Σε μια έκδοση κλίμακας, ένα μοντέλο είναι ένα είδος εικόνας, διαγράμματος, χάρτη, περιγραφής, εικόνας ενός συγκεκριμένου φαινομένου ή διαδικασίας. Το ίδιο το φαινόμενο ονομάζεται το πρωτότυπο ενός μαθηματικού ή οικονομικού μοντέλου.
Τι είναι το μόντελινγκ;
Μοντελοποίηση είναι η μελέτη κάποιου αντικειμένου, συστήματος. Για την εφαρμογή του, δημιουργείται και αναλύεται ένα μοντέλο.
Όλα τα στάδια της μοντελοποίησης περιλαμβάνουν ένα επιστημονικό πείραμα, το αντικείμενο του οποίου είναι ένα αφηρημένο ή υποκειμενικό μοντέλο. Κατά τη διεξαγωγή ενός πειράματος, ένα συγκεκριμένο φαινόμενο αντικαθίσταται από ένα σχήμα ή ένα απλοποιημένο μοντέλο (αντίγραφο). Σε ορισμένες περιπτώσεις, ένα μοντέλο εργασίας συναρμολογείται για να κατανοήσει τον μηχανισμό εργασίας χρησιμοποιώντας το παράδειγμά του, να αναλύσει την οικονομική σκοπιμότητα εισαγωγής των αποτελεσμάτων της εμπειρίας σε μια οικονομία της αγοράς. Το ίδιο φαινόμενο μπορεί να εξεταστεί από διαφορετικά μοντέλα.
Ο ερευνητής πρέπει να επιλέξει τα απαραίτητα στάδια μοντελοποίησης, να τα χρησιμοποιήσει βέλτιστα. Η χρήση μοντέλων είναι σχετική σε περιπτώσεις όπου ένα πραγματικό αντικείμενο δεν είναι διαθέσιμο ή τα πειράματα με αυτό συνδέονται με σοβαρά περιβαλλοντικά προβλήματα. Το τρέχον μοντέλο εφαρμόζεται επίσης σε καταστάσεις όπου ένα πραγματικό πείραμασυνεπάγεται σημαντικό κόστος υλικού.
Χαρακτηριστικά της μαθηματικής μοντελοποίησης
Τα μαθηματικά μοντέλα είναι απαραίτητα στην επιστήμη, καθώς και εργαλεία για αυτά - μαθηματικές έννοιες. Κατά τη διάρκεια αρκετών χιλιετιών, συσσωρεύτηκαν και εκσυγχρονίστηκαν. Στα σύγχρονα μαθηματικά, υπάρχουν καθολικοί και ισχυροί τρόποι έρευνας. Οποιαδήποτε αντικείμενα θεωρούνται από τη «βασίλισσα των επιστημών» είναι ένα μαθηματικό μοντέλο. Για λεπτομερή ανάλυση του επιλεγμένου αντικειμένου επιλέγονται τα στάδια της μαθηματικής μοντελοποίησης. Με τη βοήθειά τους διακρίνονται λεπτομέρειες, χαρακτηριστικά, χαρακτηριστικά γνωρίσματα, συστηματοποιούνται οι πληροφορίες που λαμβάνονται και γίνεται πλήρης περιγραφή του αντικειμένου.
Η μαθηματική τυποποίηση περιλαμβάνει τη λειτουργία κατά τη διάρκεια της έρευνας με ειδικές έννοιες: μήτρα, συνάρτηση, παράγωγος, αντιπαράγωγος, αριθμοί. Οι σχέσεις και οι συνδέσεις που μπορούν να βρεθούν στο υπό μελέτη αντικείμενο μεταξύ των συστατικών στοιχείων και των λεπτομερειών καταγράφονται με μαθηματικές σχέσεις: εξισώσεις, ανισότητες, ισότητες. Ως αποτέλεσμα, λαμβάνεται μια μαθηματική περιγραφή ενός φαινομένου ή μιας διαδικασίας και, κατά συνέπεια, το μαθηματικό μοντέλο του.
Κανόνες για τη μελέτη ενός μαθηματικού μοντέλου
Υπάρχει μια ορισμένη σειρά βημάτων μοντελοποίησης που σας επιτρέπει να δημιουργήσετε δεσμούς μεταξύ αποτελεσμάτων και αιτιών. Το κεντρικό στάδιο στο σχεδιασμό ή τη μελέτη του συστήματος είναι η κατασκευή ενός πλήρους μαθηματικού μοντέλου. Η περαιτέρω ανάλυση αυτού του αντικειμένου εξαρτάται άμεσα από την ποιότητα των ενεργειών που εκτελούνται. Κτίριοτο μαθηματικό ή οικονομικό μοντέλο δεν είναι επίσημη διαδικασία. Θα πρέπει να είναι εύκολο στη χρήση, ακριβές, ώστε να μην υπάρχουν στρεβλώσεις στα αποτελέσματα της ανάλυσης.
Σχετικά με την ταξινόμηση των μαθηματικών μοντέλων
Υπάρχουν δύο ποικιλίες: ντετερμινιστικά και στοχαστικά μοντέλα. Τα ντετερμινιστικά μοντέλα περιλαμβάνουν την καθιέρωση μιας αντιστοιχίας ένα προς ένα μεταξύ των μεταβλητών που χρησιμοποιούνται για την περιγραφή ενός φαινομένου ή ενός αντικειμένου.
Αυτή η προσέγγιση βασίζεται σε πληροφορίες σχετικά με την αρχή της λειτουργίας του αντικειμένου. Σε πολλές περιπτώσεις, το φαινόμενο που μοντελοποιείται έχει μια πολύπλοκη δομή και χρειάζεται πολύς χρόνος και γνώση για την αποκρυπτογράφηση του. Σε τέτοιες περιπτώσεις, επιλέγονται τέτοια στάδια μοντελοποίησης που θα επιτρέψουν τη διεξαγωγή πειραμάτων στο πρωτότυπο, την επεξεργασία των αποτελεσμάτων που προέκυψαν, χωρίς να εισέλθουν στα θεωρητικά χαρακτηριστικά του αντικειμένου. Τις περισσότερες φορές χρησιμοποιείται στατιστική και θεωρία πιθανοτήτων. Το αποτέλεσμα είναι ένα στοχαστικό μοντέλο. Υπάρχει μια τυχαία σχέση μεταξύ των μεταβλητών. Ένας τεράστιος αριθμός διαφορετικών παραγόντων προκαλεί ένα τυχαίο σύνολο μεταβλητών που χαρακτηρίζουν ένα φαινόμενο ή ένα αντικείμενο.
Τα σύγχρονα βήματα μοντελοποίησης ισχύουν για στατικά και δυναμικά μοντέλα. Σε στατικές όψεις, η περιγραφή των σχέσεων μεταξύ των μεταβλητών του δημιουργούμενου φαινομένου δεν συνεπάγεται ότι λαμβάνεται υπόψη η χρονική αλλαγή των κύριων παραμέτρων. Για δυναμικά μοντέλα, η περιγραφή των σχέσεων μεταξύ των μεταβλητών πραγματοποιείται λαμβάνοντας υπόψη τις προσωρινές αλλαγές.
Ποικιλίες μοντέλων:
- continuous;
- discrete;
- μικτή
Διαφορετικά στάδια της μαθηματικής μοντελοποίησης καθιστούν δυνατή την περιγραφή σχέσεων και συναρτήσεων σε γραμμικά μοντέλα χρησιμοποιώντας μια άμεση σύνδεση μεταβλητών.
Ποιες είναι οι απαιτήσεις για τα μοντέλα;
- Πολυχρηστικότητα. Το μοντέλο πρέπει να είναι μια πλήρης αναπαράσταση όλων των ιδιοτήτων που είναι εγγενείς στο πραγματικό αντικείμενο.
- Επάρκεια. Τα σημαντικά χαρακτηριστικά του αντικειμένου δεν πρέπει να υπερβαίνουν το καθορισμένο σφάλμα.
- Ακρίβεια. Χαρακτηρίζει τον βαθμό σύμπτωσης των χαρακτηριστικών ενός αντικειμένου που υπάρχει στην πραγματικότητα με παρόμοιες παραμέτρους που λαμβάνονται κατά τη μελέτη του μοντέλου.
- Οικονομία. Το μοντέλο θα πρέπει να είναι ελάχιστο όσον αφορά το κόστος υλικών.
Βήματα μοντελοποίησης
Ας εξετάσουμε τα κύρια στάδια της μαθηματικής μοντελοποίησης.
Επιλογή εργασίας. Επιλέγεται ο σκοπός της μελέτης, επιλέγονται μέθοδοι για την υλοποίησή της και αναπτύσσεται μια στρατηγική πειράματος. Αυτό το στάδιο περιλαμβάνει σοβαρή δουλειά. Το τελικό αποτέλεσμα της προσομοίωσης εξαρτάται από την ορθότητα της εργασίας
- Ανάλυση των θεωρητικών θεμελίων, συνοψίζοντας τις πληροφορίες που ελήφθησαν για το αντικείμενο. Αυτό το στάδιο περιλαμβάνει την επιλογή ή τη δημιουργία μιας θεωρίας. Ελλείψει θεωρητικής γνώσης για το αντικείμενο, δημιουργούνται αιτιακές σχέσεις μεταξύ όλων των μεταβλητών που επιλέγονται για να περιγράψουν το φαινόμενο ή το αντικείμενο. Σε αυτό το στάδιο, προσδιορίζονται τα αρχικά και τελικά δεδομένα και διατυπώνεται μια υπόθεση.
- Επισημοποίηση. Εφαρμόστηκετην επιλογή ενός συστήματος ειδικής σημειογραφίας που θα βοηθήσει να γραφεί με τη μορφή μαθηματικών παραστάσεων η σχέση μεταξύ των συστατικών του εν λόγω αντικειμένου.
Προσθήκες στον αλγόριθμο
Μετά τη ρύθμιση των παραμέτρων του μοντέλου, επιλέγεται μια συγκεκριμένη μέθοδος ή μέθοδος λύσης.
- Εφαρμογή του δημιουργημένου μοντέλου. Αφού επιλεγούν τα στάδια της μοντελοποίησης του συστήματος, δημιουργείται ένα πρόγραμμα που δοκιμάζεται και εφαρμόζεται για την επίλυση του προβλήματος.
- Ανάλυση συλλεγόμενων πληροφοριών. Σχεδιάζεται μια αναλογία μεταξύ της εργασίας και της λύσης που προκύπτει και προσδιορίζεται το σφάλμα μοντελοποίησης.
- Έλεγχος εάν το μοντέλο ταιριάζει με το πραγματικό αντικείμενο. Εάν υπάρχει σημαντική διαφορά μεταξύ τους, αναπτύσσεται ένα νέο μοντέλο. Μέχρι να επιτευχθεί η ιδανική αντιστοιχία του μοντέλου με το πραγματικό του αντίστοιχο, πραγματοποιείται βελτίωση και αλλαγή των λεπτομερειών.
χαρακτηριστικό προσομοίωσης
Στα μέσα του περασμένου αιώνα, η τεχνολογία των υπολογιστών εμφανίστηκε στη ζωή ενός σύγχρονου ατόμου, η συνάφεια των μαθηματικών μεθόδων για τη μελέτη αντικειμένων και φαινομένων αυξήθηκε. Εμφανίστηκαν τμήματα όπως "μαθηματική χημεία", "μαθηματική γλωσσολογία", "μαθηματικά οικονομικά", που ασχολούνται με τη μελέτη φαινομένων και αντικειμένων, δημιουργήθηκαν τα κύρια στάδια μοντελοποίησης.
Ο κύριος στόχος τους ήταν η πρόβλεψη προγραμματισμένων παρατηρήσεων, η μελέτη ορισμένων αντικειμένων. Επιπλέον, με τη βοήθεια του μόντελινγκ, μπορείτε να μάθετε για τον κόσμο γύρω σας, να αναζητήσετε τρόπους να τον ελέγξετε. Ένα πείραμα υπολογιστή υποτίθεται ότι διεξάγεται σε εκείνες τις περιπτώσεις πουτο αληθινό δεν λειτουργεί. Μετά την κατασκευή ενός μαθηματικού μοντέλου του υπό μελέτη φαινομένου, χρησιμοποιώντας γραφικά υπολογιστή, μπορεί κανείς να μελετήσει πυρηνικές εκρήξεις, επιδημίες πανώλης κ.λπ.
Οι ειδικοί διακρίνουν τρία στάδια της μαθηματικής μοντελοποίησης και το καθένα έχει τα δικά του χαρακτηριστικά:
- Χτίζοντας ένα μοντέλο. Αυτό το στάδιο περιλαμβάνει τον καθορισμό οικονομικού σχεδίου, φυσικά φαινόμενα, κατασκευή, παραγωγική διαδικασία. Είναι δύσκολο να περιγράψουμε με σαφήνεια την κατάσταση σε αυτή την περίπτωση. Πρώτα πρέπει να προσδιορίσετε τις ιδιαιτερότητες του φαινομένου, να προσδιορίσετε τη σχέση μεταξύ αυτού και άλλων αντικειμένων. Στη συνέχεια όλα τα ποιοτικά χαρακτηριστικά μεταφράζονται σε μαθηματική γλώσσα και δημιουργείται ένα μαθηματικό μοντέλο. Αυτό το στάδιο είναι το πιο δύσκολο σε όλη τη διαδικασία μοντελοποίησης.
- Το στάδιο επίλυσης ενός μαθηματικού προβλήματος που σχετίζεται με την ανάπτυξη αλγορίθμων, μεθόδους επίλυσης προβλήματος στην τεχνολογία υπολογιστών, εντοπισμός σφαλμάτων μέτρησης.
- Μετάφραση πληροφοριών που ελήφθησαν κατά τη διάρκεια της έρευνας στη γλώσσα της περιοχής για την οποία διεξήχθη το πείραμα.
Αυτά τα τρία στάδια της μαθηματικής μοντελοποίησης συμπληρώνονται με τον έλεγχο της επάρκειας του προκύπτοντος μοντέλου. Γίνεται έλεγχος της αντιστοιχίας μεταξύ των αποτελεσμάτων που προέκυψαν στο πείραμα με τις θεωρητικές γνώσεις. Εάν είναι απαραίτητο, τροποποιήστε το μοντέλο που δημιουργήθηκε. Είναι πολύπλοκο ή απλοποιημένο, ανάλογα με τα αποτελέσματα που λαμβάνονται.
Χαρακτηριστικά οικονομικής μοντελοποίησης
3 στάδια της μαθηματικής μοντελοποίησης περιλαμβάνουν τη χρήση αλγεβρικών, διαφορικών συστημάτωνεξισώσεις. Τα σύνθετα αντικείμενα κατασκευάζονται χρησιμοποιώντας τη θεωρία γραφημάτων. Περιλαμβάνει ένα σύνολο σημείων στο χώρο ή σε ένα επίπεδο, εν μέρει συνδεδεμένα με άκρες. Τα κύρια στάδια της οικονομικής μοντελοποίησης περιλαμβάνουν την επιλογή των πόρων, τη διανομή τους, τη λογιστική για τη μεταφορά, το σχεδιασμό του δικτύου. Ποια ενέργεια δεν είναι βήμα μοντελοποίησης; Είναι δύσκολο να απαντηθεί αυτό το ερώτημα ξεκάθαρα, όλα εξαρτώνται από τη συγκεκριμένη κατάσταση. Τα κύρια στάδια της διαδικασίας μοντελοποίησης περιλαμβάνουν τη διατύπωση του στόχου και του αντικειμένου της έρευνας, τον προσδιορισμό των κύριων χαρακτηριστικών για την επίτευξη του στόχου και την περιγραφή της σχέσης μεταξύ των τμημάτων του μοντέλου. Στη συνέχεια, εκτελέστε υπολογισμούς χρησιμοποιώντας μαθηματικούς τύπους.
Για παράδειγμα, η θεωρία υπηρεσιών είναι το πρόβλημα της ουράς. Είναι σημαντικό να βρείτε μια ισορροπία μεταξύ του κόστους συντήρησης των συσκευών και του κόστους της παραμονής στην ουρά. Μετά την κατασκευή μιας επίσημης περιγραφής του μοντέλου, οι υπολογισμοί πραγματοποιούνται με χρήση υπολογιστικών και αναλυτικών τεχνολογιών. Με μια ποιοτική συλλογή του μοντέλου, μπορείτε να βρείτε απαντήσεις σε όλες τις ερωτήσεις. Εάν το μοντέλο είναι κακό, είναι αδύνατο να καταλάβουμε ποια ενέργεια δεν αποτελεί βήμα μοντελοποίησης.
Η πρακτικότητα είναι ένα αληθινό κριτήριο για την αξιολόγηση της επάρκειας ενός φαινομένου ή ενός μοντέλου. Τα πολυκριτήρια μοντέλα, συμπεριλαμβανομένων των επιλογών βελτιστοποίησης, περιλαμβάνουν τον καθορισμό στόχων. Αλλά ο τρόπος για να επιτευχθεί αυτός ο στόχος είναι διαφορετικός. Μεταξύ των δυσκολιών που είναι πιθανές στη διαδικασία, θα πρέπει να επισημάνουμε:
- σε ένα σύνθετο σύστημα, υπάρχουν πολλάισοπαλίες;
- είναι δύσκολο να ληφθούν υπόψη όλοι οι τυχαίοι παράγοντες κατά την ανάλυση ενός πραγματικού συστήματος;
- είναι προβληματικό να συγκρίνετε τη μαθηματική συσκευή με τα αποτελέσματα που θέλετε να λάβετε
Λόγω των πολλών πολυπλοκοτήτων που προκύπτουν στη διαδικασία μελέτης πολύπλευρων συστημάτων, έχει αναπτυχθεί μοντελοποίηση προσομοίωσης. Εννοείται ως ένα σύνολο ειδικών προγραμμάτων για την τεχνολογία υπολογιστών, το οποίο περιγράφει τη λειτουργία μεμονωμένων στοιχείων του συστήματος και τη μεταξύ τους σχέση. Η χρήση τυχαίων μεταβλητών περιλαμβάνει επαναλαμβανόμενες επαναλήψεις πειραμάτων, στατιστική επεξεργασία των αποτελεσμάτων. Η εργασία με ένα σύστημα προσομοίωσης είναι ένα πείραμα που πραγματοποιείται με τη βοήθεια τεχνολογίας υπολογιστών. Ποια είναι τα πλεονεκτήματα αυτού του συστήματος; Με αυτόν τον τρόπο, είναι δυνατό να επιτευχθεί μεγαλύτερη εγγύτητα με το αρχικό σύστημα, κάτι που είναι αδύνατο στην περίπτωση ενός μαθηματικού μοντέλου. Χρησιμοποιώντας την αρχή του μπλοκ, μπορείτε να αναλύσετε μεμονωμένα μπλοκ προτού συμπεριληφθούν σε ένα ενιαίο σύστημα. Αυτή η επιλογή σάς επιτρέπει να χρησιμοποιείτε σύνθετες σχέσεις που δεν μπορούν να περιγραφούν χρησιμοποιώντας συνηθισμένες μαθηματικές σχέσεις.
Μεταξύ των μειονεκτημάτων της κατασκευής ενός συστήματος προσομοίωσης, επισημαίνουμε το κόστος χρόνου και πόρων, καθώς και την ανάγκη χρήσης σύγχρονης τεχνολογίας υπολογιστών.
Τα στάδια ανάπτυξης του μοντελισμού είναι συγκρίσιμα με τις αλλαγές που συμβαίνουν στην κοινωνία. Ανάλογα με την περιοχή χρήσης, όλα τα μοντέλα χωρίζονται σε εκπαιδευτικά προγράμματα, προσομοιωτές, διδακτικά και οπτικά βοηθήματα. Τα πειραματικά μοντέλα μπορούν να είναι μειωμένα αντίγραφα πραγματικών αντικειμένων (αυτοκίνητα). Επιστημονικές και τεχνικές επιλογέςείναι βάσεις που δημιουργήθηκαν για την ανάλυση ηλεκτρονικού εξοπλισμού. Τα μοντέλα προσομοίωσης όχι μόνο αντικατοπτρίζουν την πραγματική πραγματικότητα, αλλά περιλαμβάνουν δοκιμές σε εργαστηριακά ποντίκια, πειράματα στο εκπαιδευτικό σύστημα. Η μίμηση θεωρείται ως μέθοδος δοκιμής και λάθους.
Υπάρχει μια διαίρεση όλων των μοντέλων σύμφωνα με την παραλλαγή παρουσίασης. Τα μοντέλα υλικών ονομάζονται θέμα. Τέτοιες επιλογές είναι προικισμένες με τα γεωμετρικά και φυσικά χαρακτηριστικά του ίδιου του πρωτοτύπου, μπορούν να μεταφραστούν στην πραγματικότητα. Τα μοντέλα πληροφοριών δεν αγγίζονται με τα χέρια. Χαρακτηρίζουν την κατάσταση και τις ιδιότητες του υπό μελέτη αντικειμένου, φαινομένου, διαδικασίας και τη σύνδεσή τους με τον πραγματικό κόσμο. Οι λεκτικές επιλογές περιλαμβάνουν μοντέλα πληροφοριών που υλοποιούνται σε καθομιλουμένη ή νοητική μορφή. Οι προσημασμένοι τύποι εκφράζονται με την εφαρμογή ορισμένων σημείων μιας πολυεδρικής μαθηματικής γλώσσας.
Συμπέρασμα
Η μαθηματική μοντελοποίηση ως μέθοδος επιστημονικής γνώσης εμφανίστηκε ταυτόχρονα με τα θεμέλια των ανώτερων μαθηματικών. Σημαντικό ρόλο σε αυτή τη διαδικασία έπαιξαν οι I. Newton, R. Descartes, G. Leibniz. Τα μαθηματικά μοντέλα κατασκευάστηκαν για πρώτη φορά από τους P. Fermat, B. Pascal. Οι V. V. Leontiev, V. V. Novozhilov, A. L. Lurie έδωσαν προσοχή στη μαθηματική μοντελοποίηση στην παραγωγή και την οικονομία. Σήμερα, μια παρόμοια επιλογή για τη μελέτη ενός αντικειμένου ή φαινομένου χρησιμοποιείται σε διάφορους τομείς δραστηριότητας. Με τη βοήθεια σχεδιασμένων συστημάτων, οι μηχανικοί εξερευνούν τέτοια φαινόμενα και διαδικασίες που δεν μπορούν να αναλυθούν σε πραγματικές συνθήκες.
Επιστημονική έρευναμε μοντελοποίηση, χρησιμοποιήθηκαν στην αρχαιότητα, αποτυπώνοντας με την πάροδο του χρόνου διάφορα είδη επιστημονικής γνώσης: αρχιτεκτονική, σχέδιο, χημεία, κατασκευές, φυσική, βιολογία, οικολογία, γεωγραφία, καθώς και κοινωνικές επιστήμες. Σε οποιαδήποτε διαδικασία μοντελοποίησης, χρησιμοποιούνται τρία στοιχεία: υποκείμενο, αντικείμενο, μοντέλο. Φυσικά, η μελέτη ενός αντικειμένου ή φαινομένου δεν περιορίζεται στη μοντελοποίηση, υπάρχουν και άλλοι τρόποι για να αποκτήσετε τις απαραίτητες πληροφορίες.
