Όταν προετοιμάζονται για τις εξετάσεις στα μαθηματικά, οι μαθητές πρέπει να συστηματοποιήσουν τις γνώσεις τους για την άλγεβρα και τη γεωμετρία. Θα ήθελα να συνδυάσω όλες τις γνωστές πληροφορίες, για παράδειγμα, τον τρόπο υπολογισμού του εμβαδού μιας πυραμίδας. Επιπλέον, ξεκινώντας από τη βάση και τις πλαϊνές όψεις μέχρι ολόκληρη την επιφάνεια. Αν η κατάσταση είναι ξεκάθαρη με τις πλευρικές όψεις, αφού είναι τρίγωνα, τότε η βάση είναι πάντα διαφορετική.
Πώς να βρείτε το εμβαδόν της βάσης της πυραμίδας;
Μπορεί να είναι απολύτως οποιοδήποτε σχήμα: από ένα αυθαίρετο τρίγωνο έως ένα n-gon. Και αυτή η βάση, εκτός από τη διαφορά στον αριθμό των γωνιών, μπορεί να είναι κανονικό σχήμα ή λάθος. Στις εργασίες USE που ενδιαφέρουν τους μαθητές, υπάρχουν μόνο εργασίες με τα σωστά στοιχεία στη βάση. Επομένως, θα μιλήσουμε μόνο για αυτούς.
Κανονικό Τρίγωνο
Αυτό είναι ισόπλευρο. Ένα στο οποίο όλες οι πλευρές είναι ίσες και σημειώνονται με το γράμμα "α". Σε αυτή την περίπτωση, το εμβαδόν της βάσης της πυραμίδας υπολογίζεται με τον τύπο:
S=(a2√3) / 4.
Τετράγωνο
Ο τύπος για τον υπολογισμό του εμβαδού του είναι ο απλούστερος,εδώ το "a" είναι πάλι η πλευρά:
S=a2.
Αυθαίρετο κανονικό n-gon
Η πλευρά ενός πολυγώνου έχει τον ίδιο προσδιορισμό. Για τον αριθμό των γωνιών, χρησιμοποιείται το λατινικό γράμμα n.
S=(na2) / (4tg (180º/n)).
Πώς να υπολογίσετε την πλευρική και τη συνολική επιφάνεια;
Δεδομένου ότι η βάση είναι ένα κανονικό σχήμα, όλες οι πλευρές της πυραμίδας είναι ίσες. Επιπλέον, καθένα από αυτά είναι ένα ισοσκελές τρίγωνο, αφού οι πλευρικές ακμές είναι ίσες. Στη συνέχεια, για να υπολογίσετε την πλευρική περιοχή της πυραμίδας, χρειάζεστε έναν τύπο που αποτελείται από το άθροισμα των πανομοιότυπων μονοωνύμων. Ο αριθμός των όρων καθορίζεται από τον αριθμό των πλευρών της βάσης.
Το εμβαδόν ενός ισοσκελούς τριγώνου υπολογίζεται με τον τύπο στον οποίο το μισό γινόμενο της βάσης πολλαπλασιάζεται με το ύψος. Αυτό το ύψος στην πυραμίδα ονομάζεται απόθεμα. Ο χαρακτηρισμός του είναι "Α". Ο γενικός τύπος για την πλευρική επιφάνεια είναι:
S=½ PA, όπου P είναι η περίμετρος της βάσης της πυραμίδας.
Υπάρχουν περιπτώσεις όπου οι πλευρές της βάσης δεν είναι γνωστές, αλλά δίνονται οι πλευρικές ακμές (c) και η επίπεδη γωνία στην κορυφή της (α). Στη συνέχεια, υποτίθεται ότι χρησιμοποιεί αυτόν τον τύπο για να υπολογίσει την πλευρική επιφάνεια της πυραμίδας:
S=n/2σε2 αμαρτία α.
Πρόβλημα 1
Κατάσταση. Βρείτε το συνολικό εμβαδόν της πυραμίδας αν η βάση της είναι ισόπλευρο τρίγωνο με πλευρά 4 cm και το απόθεμα είναι √3 cm.
Απόφαση. ΤουΠρέπει να ξεκινήσετε υπολογίζοντας την περίμετρο της βάσης. Δεδομένου ότι αυτό είναι ένα κανονικό τρίγωνο, τότε P \u003d 34 \u003d 12 εκ. Δεδομένου ότι το απόθεμα είναι γνωστό, μπορείτε αμέσως να υπολογίσετε την περιοχή ολόκληρης της πλευρικής επιφάνειας: ½12√3=6 √3 cm 2.
Για ένα τρίγωνο στη βάση, λαμβάνετε την ακόλουθη τιμή εμβαδού: (42√3) / 4=4√3 cm2.
Για να προσδιορίσετε τη συνολική επιφάνεια, πρέπει να προσθέσετε τις δύο τιμές που προκύπτουν: 6√3 + 4√3=10√3 cm2.
Απάντηση. 10√3cm2.
Πρόβλημα 2
Κατάσταση. Υπάρχει μια κανονική τετράγωνη πυραμίδα. Το μήκος της πλευράς της βάσης είναι 7 mm, η πλευρική άκρη είναι 16 mm. Πρέπει να γνωρίζετε την επιφάνειά του.
Απόφαση. Εφόσον το πολύεδρο είναι τετράγωνο και κανονικό, τότε η βάση του είναι τετράγωνο. Έχοντας μάθει τις περιοχές της βάσης και των πλευρικών όψεων, θα είναι δυνατό να υπολογιστεί το εμβαδόν της πυραμίδας. Ο τύπος για το τετράγωνο δίνεται παραπάνω. Και στις πλευρικές όψεις, όλες οι πλευρές του τριγώνου είναι γνωστές. Επομένως, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον τύπο του Heron για να υπολογίσετε τα εμβαδά τους.
Οι πρώτοι υπολογισμοί είναι απλοί και οδηγούν σε αυτόν τον αριθμό: 49 mm2. Για τη δεύτερη τιμή, θα χρειαστεί να υπολογίσετε την ημιπερίμετρο: (7 + 162): 2=19,5 mm. Τώρα μπορείτε να υπολογίσετε το εμβαδόν ενός ισοσκελούς τριγώνου: √(19,5(19,5-7)(19,5-16)2)=√2985,9375=54,644 mm 2. Υπάρχουν μόνο τέσσερα τέτοια τρίγωνα, οπότε κατά τον υπολογισμό του τελικού αριθμού, θα χρειαστεί να τον πολλαπλασιάσετε με το 4.
Αποδεικνύεται: 49 + 454, 644=267, 576 mm2.
Απάντηση. Επιθυμητή τιμή 267, 576mm2.
Πρόβλημα 3
Κατάσταση. Για μια κανονική τετραγωνική πυραμίδα, πρέπει να υπολογίσετε την περιοχή. Γνωρίζει την πλευρά του τετραγώνου - 6 cm και το ύψος - 4 cm.
Απόφαση. Ο ευκολότερος τρόπος είναι να χρησιμοποιήσετε τον τύπο με το γινόμενο της περιμέτρου και το απόθεμα. Η πρώτη τιμή είναι εύκολο να βρεθεί. Το δεύτερο είναι λίγο πιο δύσκολο.
Θα πρέπει να θυμηθούμε το Πυθαγόρειο θεώρημα και να εξετάσουμε ένα ορθογώνιο τρίγωνο. Σχηματίζεται από το ύψος της πυραμίδας και το απόθεμα, που είναι η υποτείνουσα. Το δεύτερο σκέλος ισούται με τη μισή πλευρά του τετραγώνου, αφού το ύψος του πολύεδρου πέφτει στη μέση του.
Το επιθυμητό απόθεμα (η υποτείνουσα ενός ορθογώνιου τριγώνου) είναι √(32 + 42)=5 (cm).
Τώρα μπορείτε να υπολογίσετε την απαιτούμενη τιμή: ½(46)5+62=96 (δείτε2
Απάντηση. 96 cm2.
Πρόβλημα 4
Κατάσταση. Δίνεται μια κανονική εξαγωνική πυραμίδα. Οι πλευρές της βάσης του είναι 22 mm, οι πλευρικές νευρώσεις είναι 61 mm. Ποια είναι η πλευρική επιφάνεια αυτού του πολυέδρου;
Απόφαση. Το σκεπτικό σε αυτό είναι το ίδιο με αυτό που περιγράφεται στο πρόβλημα Νο. 2. Μόνο εκεί δόθηκε μια πυραμίδα με ένα τετράγωνο στη βάση, και τώρα είναι ένα εξάγωνο.
Πρώτα απ' όλα, το εμβαδόν της βάσης υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον παραπάνω τύπο: (6222) / (4tg (180º/6))=726/(tg30º)=726 √3 cm2.
Τώρα πρέπει να μάθετε την ημιπερίμετρο ενός ισοσκελούς τριγώνου, που είναι η πλευρική όψη. (22 + 612): 2 \u003d 72 εκ. Απομένει να υπολογίσουμε το εμβαδόν ενός τέτοιουτρίγωνο, και στη συνέχεια πολλαπλασιάστε το επί έξι και προσθέστε το σε αυτό που προέκυψε για τη βάση.
Υπολογισμός με τον τύπο του Heron: √(72(72-22)(72-61)2)=√435600=660 cm2 . Υπολογισμοί που θα δώσουν το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας: 6606=3960 cm2. Απομένει να τα αθροίσουμε για να μάθουμε ολόκληρη την επιφάνεια: 5217, 47≈5217 cm2.
Απάντηση. Βάση - 726√3cm2, πλαϊνή επιφάνεια - 3960cm2, συνολική επιφάνεια - 5217cm2.
