Μία από τις χαρακτηριστικές ιδιότητες κάθε κύματος είναι η ικανότητά του να περιθλά σε εμπόδια, το μέγεθος των οποίων είναι συγκρίσιμο με το μήκος κύματος αυτού του κύματος. Αυτή η ιδιότητα χρησιμοποιείται στα λεγόμενα πλέγματα περίθλασης. Τι είναι και πώς μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την ανάλυση των φασμάτων εκπομπής και απορρόφησης διαφορετικών υλικών, συζητείται στο άρθρο.
Φαινόμενο περίθλασης
Αυτό το φαινόμενο συνίσταται στην αλλαγή της τροχιάς της ευθύγραμμης διάδοσης ενός κύματος όταν εμφανίζεται ένα εμπόδιο στην πορεία του. Σε αντίθεση με τη διάθλαση και την ανάκλαση, η περίθλαση είναι αισθητή μόνο σε πολύ μικρά εμπόδια, των οποίων οι γεωμετρικές διαστάσεις είναι της τάξης ενός μήκους κύματος. Υπάρχουν δύο τύποι περίθλασης:
- κύμα που κάμπτεται γύρω από ένα αντικείμενο όταν το μήκος κύματος είναι πολύ μεγαλύτερο από το μέγεθος αυτού του αντικειμένου;
- σκέδαση κύματος όταν διέρχεται από τρύπες διαφορετικών γεωμετρικών σχημάτων, όταν οι διαστάσεις των οπών είναι μικρότερες από το μήκος κύματος.
Το φαινόμενο της περίθλασης είναι χαρακτηριστικό του ήχου, της θάλασσας και των ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων. Περαιτέρω στο άρθρο, θα εξετάσουμε ένα πλέγμα περίθλασης μόνο για φως.
φαινόμενο παρεμβολών
Τα μοτίβα περίθλασης που εμφανίζονται σε διάφορα εμπόδια (στρογγυλές οπές, σχισμές και σχάρες) είναι αποτέλεσμα όχι μόνο περίθλασης, αλλά και παρεμβολής. Η ουσία του τελευταίου είναι η υπέρθεση κυμάτων το ένα πάνω στο άλλο, τα οποία εκπέμπονται από διαφορετικές πηγές. Εάν αυτές οι πηγές ακτινοβολούν κύματα ενώ διατηρούν μια διαφορά φάσης μεταξύ τους (την ιδιότητα της συνοχής), τότε μπορεί να παρατηρηθεί ένα σταθερό μοτίβο παρεμβολής στο χρόνο.
Η θέση των μεγίστων (φωτεινές περιοχές) και των ελάχιστων (σκοτεινών ζωνών) εξηγείται ως εξής: εάν δύο κύματα φτάσουν σε ένα δεδομένο σημείο στην αντιφάση (ένα με μέγιστο και το άλλο με ελάχιστο απόλυτο πλάτος), τότε «καταστρέφονται» ο ένας τον άλλον και παρατηρείται ένα ελάχιστο στο σημείο. Αντίθετα, αν δύο κύματα έρθουν στην ίδια φάση σε ένα σημείο, τότε θα ενισχύσουν το ένα το άλλο (μέγιστο).
Και τα δύο φαινόμενα περιγράφηκαν για πρώτη φορά από τον Άγγλο Thomas Young το 1801, όταν μελέτησε την περίθλαση με δύο σχισμές. Ωστόσο, ο Ιταλός Γκριμάλντι παρατήρησε για πρώτη φορά αυτό το φαινόμενο το 1648, όταν μελέτησε το μοτίβο περίθλασης που δίνεται από το ηλιακό φως που διέρχεται από μια μικρή τρύπα. Ο Γκριμάλντι δεν μπόρεσε να εξηγήσει τα αποτελέσματα των πειραμάτων του.
Μαθηματική μέθοδος που χρησιμοποιείται για τη μελέτη της περίθλασης
Αυτή η μέθοδος ονομάζεται αρχή Huygens-Fresnel. Συνίσταται στον ισχυρισμό ότι στη διαδικασίαδιάδοση του μετώπου κύματος, κάθε σημείο του είναι μια πηγή δευτερευόντων κυμάτων, η παρεμβολή των οποίων καθορίζει την προκύπτουσα ταλάντωση σε ένα αυθαίρετο σημείο που εξετάζουμε.
Η περιγραφόμενη αρχή αναπτύχθηκε από τον Augustin Fresnel στο πρώτο μισό του 19ου αιώνα. Ταυτόχρονα, ο Fresnel προχώρησε στις ιδέες της κυματικής θεωρίας του Christian Huygens.
Αν και η αρχή Huygens-Fresnel δεν είναι θεωρητικά αυστηρή, έχει χρησιμοποιηθεί με επιτυχία για να περιγράψει μαθηματικά πειράματα με περίθλαση και παρεμβολή.
Περίθλαση στα κοντινά και μακρινά πεδία
Η περίθλαση είναι ένα αρκετά περίπλοκο φαινόμενο, η ακριβής μαθηματική λύση του οποίου απαιτεί την εξέταση της θεωρίας του ηλεκτρομαγνητισμού του Maxwell. Επομένως, στην πράξη, εξετάζονται μόνο ειδικές περιπτώσεις αυτού του φαινομένου, χρησιμοποιώντας διάφορες προσεγγίσεις. Εάν το μέτωπο κύματος που προσπίπτει στο εμπόδιο είναι επίπεδο, τότε διακρίνονται δύο τύποι περίθλασης:
- στο κοντινό πεδίο, ή περίθλαση Fresnel;
- στο μακρινό πεδίο, ή περίθλαση Fraunhofer.
Οι λέξεις "μακρινό και κοντινό πεδίο" σημαίνουν την απόσταση από την οθόνη στην οποία παρατηρείται το μοτίβο περίθλασης.
Η μετάβαση μεταξύ της περίθλασης Fraunhofer και Fresnel μπορεί να εκτιμηθεί με τον υπολογισμό του αριθμού Fresnel για μια συγκεκριμένη περίπτωση. Αυτός ο αριθμός ορίζεται ως εξής:
F=a2/(Dλ).
Εδώ λ είναι το μήκος κύματος του φωτός, D είναι η απόσταση από την οθόνη, a είναι το μέγεθος του αντικειμένου στο οποίο συμβαίνει η περίθλαση.
Εάν F<1, τότε σκεφτείτεήδη προσεγγίσεις κοντινού πεδίου.
Πολλές πρακτικές περιπτώσεις, συμπεριλαμβανομένης της χρήσης πλέγματος περίθλασης, λαμβάνονται υπόψη στην προσέγγιση του μακρινού πεδίου.
Η έννοια ενός πλέγματος πάνω στο οποίο τα κύματα διαθλούν
Αυτό το πλέγμα είναι ένα μικρό επίπεδο αντικείμενο, πάνω στο οποίο εφαρμόζεται με κάποιο τρόπο μια περιοδική δομή, όπως λωρίδες ή αυλακώσεις. Μια σημαντική παράμετρος μιας τέτοιας σχάρας είναι ο αριθμός των λωρίδων ανά μονάδα μήκους (συνήθως 1 mm). Αυτή η παράμετρος ονομάζεται σταθερά πλέγματος. Επιπλέον, θα το συμβολίσουμε με το σύμβολο N. Το αντίστροφο του N καθορίζει την απόσταση μεταξύ γειτονικών λωρίδων. Ας το συμβολίσουμε με το γράμμα d, τότε:
d=1/N.
Όταν ένα επίπεδο κύμα πέφτει σε μια τέτοια σχάρα, βιώνει περιοδικές διαταραχές. Οι τελευταίες εμφανίζονται στην οθόνη με τη μορφή μιας συγκεκριμένης εικόνας, η οποία είναι αποτέλεσμα παρεμβολής κυμάτων.
Τύποι σχάρες
Υπάρχουν δύο τύποι σχάρων περίθλασης:
- περαστικό, ή διαφανές;
- reflective.
Τα πρώτα γίνονται εφαρμόζοντας αδιαφανείς πινελιές στο γυαλί. Είναι με τέτοιες πλάκες που λειτουργούν στα εργαστήρια, χρησιμοποιούνται σε φασματοσκόπια.
Ο δεύτερος τύπος, δηλαδή οι ανακλαστικές σχάρες, κατασκευάζονται με την εφαρμογή περιοδικών αυλακώσεων στο γυαλισμένο υλικό. Ένα εντυπωσιακό καθημερινό παράδειγμα τέτοιου πλέγματος είναι ένας πλαστικός δίσκος CD ή DVD.
Εξίσωση πλέγματος
Λαμβάνοντας υπόψη την περίθλαση Fraunhofer σε ένα πλέγμα, η ακόλουθη έκφραση μπορεί να γραφτεί για την ένταση φωτός στο μοτίβο περίθλασης:
I(θ)=I0(sin(β)/β)2[sin(Nα) /sin(α)]2, όπου
α=pid/λ(sin(θ)-sin(θ0));
β=pia/λ(sin(θ)-sin(θ0)).
Η παράμετρος a είναι το πλάτος μιας υποδοχής και η παράμετρος d είναι η απόσταση μεταξύ τους. Ένα σημαντικό χαρακτηριστικό στην έκφραση για το I(θ) είναι η γωνία θ. Αυτή είναι η γωνία μεταξύ της κεντρικής κάθετης στο επίπεδο του πλέγματος και ενός συγκεκριμένου σημείου στο σχέδιο περίθλασης. Σε πειράματα, μετριέται με γωνιόμετρο.
Στον παρουσιαζόμενο τύπο, η έκφραση σε παρένθεση καθορίζει την περίθλαση από μία σχισμή και η έκφραση σε αγκύλες είναι το αποτέλεσμα παρεμβολής κυμάτων. Αναλύοντας το για την συνθήκη των μέγιστων παρεμβολών, μπορούμε να καταλήξουμε στον ακόλουθο τύπο:
sin(θm)-sin(θ0)=mλ/ημ.
Γωνία θ0 χαρακτηρίζει το προσπίπτον κύμα στο πλέγμα. Εάν το μέτωπο κύματος είναι παράλληλο με αυτό, τότε θ0=0, και η τελευταία έκφραση γίνεται:
sin(θm)=mλ/ημ.
Αυτός ο τύπος ονομάζεται εξίσωση πλέγματος περίθλασης. Η τιμή του m παίρνει οποιουσδήποτε ακέραιους αριθμούς, συμπεριλαμβανομένων των αρνητικών και του μηδενός, ονομάζεται τάξη περίθλασης.
Ανάλυση εξίσωσης πλέγματος
Στην προηγούμενη παράγραφο, μάθαμεότι η θέση των κύριων μεγίστων περιγράφεται από την εξίσωση:
sin(θm)=mλ/ημ.
Πώς μπορεί να γίνει πράξη; Χρησιμοποιείται κυρίως όταν το φως που προσπίπτει σε ένα πλέγμα περίθλασης με περίοδο d αποσυντίθεται σε μεμονωμένα χρώματα. Όσο μεγαλύτερο είναι το μήκος κύματος λ, τόσο μεγαλύτερη θα είναι η γωνιακή απόσταση από το μέγιστο που αντιστοιχεί σε αυτό. Η μέτρηση του αντίστοιχου θm για κάθε κύμα σάς επιτρέπει να υπολογίσετε το μήκος του και επομένως να προσδιορίσετε ολόκληρο το φάσμα του αντικειμένου που ακτινοβολεί. Συγκρίνοντας αυτό το φάσμα με τα δεδομένα από μια γνωστή βάση δεδομένων, μπορούμε να πούμε ποια χημικά στοιχεία το εξέπεμψαν.
Η παραπάνω διαδικασία χρησιμοποιείται σε φασματόμετρα.
Ανάλυση πλέγματος
Κάτω από αυτό γίνεται κατανοητή μια τέτοια διαφορά μεταξύ δύο μηκών κύματος που εμφανίζονται στο σχέδιο περίθλασης ως ξεχωριστές γραμμές. Το γεγονός είναι ότι κάθε γραμμή έχει ένα ορισμένο πάχος, όταν δύο κύματα με κοντινές τιμές λ και λ + Δλ περιθλάσσονται, τότε οι γραμμές που αντιστοιχούν σε αυτές στην εικόνα μπορούν να συγχωνευθούν σε μία. Στην τελευταία περίπτωση, η ανάλυση του τριψίματος λέγεται ότι είναι μικρότερη από Δλ.
Παραλείποντας τα επιχειρήματα σχετικά με την παραγωγή του τύπου για την ανάλυση τριψίματος, παρουσιάζουμε την τελική του μορφή:
Δλ>λ/(mN).
Αυτός ο μικρός τύπος μας επιτρέπει να καταλήξουμε στο συμπέρασμα: χρησιμοποιώντας ένα πλέγμα, μπορείτε να διαχωρίσετε τα πιο κοντινά μήκη κύματος (Δλ), όσο μεγαλύτερο είναι το μήκος κύματος του φωτός λ, τόσο μεγαλύτερος είναι ο αριθμός των περιστροφών ανά μονάδα μήκους(σταθερά πλέγματος N), και τόσο υψηλότερη είναι η τάξη της περίθλασης. Ας σταθούμε στο τελευταίο.
Αν κοιτάξετε το μοτίβο περίθλασης, τότε με την αύξηση του m, υπάρχει πραγματικά μια αύξηση στην απόσταση μεταξύ γειτονικών μηκών κύματος. Ωστόσο, για να χρησιμοποιηθούν υψηλές τάξεις περίθλασης, είναι απαραίτητο η ένταση φωτός σε αυτά να είναι επαρκής για μετρήσεις. Σε ένα συμβατικό πλέγμα περίθλασης, πέφτει γρήγορα με την αύξηση του m. Επομένως, για τους σκοπούς αυτούς χρησιμοποιούνται ειδικές σχάρες, οι οποίες είναι κατασκευασμένες με τέτοιο τρόπο ώστε να αναδιανέμουν την ένταση του φωτός υπέρ μεγάλων m. Κατά κανόνα, πρόκειται για ανακλαστικές σχάρες, το μοτίβο περίθλασης στο οποίο λαμβάνεται για μεγάλα θ0.
Στη συνέχεια, σκεφτείτε να χρησιμοποιήσετε την εξίσωση πλέγματος για να λύσετε πολλά προβλήματα.
Εργασίες προσδιορισμού γωνιών περίθλασης, σειράς περίθλασης και σταθεράς πλέγματος
Ας δώσουμε παραδείγματα επίλυσης πολλών προβλημάτων:
Για να προσδιοριστεί η περίοδος του πλέγματος περίθλασης, πραγματοποιείται το ακόλουθο πείραμα: λαμβάνεται μια μονόχρωμη πηγή φωτός, το μήκος κύματος της οποίας είναι γνωστή τιμή. Με τη βοήθεια φακών σχηματίζεται ένα παράλληλο μέτωπο κύματος, δημιουργούνται δηλαδή συνθήκες περίθλασης Fraunhofer. Τότε αυτό το μέτωπο κατευθύνεται σε ένα πλέγμα περίθλασης, η περίοδος του οποίου είναι άγνωστη. Στην εικόνα που προκύπτει, οι γωνίες για διαφορετικές παραγγελίες μετρώνται χρησιμοποιώντας ένα γωνιόμετρο. Στη συνέχεια, ο τύπος υπολογίζει την τιμή της άγνωστης περιόδου. Ας κάνουμε αυτόν τον υπολογισμό σε ένα συγκεκριμένο παράδειγμα
Έστω το μήκος κύματος του φωτός 500 nm και η γωνία για την πρώτη τάξη περίθλασης είναι 21o. Με βάση αυτά τα δεδομένα, είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί η περίοδος του πλέγματος περίθλασης d.
Χρησιμοποιώντας την εξίσωση πλέγματος, εκφράστε d και συνδέστε τα δεδομένα:
d=mλ/sin(θm)=150010-9/sin(21 o) ≈ 1,4 μm.
Τότε η σταθερά του πλέγματος N είναι:
N=1/ημέρα ≈ 714 γραμμές ανά 1 mm.
Το φως συνήθως πέφτει σε ένα πλέγμα περίθλασης που έχει περίοδο 5 microns. Γνωρίζοντας ότι το μήκος κύματος λ=600 nm, είναι απαραίτητο να βρούμε τις γωνίες στις οποίες θα εμφανίζονται τα μέγιστα της πρώτης και της δεύτερης τάξης
Για το πρώτο μέγιστο παίρνουμε:
sin(θ1)=λ/d=>θ1=arcsin(λ/δ) ≈ 6, 9 o.
Το δεύτερο μέγιστο θα εμφανιστεί για τη γωνία θ2:
θ2=arcsin(2λ/d) ≈ 13, 9o.
Μονοχρωματικό φως πέφτει σε πλέγμα περίθλασης με περίοδο 2 microns. Το μήκος κύματός του είναι 550 nm. Είναι απαραίτητο να βρείτε πόσες τάξεις περίθλασης θα εμφανιστούν στην εικόνα που προκύπτει στην οθόνη
Αυτός ο τύπος προβλήματος λύνεται ως εξής: πρώτα, πρέπει να προσδιορίσετε την εξάρτηση της γωνίας θm από τη σειρά περίθλασης για τις συνθήκες του προβλήματος. Μετά από αυτό, θα πρέπει να ληφθεί υπόψη ότι η ημιτονοειδής συνάρτηση δεν μπορεί να λάβει τιμές μεγαλύτερες από μία. Το τελευταίο γεγονός θα μας επιτρέψει να απαντήσουμε σε αυτό το πρόβλημα. Ας κάνουμε τις περιγραφόμενες ενέργειες:
sin(θm)=mλ/d=0, 275m.
Αυτή η ισότητα δείχνει ότι όταν m=4, η έκφραση στη δεξιά πλευρά γίνεται ίση με 1,1, και σε m=3 θα είναι ίσο με 0,825. Αυτό σημαίνει ότι χρησιμοποιώντας ένα πλέγμα περίθλασης με περίοδο 2 μm σε μήκος κύματος 550 nm, μπορείτε να πάρετε τη μέγιστη 3η τάξη περίθλασης.
Το πρόβλημα του υπολογισμού της ανάλυσης του πλέγματος
Υποθέστε ότι για το πείραμα πρόκειται να χρησιμοποιήσουν ένα πλέγμα περίθλασης με περίοδο 10 microns. Είναι απαραίτητο να υπολογίσουμε με ποιο ελάχιστο μήκος κύματος μπορούν να διαφέρουν τα κύματα κοντά στα λ=580 nm, ώστε να εμφανίζονται ως ξεχωριστά μέγιστα στην οθόνη.
Η απάντηση σε αυτό το πρόβλημα σχετίζεται με τον προσδιορισμό της ανάλυσης του εξεταζόμενου πλέγματος για ένα δεδομένο μήκος κύματος. Άρα, δύο κύματα μπορεί να διαφέρουν κατά Δλ>λ/(mN). Εφόσον η σταθερά του πλέγματος είναι αντιστρόφως ανάλογη με την περίοδο d, αυτή η έκφραση μπορεί να γραφτεί ως εξής:
Δλ>λd/m.
Τώρα για το μήκος κύματος λ=580 nm γράφουμε την εξίσωση πλέγματος:
sin(θm)=mλ/d=0, 058m.
Όπου παίρνουμε ότι η μέγιστη τάξη του m θα είναι 17. Αντικαθιστώντας αυτόν τον αριθμό στον τύπο για Δλ, έχουμε:
Δλ>58010-91010-6/17=3, 410- 13 ή 0,00034 nm.
Πήραμε πολύ υψηλή ανάλυση όταν η περίοδος του πλέγματος περίθλασης είναι 10 μικρά. Στην πράξη, κατά κανόνα, δεν επιτυγχάνεται λόγω των χαμηλών εντάσεων των μεγίστων υψηλών τάξεων περίθλασης.
