Σειρά Maclaurin και επέκταση ορισμένων λειτουργιών

2024 Συγγραφέας: Angel Austin | [email protected]. Τελευταία τροποποίηση: 2023-12-17 05:22

Οι μαθητές ανώτερων μαθηματικών πρέπει να γνωρίζουν ότι το άθροισμα ορισμένων σειρών ισχύος που ανήκουν στο διάστημα σύγκλισης της δεδομένης σειράς αποδεικνύεται ότι είναι ένας συνεχής και απεριόριστος αριθμός φορών διαφοροποιημένης συνάρτησης. Τίθεται το ερώτημα: είναι δυνατόν να υποστηριχθεί ότι μια δεδομένη αυθαίρετη συνάρτηση f(x) είναι το άθροισμα ορισμένων σειρών ισχύος; Δηλαδή, υπό ποιες συνθήκες η συνάρτηση f(x) μπορεί να αναπαρασταθεί με μια σειρά ισχύος; Η σημασία αυτής της ερώτησης έγκειται στο γεγονός ότι είναι δυνατόν να αντικατασταθεί κατά προσέγγιση η συνάρτηση f(x) από το άθροισμα των πρώτων όρων της σειράς ισχύος, δηλαδή από ένα πολυώνυμο. Μια τέτοια αντικατάσταση μιας συνάρτησης από μια μάλλον απλή έκφραση - ένα πολυώνυμο - είναι επίσης βολική κατά την επίλυση ορισμένων προβλημάτων μαθηματικής ανάλυσης, συγκεκριμένα: κατά την επίλυση ολοκληρωμάτων, κατά τον υπολογισμό διαφορικών εξισώσεων κ.λπ.

Έχει αποδειχθεί ότι για κάποια συνάρτηση f(х) όπου οι παράγωγοι μέχρι (n+1) ης τάξης, συμπεριλαμβανομένης της τελευταίας, μπορούν να υπολογιστούν στη γειτονιά (α _{- R; x}0 _{+ R) κάποιου σημείου x=α ισχύει ο τύπος:}

Αυτός ο τύπος πήρε το όνομά του από τον διάσημο επιστήμονα Brook Taylor. Η σειρά που λαμβάνεται από την προηγούμενη ονομάζεται σειρά Maclaurin:

Ο κανόνας που καθιστά δυνατή την επέκταση σε μια σειρά Maclaurin:

1. Προσδιορισμός παραγώγων της πρώτης, δεύτερης, τρίτης… τάξεων.
2. Υπολογίστε με τι ισούνται οι παράγωγοι στο x=0.
3. Καταγράψτε τη σειρά Maclaurin για αυτήν τη συνάρτηση και, στη συνέχεια, προσδιορίστε το διάστημα της σύγκλισής της.
4. Προσδιορίστε το διάστημα (-R;R) όπου το υπόλοιπο του τύπου Maclaurin

R (x) -> 0 για n -> άπειρο. Εάν υπάρχει, η συνάρτηση f(x) σε αυτήν πρέπει να συμπίπτει με το άθροισμα της σειράς Maclaurin.

Τώρα σκεφτείτε τη σειρά Maclaurin για μεμονωμένες λειτουργίες.

1. Έτσι, το πρώτο θα είναι f(x)=e^x. Φυσικά, σύμφωνα με τα χαρακτηριστικά της, μια τέτοια συνάρτηση έχει παραγώγους διαφόρων τάξεων και f^(k)(x)=e^x, όπου k ισούται με όλα φυσικούς αριθμούς. Ας αντικαταστήσουμε το x=0. Λαμβάνουμε f^(k)(0)=e⁰=1, k=1, 2… Το ^{θα μοιάζει με αυτό:}

2. Η σειρά Maclaurin για τη συνάρτηση f(x)=sin x. Διευκρινίστε αμέσως ότι η συνάρτηση για όλους τους αγνώστους θα έχει παράγωγα, εκτός από f^'(x)=cos x=sin(x+n/2), f ^{'' (x)=-sin x=sin(x+2n/2)…, f}(k)^{(x)=sin(x+k n/2), όπου k ισούται με οποιονδήποτε φυσικό αριθμό. Δηλαδή, αφού κάνουμε απλούς υπολογισμούς, μπορούμε να καταλήξουμε στο συμπέρασμα ότι η σειρά για f(x)=sin x θα μοιάζει με αυτό:}

3. Τώρα ας προσπαθήσουμε να εξετάσουμε τη συνάρτηση f(x)=cos x. Είναι για όλα τα άγνωσταέχει παράγωγα αυθαίρετης τάξης και |f^(k)(x)|=|cos(x+kp/2)|<=1, k=1, 2… Και πάλι, αφού κάνουμε μερικούς υπολογισμούς, παίρνουμε ότι η σειρά για f(x)=cos x θα μοιάζει με αυτό:

Λοιπόν, παραθέσαμε τις πιο σημαντικές λειτουργίες που μπορούν να επεκταθούν στη σειρά Maclaurin, αλλά συμπληρώνονται από τη σειρά Taylor για ορισμένες λειτουργίες. Τώρα θα τα απαριθμήσουμε. Αξίζει επίσης να σημειωθεί ότι οι σειρές Taylor και Maclaurin αποτελούν σημαντικό μέρος της πρακτικής επίλυσης σειρών στα ανώτερα μαθηματικά. Λοιπόν, σειρά Taylor.

1. Η πρώτη θα είναι μια σειρά για f-ii f(x)=ln(1+x). Όπως και στα προηγούμενα παραδείγματα, δίνοντάς μας f (x)=ln (1 + x), μπορούμε να προσθέσουμε μια σειρά χρησιμοποιώντας τη γενική μορφή της σειράς Maclaurin. Ωστόσο, για αυτή τη λειτουργία, η σειρά Maclaurin μπορεί να αποκτηθεί πολύ πιο απλά. Αφού ενσωματώσουμε μια συγκεκριμένη γεωμετρική σειρά, παίρνουμε μια σειρά για f(x)=ln(1+x) αυτού του δείγματος:

2. Και το δεύτερο, το οποίο θα είναι τελικό στο άρθρο μας, θα είναι μια σειρά για f (x) u003d arctg x. Για x που ανήκει στο διάστημα [-1;1], η επέκταση ισχύει:

Αυτό είναι. Αυτό το άρθρο εξέτασε τις πιο συχνά χρησιμοποιούμενες σειρές Taylor και Maclaurin στα ανώτερα μαθηματικά, ιδίως στα οικονομικά και τεχνικά πανεπιστήμια.