτσι, χωρίζεται σε πολλά διαστήματα.

3. Προσδιορίστε το πρόσημο οποιουδήποτε διαστήματος.

4. Τοποθετούμε πινακίδες στα υπόλοιπα διαστήματα, αλλάζοντας τις μετά από μία.

Λύστε την ανισότητα (x - 4)(x - 5)(x + 7) ≦ 0

1) Μηδενικά ανισότητας: 4, 5 και -7.

2) Σχεδιάστε τα στην αριθμητική γραμμή.

3) Προσδιορίστε τα σημάδια των διαστημάτων.

Απάντηση: (-∞; -7]; [4; 5].

Λύστε μία ακόμη ανισότητα: x2(3x - 6)(x + 2)(x - 1) > 0

1. Μηδενικά ανισότητας: 0, 2, -2 και 1.

2. Σημειώστε τα στην αριθμητική γραμμή.

3. Προσδιορίστε τα σημάδια διαστήματος.

Η γραμμή χωρίζεται σε διαστήματα - από -2 έως 0, από 0 έως 1, από 1 έως 2.

Λάβετε την τιμή στο πρώτο διάστημα - (-1). Υποκατάστατο στην ανισότητα. Με αυτήν την τιμή, η ανισότητα γίνεται θετική, πράγμα που σημαίνει ότι το πρόσημο σε αυτό το διάστημα θα είναι +.

Περαιτέρω, ξεκινώντας από το πρώτο κενό, τακτοποιούμε τα σημάδια, αλλάζοντας τα μετά από ένα.

Η ανισότητα είναι μεγαλύτερη από το μηδέν, δηλαδή, πρέπει να βρείτε ένα σύνολο θετικών τιμών στη γραμμή.

Απάντηση: (-2; 0), (1; 2).

Συστήματα εξισώσεων

Ένα σύστημα εξισώσεων με δύο μεταβλητές είναι δύο εξισώσεις που ενώνονται με ένα σγουρό στήριγμα για το οποίο είναι απαραίτητο να βρεθεί μια κοινή λύση.

Τα συστήματα μπορεί να είναι ισοδύναμα εάν η γενική λύση του ενός από αυτά είναι η λύση του άλλου ή και τα δύο δεν έχουν λύσεις.

Θα μελετήσουμε τη λύση συστημάτων εξισώσεων με δύο μεταβλητές. Υπάρχουν δύο τρόποι επίλυσής τους - η μέθοδος αντικατάστασης ή η αλγεβρική μέθοδος.

Αλγεβρική μέθοδος

Για να λύσετε το σύστημα που φαίνεται στην εικόνα χρησιμοποιώντας αυτήν τη μέθοδο, πρέπει πρώτα να πολλαπλασιάσετε ένα από τα μέρη του με έναν τέτοιο αριθμό, έτσι ώστε αργότερα να μπορείτε να ακυρώσετε αμοιβαία μία μεταβλητή και από τα δύο μέρη της εξίσωσης. Εδώ πολλαπλασιάζουμε επί τρία, τραβάμε μια γραμμή κάτω από το σύστημα και προσθέτουμε τα μέρη του. Ως αποτέλεσμα, τα x γίνονται ίδια σε συντελεστή, αλλά αντίθετα σε πρόσημο, και τα μειώνουμε. Στη συνέχεια, παίρνουμε μια γραμμική εξίσωση με μία μεταβλητή και τη λύνουμε.

Βρήκαμε το Y, αλλά δεν μπορούμε να σταματήσουμε εκεί, γιατί δεν έχουμε βρει ακόμα το X. ΥποκατάστατοY στο τμήμα από το οποίο θα είναι βολικό να αφαιρέσετε το X, για παράδειγμα:

-x + 5y=8, με y=1

-x + 5=8

Λύστε την εξίσωση που προκύπτει και βρείτε το x.

-x=-5 + 8

-x=3

x=-3

Το κύριο πράγμα στη λύση του συστήματος είναι να γράψετε σωστά την απάντηση. Πολλοί μαθητές κάνουν το λάθος γράφοντας:

Απάντηση: -3, 1.

Αλλά αυτό είναι λάθος καταχώριση. Άλλωστε, όπως ήδη αναφέρθηκε παραπάνω, όταν λύνουμε ένα σύστημα εξισώσεων, αναζητούμε μια γενική λύση για τα μέρη του. Η σωστή απάντηση θα ήταν:

(-3; 1)