Η μελέτη των ιδιοτήτων της κατάστασης των αέριων συσσωματωμάτων της ύλης είναι ένας από τους σημαντικούς τομείς της σύγχρονης φυσικής. Λαμβάνοντας υπόψη τα αέρια σε μικροσκοπική κλίμακα, μπορεί κανείς να λάβει όλες τις μακροσκοπικές παραμέτρους του συστήματος. Αυτό το άρθρο θα αποκαλύψει ένα σημαντικό ζήτημα της μοριακής κινητικής θεωρίας των αερίων: ποια είναι η κατανομή Maxwell των μορίων ως προς τις ταχύτητες.
Ιστορικό υπόβαθρο
Η ιδέα του αερίου ως συστήματος μικροσκοπικών κινούμενων σωματιδίων προήλθε από την αρχαία Ελλάδα. Χρειάστηκαν περισσότερα από 1700 χρόνια για να το αναπτύξει η επιστήμη.
Ο ιδρυτής της σύγχρονης μοριακής-κινητικής θεωρίας (MKT) του αερίου είναι δίκαιο να εξετάσει τον Daniil Bernoulli. Το 1738 δημοσίευσε ένα έργο με τίτλο «Υδροδυναμική». Σε αυτό, ο Bernoulli περιέγραψε τις ιδέες του MKT που έχουν χρησιμοποιηθεί μέχρι σήμερα. Έτσι, ο επιστήμονας πίστευε ότι τα αέρια αποτελούνται από σωματίδια που κινούνται τυχαία προς όλες τις κατευθύνσεις. Πολυάριθμες συγκρούσειςσωματίδια με τοιχώματα αγγείων γίνονται αντιληπτά ως η παρουσία πίεσης στα αέρια. Οι ταχύτητες των σωματιδίων σχετίζονται στενά με τη θερμοκρασία του συστήματος. Η επιστημονική κοινότητα δεν αποδέχτηκε τις τολμηρές ιδέες του Μπερνούλι επειδή ο νόμος της διατήρησης της ενέργειας δεν είχε ακόμη καθιερωθεί.
Στη συνέχεια, πολλοί επιστήμονες ασχολήθηκαν με την κατασκευή ενός κινητικού μοντέλου αερίων. Μεταξύ αυτών πρέπει να σημειωθεί ο Rudolf Clausius, ο οποίος το 1857 δημιούργησε ένα απλό μοντέλο αερίου. Σε αυτό, ο επιστήμονας έδωσε ιδιαίτερη προσοχή στην παρουσία μεταφραστικών, περιστροφικών και δονητικών βαθμών ελευθερίας στα μόρια.
Το 1859, μελετώντας το έργο του Clausius, ο James Maxwell διατύπωσε τη λεγόμενη κατανομή Maxwell στις μοριακές ταχύτητες. Στην πραγματικότητα, ο Maxwell επιβεβαίωσε τις ιδέες του MKT, υποστηρίζοντάς τες με μια μαθηματική συσκευή. Στη συνέχεια, ο Ludwig Boltzmann (1871) γενίκευσε τα συμπεράσματα της κατανομής Maxwell. Υπέθεσε μια πιο γενική στατιστική κατανομή των μορίων στις ταχύτητες και τις ενέργειες. Αυτή τη στιγμή είναι γνωστή ως κατανομή Maxwell-Boltzmann.
Ιδανικό αέριο. Βασικά αξιώματα του ILC
Για να κατανοήσετε τι είναι η συνάρτηση διανομής Maxwell, πρέπει να κατανοήσετε ξεκάθαρα τα συστήματα για τα οποία ισχύει αυτή η συνάρτηση. Μιλάμε για ιδανικό αέριο. Στη φυσική, αυτή η έννοια νοείται ως μια ρευστή ουσία, η οποία αποτελείται από πρακτικά αδιάστατα σωματίδια που δεν έχουν δυναμική ενέργεια. Αυτά τα σωματίδια κινούνται με υψηλές ταχύτητες, επομένως η συμπεριφορά τους καθορίζεται πλήρως από την κινητική ενέργεια. Επιπλέον, οι αποστάσεις μεταξύ των σωματιδίων είναι πολύ μεγάλεςσε σύγκριση με τα μεγέθη τους, επομένως τα τελευταία παραμελούνται.
Τα ιδανικά αέρια περιγράφονται στο MKT. Τα κύρια αξιώματά του είναι τα εξής:
- τα συστήματα αερίου αποτελούνται από έναν τεράστιο αριθμό ελεύθερων σωματιδίων.
- σωματίδια κινούνται τυχαία με διαφορετικές ταχύτητες σε διαφορετικές κατευθύνσεις κατά μήκος ευθειών τροχιών.
- σωματίδια συγκρούονται με τα τοιχώματα των αγγείων ελαστικά (η πιθανότητα σύγκρουσης σωματιδίων μεταξύ τους είναι μικρή λόγω του μικρού τους μεγέθους);
- Η θερμοκρασία του συστήματος καθορίζεται μοναδικά από τη μέση κινητική ενέργεια των σωματιδίων, η οποία διατηρείται στο χρόνο εάν επιτευχθεί θερμοδυναμική ισορροπία στο σύστημα.
Τα
Νόμος κατανομής του Maxwell
Αν ένα άτομο είχε ένα όργανο με το οποίο ήταν δυνατό να μετρηθεί η ταχύτητα ενός μόνο μορίου αερίου, τότε, αφού διεξήγαγε ένα κατάλληλο πείραμα, θα εκπλαγεί. Το πείραμα θα έδειχνε ότι κάθε μόριο οποιουδήποτε αερίου συστήματος κινείται με εντελώς αυθαίρετη ταχύτητα. Σε αυτή την περίπτωση, στο πλαίσιο ενός συστήματος σε θερμική ισορροπία με το περιβάλλον, θα ανιχνεύονταν τόσο πολύ αργά όσο και πολύ γρήγορα μόρια.
Ο νόμος του Maxwell για την κατανομή της ταχύτητας των μορίων αερίου είναι ένα εργαλείο που σας επιτρέπει να προσδιορίσετε την πιθανότητα ανίχνευσης σωματιδίων με δεδομένη ταχύτητα v στο υπό μελέτη σύστημα. Η αντίστοιχη συνάρτηση μοιάζει με αυτό:
f(v)=(m/(2pikT))3/24piv2 exp(-mv2/(2kT)).
Σε αυτήν την έκφραση, m -μάζα σωματιδίου (μόριο), k - σταθερά Boltzmann, T - απόλυτη θερμοκρασία. Έτσι, εάν είναι γνωστή η χημική φύση των σωματιδίων (η τιμή του m), τότε η συνάρτηση f(v) καθορίζεται μοναδικά από την απόλυτη θερμοκρασία. Η συνάρτηση f(v) ονομάζεται πυκνότητα πιθανότητας. Εάν πάρουμε το ολοκλήρωμα από αυτό για κάποιο όριο ταχύτητας (v; v+dv), τότε παίρνουμε τον αριθμό των σωματιδίων Ni, τα οποία έχουν ταχύτητες στο καθορισμένο διάστημα. Αντίστοιχα, αν πάρουμε το ολοκλήρωμα της πυκνότητας πιθανότητας f(v) για τα όρια ταχύτητας από 0 έως ∞, τότε παίρνουμε τον συνολικό αριθμό των μορίων N στο σύστημα.
Γραφική αναπαράσταση της πυκνότητας πιθανότητας f(v)
Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας έχει μια κάπως πολύπλοκη μαθηματική μορφή, επομένως δεν είναι εύκολο να αναπαραστήσουμε τη συμπεριφορά της σε μια δεδομένη θερμοκρασία. Αυτό το πρόβλημα μπορεί να λυθεί εάν το απεικονίσετε σε ένα δισδιάστατο γράφημα. Μια σχηματική άποψη του γραφήματος κατανομής Maxwell φαίνεται παρακάτω στο σχήμα.
Βλέπουμε ότι ξεκινά από το μηδέν, αφού η ταχύτητα v των μορίων δεν μπορεί να έχει αρνητικές τιμές. Το γράφημα τελειώνει κάπου στην περιοχή των υψηλών ταχυτήτων, πέφτοντας ομαλά στο μηδέν (f(∞)->0). Το ακόλουθο χαρακτηριστικό είναι επίσης εντυπωσιακό: η ομαλή καμπύλη είναι ασύμμετρη, μειώνεται πιο έντονα για μικρές ταχύτητες.
Ένα σημαντικό χαρακτηριστικό της συμπεριφοράς της συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας f(v) είναι η παρουσία ενός έντονου μέγιστου σε αυτήν. Σύμφωνα με τη φυσική έννοια της συνάρτησης, αυτό το μέγιστο αντιστοιχεί στην πιο πιθανή τιμή των ταχυτήτων των μορίων στο αέριοσύστημα.
Σημαντικές ταχύτητες για τη συνάρτηση f(v)
Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας f(v) και η γραφική της αναπαράσταση μας επιτρέπουν να ορίσουμε τρεις σημαντικούς τύπους ταχύτητας.
Το πρώτο είδος ταχύτητας που είναι προφανές και που αναφέρθηκε παραπάνω είναι η πιο πιθανή ταχύτητα v1. Στο γράφημα, η τιμή του αντιστοιχεί στο μέγιστο της συνάρτησης f(v). Είναι αυτή η ταχύτητα και οι τιμές κοντά σε αυτήν που θα έχουν τα περισσότερα σωματίδια του συστήματος. Δεν είναι δύσκολο να το υπολογίσουμε, για αυτό αρκεί να πάρουμε την πρώτη παράγωγο ως προς την ταχύτητα της συνάρτησης f(v) και να την εξισώσουμε με το μηδέν. Ως αποτέλεσμα αυτών των μαθηματικών πράξεων, παίρνουμε το τελικό αποτέλεσμα:
v1=√(2RT/M).
Εδώ R είναι η καθολική σταθερά αερίου, M είναι η μοριακή μάζα των μορίων.
Το δεύτερο είδος ταχύτητας είναι η μέση τιμή του για όλα τα σωματίδια Ν. Ας το συμβολίσουμε v2. Μπορεί να υπολογιστεί ενσωματώνοντας τη συνάρτηση vf(v) σε όλες τις ταχύτητες. Το αποτέλεσμα της σημειωμένης ολοκλήρωσης θα είναι ο ακόλουθος τύπος:
v2=√(8RT/(piM)).
Επειδή η αναλογία είναι 8/pi>2, η μέση ταχύτητα είναι πάντα ελαφρώς υψηλότερη από την πιο πιθανή.
Κάθε άτομο που γνωρίζει λίγα πράγματα για τη φυσική καταλαβαίνει ότι η μέση ταχύτητα v2 των μορίων πρέπει να έχει μεγάλη σημασία σε ένα σύστημα αερίων. Ωστόσο, αυτή είναι μια εσφαλμένη υπόθεση. Πολύ πιο σημαντική είναι η ταχύτητα RMS. Ας το χαρακτηρίσουμεv3.
Σύμφωνα με τον ορισμό, ρίζα-μέση-τετράγωνη ταχύτητα είναι το άθροισμα των τετραγώνων των επιμέρους ταχυτήτων όλων των σωματιδίων, διαιρούμενο με τον αριθμό αυτών των σωματιδίων και λαμβάνεται ως τετραγωνική ρίζα. Μπορεί να υπολογιστεί για την κατανομή Maxwell εάν ορίσουμε το ολοκλήρωμα σε όλες τις ταχύτητες της συνάρτησης v2f(v). Ο τύπος για τη μέση τετραγωνική ταχύτητα θα έχει τη μορφή:
v3=√(3RT/M).
Η ισότητα δείχνει ότι αυτή η ταχύτητα είναι μεγαλύτερη από v2 και v1 για οποιοδήποτε σύστημα αερίου.
Έτσι, όλοι οι θεωρούμενοι τύποι ταχυτήτων στο γράφημα κατανομής Maxwell βρίσκονται είτε στο άκρο είτε στα δεξιά του.
Σημασία του v3
Σημειώθηκε παραπάνω ότι η μέση τετραγωνική ταχύτητα είναι πιο σημαντική για την κατανόηση των φυσικών διεργασιών και ιδιοτήτων ενός συστήματος αερίων από την απλή μέση ταχύτητα v2. Αυτό ισχύει, καθώς η κινητική ενέργεια ενός ιδανικού αερίου εξαρτάται ακριβώς από το v3 και όχι από το v2.
Αν λάβουμε υπόψη ένα μονατομικό ιδανικό αέριο, τότε ισχύει η ακόλουθη έκφραση για αυτό:
mv32/2=3/2kT.
Εδώ, κάθε μέρος της εξίσωσης αντιπροσωπεύει την κινητική ενέργεια ενός σωματιδίου μάζας m. Γιατί η έκφραση περιέχει ακριβώς την τιμή v3 και όχι τη μέση ταχύτητα v2; Πολύ απλό: κατά τον προσδιορισμό της κινητικής ενέργειας κάθε σωματιδίου, η ατομική του ταχύτητα v είναι στο τετράγωνο, τότε όλες οι ταχύτητεςπροστίθενται και διαιρούνται με τον αριθμό των σωματιδίων N. Δηλαδή, η ίδια η διαδικασία για τον προσδιορισμό της κινητικής ενέργειας οδηγεί στην τιμή της μέσης τετραγωνικής ταχύτητας.
Εξάρτηση της συνάρτησης f(v) από τη θερμοκρασία
Διαπιστώσαμε παραπάνω ότι η πυκνότητα πιθανότητας των μοριακών ταχυτήτων εξαρτάται αποκλειστικά από τη θερμοκρασία. Πώς θα αλλάξει η συνάρτηση εάν το T αυξηθεί ή μειωθεί; Το παρακάτω γράφημα θα σας βοηθήσει να απαντήσετε σε αυτήν την ερώτηση.
Μπορεί να φανεί ότι η θέρμανση του κλειστού συστήματος οδηγεί σε κηλίδες της κορυφής και μετατόπισή της προς υψηλότερες ταχύτητες. Η αύξηση της θερμοκρασίας οδηγεί σε αύξηση όλων των τύπων ταχυτήτων και σε μείωση της πυκνότητας πιθανότητας καθενός από αυτές. Η τιμή κορυφής μειώνεται λόγω της διατήρησης του αριθμού των σωματιδίων N σε ένα κλειστό σύστημα.
Στη συνέχεια, θα λύσουμε μερικά προβλήματα για να ενοποιήσουμε το θεωρητικό υλικό που λάβαμε.
Πρόβλημα με μόρια αζώτου στον αέρα
Είναι απαραίτητο να υπολογίσετε τις ταχύτητες v1, v2 και v3 για άζωτο αέρα σε θερμοκρασία 300 K (περίπου 27 oC).
Η μοριακή μάζα του αζώτου N2 είναι 28 g/mol. Χρησιμοποιώντας τους παραπάνω τύπους, παίρνουμε:
v1=√(2RT/M)=√(28, 314300/0, 028)=422 m/s;
v2=√(8RT/(piM))=√(88, 314300/(3, 140, 028))=476 m/s;
v3=√(3RT/M)=√(38, 314300/0, 028)=517 m/s.
Πρόβλημα δεξαμενής οξυγόνου
Το οξυγόνο στον κύλινδρο ήταν σε μια ορισμένη θερμοκρασία T1. Στη συνέχεια το μπαλόνι τοποθετήθηκε σε ένα πιο κρύο δωμάτιο. Πώς θα αλλάξει το διάγραμμα κατανομής ταχύτητας Maxwell για τα μόρια οξυγόνου όταν το σύστημα έρθει σε θερμοδυναμική ισορροπία;
Θυμόμαστε τη θεωρία, μπορούμε να απαντήσουμε στην ερώτηση του προβλήματος με αυτόν τον τρόπο: οι τιμές όλων των τύπων ταχυτήτων των μορίων θα μειωθούν, η κορυφή της συνάρτησης f(v) θα μετατοπιστεί προς τα αριστερά, γίνονται όλο και πιο στενά.
