Ο κύλινδρος είναι ένα από τα απλά τρισδιάστατα σχήματα που μελετάται στο μάθημα της σχολικής γεωμετρίας (τμήμα στερεά γεωμετρία). Σε αυτή την περίπτωση, συχνά προκύπτουν προβλήματα στον υπολογισμό του όγκου και της μάζας ενός κυλίνδρου, καθώς και στον προσδιορισμό της επιφάνειας του. Απαντήσεις στις επισημασμένες ερωτήσεις δίνονται σε αυτό το άρθρο.
Τι είναι ένας κύλινδρος;
Πριν προχωρήσουμε στην απάντηση στην ερώτηση, ποια είναι η μάζα του κυλίνδρου και ο όγκος του, αξίζει να εξετάσουμε ποιο είναι αυτό το χωρικό σχήμα. Θα πρέπει να σημειωθεί αμέσως ότι ένας κύλινδρος είναι ένα τρισδιάστατο αντικείμενο. Δηλαδή, στο διάστημα, μπορείτε να μετρήσετε τρεις από τις παραμέτρους του κατά μήκος καθενός από τους άξονες σε ένα καρτεσιανό ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων. Στην πραγματικότητα, για να προσδιορίσουμε με σαφήνεια τις διαστάσεις ενός κυλίνδρου, αρκεί να γνωρίζουμε μόνο δύο από τις παραμέτρους του.
Ο
Κύλινδρος είναι μια τρισδιάστατη φιγούρα που σχηματίζεται από δύο κύκλους και μια κυλινδρική επιφάνεια. Για να αναπαραστήσετε πιο καθαρά αυτό το αντικείμενο, αρκεί να πάρετε ένα ορθογώνιο και να αρχίσετε να το περιστρέφετε γύρω από οποιαδήποτε πλευρά του, που θα είναι ο άξονας περιστροφής. Σε αυτή την περίπτωση, το περιστρεφόμενο ορθογώνιο θα περιγράφει το σχήμαπεριστροφή - κύλινδρος.
Δύο στρογγυλές επιφάνειες ονομάζονται βάσεις του κυλίνδρου, χαρακτηρίζονται από μια ορισμένη ακτίνα. Η απόσταση μεταξύ των βάσεων ονομάζεται ύψος. Οι δύο βάσεις συνδέονται μεταξύ τους με μια κυλινδρική επιφάνεια. Η γραμμή που διέρχεται από τα κέντρα και των δύο κύκλων ονομάζεται άξονας του κυλίνδρου.
Όγκος και επιφάνεια
Όπως μπορείτε να δείτε από τα παραπάνω, ο κύλινδρος ορίζεται από δύο παραμέτρους: το ύψος h και την ακτίνα της βάσης του r. Γνωρίζοντας αυτές τις παραμέτρους, είναι δυνατό να υπολογιστούν όλα τα άλλα χαρακτηριστικά του εξεταζόμενου σώματος. Παρακάτω είναι τα κύρια:
- Το εμβαδόν των βάσεων. Αυτή η τιμή υπολογίζεται από τον τύπο: S1=2pir2, όπου το pi είναι pi ίσο με 3, 14. Ψηφίο 2 στον τύπο εμφανίζεται επειδή ο κύλινδρος έχει δύο ίδιες βάσεις.
- Κυλινδρική επιφάνεια. Μπορεί να υπολογιστεί ως εξής: S2=2pirh. Είναι εύκολο να κατανοήσουμε αυτόν τον τύπο: εάν μια κυλινδρική επιφάνεια κοπεί κατακόρυφα από τη μια βάση στην άλλη και επεκταθεί, τότε θα ληφθεί ένα ορθογώνιο, το ύψος του οποίου θα είναι ίσο με το ύψος του κυλίνδρου και το πλάτος θα αντιστοιχεί σε η περιφέρεια της βάσης του τρισδιάστατου σχήματος. Δεδομένου ότι το εμβαδόν του παραλληλογράμμου που προκύπτει είναι το γινόμενο των πλευρών του, οι οποίες είναι ίσες με h και 2pir, προκύπτει ο παραπάνω τύπος.
- Εμβαδόν επιφάνειας κυλίνδρου. Είναι ίσο με το άθροισμα των εμβαδών των S1 και S2, παίρνουμε: S3=S 1 + S2=2pir2 + 2pir h=2pi r(r+h).
- Τόμος. Αυτή η τιμή είναι εύκολο να βρεθεί, απλά πρέπει να πολλαπλασιάσετε την περιοχή μιας βάσης με το ύψος του σχήματος: V=(S1/2)h=pir 2 η.
Προσδιορισμός της μάζας ενός κυλίνδρου
Τέλος, αξίζει να πάτε απευθείας στο θέμα του άρθρου. Πώς να προσδιορίσετε τη μάζα ενός κυλίνδρου; Για να γίνει αυτό, πρέπει να γνωρίζετε τον όγκο του, τον τύπο υπολογισμού που παρουσιάστηκε παραπάνω. Και η πυκνότητα της ουσίας από την οποία αποτελείται. Η μάζα καθορίζεται από έναν απλό τύπο: m=ρV, όπου ρ είναι η πυκνότητα του υλικού που σχηματίζει το εν λόγω αντικείμενο.
Η έννοια της πυκνότητας χαρακτηρίζει τη μάζα μιας ουσίας που βρίσκεται σε μονάδα όγκου χώρου. Για παράδειγμα. Είναι γνωστό ότι ο σίδηρος έχει μεγαλύτερη πυκνότητα από το ξύλο. Αυτό σημαίνει ότι στην περίπτωση ίσων όγκων ύλης σιδήρου και ξύλου, η πρώτη θα έχει πολύ μεγαλύτερη μάζα από τη δεύτερη (περίπου 16 φορές).
Υπολογισμός της μάζας ενός χάλκινου κυλίνδρου
Σκεφτείτε ένα απλό πρόβλημα. Είναι απαραίτητο να βρεθεί η μάζα ενός κυλίνδρου από χαλκό. Για βεβαιότητα, αφήστε τον κύλινδρο να έχει διάμετρο 20 cm και ύψος 10 cm.
Πριν ξεκινήσετε την επίλυση του προβλήματος, θα πρέπει να ασχοληθείτε με τα δεδομένα προέλευσης. Η ακτίνα του κυλίνδρου είναι ίση με το ήμισυ της διαμέτρου του, που σημαίνει r=20/2=10 cm, ενώ το ύψος είναι h=10 cm. Εφόσον ο κύλινδρος που εξετάζεται στο πρόβλημα είναι κατασκευασμένος από χαλκό, τότε αναφερόμενοι στο δεδομένα αναφοράς, γράφουμε την τιμή πυκνότητας αυτού του υλικού: ρ=8, 96 g/cm3 (για θερμοκρασία 20 °C).
Τώρα μπορείτε να αρχίσετε να λύνετε το πρόβλημα. Αρχικά, ας υπολογίσουμε τον όγκο: V=pir2h=3, 14(10)210=3140 cm3. Τότε η μάζα του κυλίνδρου θα είναι: m=ρV=8,963140=28134 γραμμάρια ή περίπου 28 κιλά.
Πρέπει να προσέχετε τη διάσταση των μονάδων κατά τη χρήση τους στους αντίστοιχους τύπους. Έτσι, στο πρόβλημα, όλες οι παράμετροι παρουσιάστηκαν σε εκατοστά και γραμμάρια.
Ομοιογενείς και κοίλοι κύλινδροι
Από το αποτέλεσμα που λήφθηκε παραπάνω, μπορεί να φανεί ότι ένας χάλκινος κύλινδρος με σχετικά μικρές διαστάσεις (10 cm) έχει μεγάλη μάζα (28 kg). Αυτό οφείλεται όχι μόνο στο γεγονός ότι είναι κατασκευασμένο από βαρύ υλικό, αλλά και στο ότι είναι ομοιογενές. Αυτό το γεγονός είναι σημαντικό να γίνει κατανοητό, καθώς ο παραπάνω τύπος για τον υπολογισμό της μάζας μπορεί να χρησιμοποιηθεί μόνο εάν ο κύλινδρος είναι εντελώς (εξωτερικά και μέσα) κατασκευασμένος από το ίδιο υλικό, δηλαδή είναι ομοιογενής.
Στην πράξη, χρησιμοποιούνται συχνά κοίλοι κύλινδροι (για παράδειγμα, κυλινδρικά βαρέλια για νερό). Δηλαδή είναι φτιαγμένα από λεπτά φύλλα κάποιου υλικού, αλλά μέσα είναι άδεια. Για έναν κοίλο κύλινδρο, δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί ο υποδεικνυόμενος τύπος για τον υπολογισμό της μάζας.
Υπολογισμός της μάζας ενός κοίλου κυλίνδρου
Είναι ενδιαφέρον να υπολογίσουμε τι μάζα θα έχει ένας χάλκινος κύλινδρος αν είναι άδειος μέσα. Για παράδειγμα, αφήστε το να είναι κατασκευασμένο από λεπτό φύλλο χαλκού με πάχος μόνο d=2 mm.
Για να λύσετε αυτό το πρόβλημα, πρέπει να βρείτε τον όγκο του ίδιου του χαλκού, από τον οποίο είναι κατασκευασμένο το αντικείμενο. Όχι ο όγκος του κυλίνδρου. Επειδή το πάχοςτο φύλλο είναι μικρό σε σύγκριση με τις διαστάσεις του κυλίνδρου (d=2 mm και r=10 cm), τότε ο όγκος του χαλκού από τον οποίο είναι κατασκευασμένο το αντικείμενο μπορεί να βρεθεί πολλαπλασιάζοντας ολόκληρη την επιφάνεια του κυλίνδρου με το πάχος του φύλλου χαλκού, παίρνουμε: V=dS 3=d2pir(r+h). Αντικαθιστώντας τα δεδομένα από το προηγούμενο πρόβλημα, παίρνουμε: V=0,223, 1410(10+10)=251,2 cm3. Η μάζα ενός κοίλου κυλίνδρου μπορεί να ληφθεί πολλαπλασιάζοντας τον λαμβανόμενο όγκο χαλκού, ο οποίος απαιτήθηκε για την κατασκευή του, με την πυκνότητα του χαλκού: m \u003d 251,28,96 \u003d 2251 g ή 2,3 kg. Δηλαδή, ο θεωρούμενος κοίλος κύλινδρος ζυγίζει 12 (28, 1/2, 3) φορές λιγότερο από έναν ομοιογενή.
