Η κινηματική είναι ένα μέρος της φυσικής που εξετάζει τους νόμους της κίνησης των σωμάτων. Η διαφορά του από τη δυναμική είναι ότι δεν λαμβάνει υπόψη τις δυνάμεις που δρουν σε ένα κινούμενο σώμα. Αυτό το άρθρο είναι αφιερωμένο στο ζήτημα της κινηματικής της περιστροφικής κίνησης.
Περιστροφική κίνηση και η διαφορά της από την κίνηση προς τα εμπρός
Αν προσέξετε τα γύρω κινούμενα αντικείμενα, μπορείτε να δείτε ότι είτε κινούνται σε ευθεία γραμμή (το αυτοκίνητο οδηγεί στο δρόμο, το αεροπλάνο πετά στον ουρανό) είτε σε κύκλο (το ίδιο αυτοκίνητο που μπαίνει σε μια στροφή, η περιστροφή του τροχού). Πιο πολύπλοκοι τύποι κίνησης αντικειμένων μπορούν να περιοριστούν, ως πρώτη προσέγγιση, σε συνδυασμό των δύο τύπων που σημειώθηκαν.
Η προοδευτική κίνηση περιλαμβάνει αλλαγή των χωρικών συντεταγμένων του σώματος. Σε αυτή την περίπτωση, συχνά θεωρείται ως υλικό σημείο (οι γεωμετρικές διαστάσεις δεν λαμβάνονται υπόψη).
Η περιστροφική κίνηση είναι ένας τύπος κίνησης στον οποίοτο σύστημα κινείται κυκλικά γύρω από κάποιο άξονα. Επιπλέον, το αντικείμενο σε αυτή την περίπτωση σπάνια θεωρείται ως υλικό σημείο, τις περισσότερες φορές χρησιμοποιείται μια άλλη προσέγγιση - ένα απολύτως άκαμπτο σώμα. Το τελευταίο σημαίνει ότι οι ελαστικές δυνάμεις που δρουν μεταξύ των ατόμων του σώματος παραμελούνται και θεωρείται ότι οι γεωμετρικές διαστάσεις του συστήματος δεν αλλάζουν κατά την περιστροφή. Η απλούστερη περίπτωση είναι ένας σταθερός άξονας.
Η κινηματική της μεταφορικής και περιστροφικής κίνησης υπακούει στους ίδιους νόμους του Νεύτωνα. Παρόμοιες φυσικές ποσότητες χρησιμοποιούνται για να περιγράψουν και τους δύο τύπους κίνησης.
Ποιες ποσότητες περιγράφουν την κίνηση στη φυσική;
Η κινηματική της περιστροφικής και μεταφορικής κίνησης χρησιμοποιεί τρεις βασικές ποσότητες:
- Το μονοπάτι που ταξίδεψε. Θα το συμβολίσουμε με το γράμμα L για μεταφραστική και θ - για περιστροφική κίνηση.
- Ταχύτητα. Για μια γραμμική περίπτωση, συνήθως γράφεται με το λατινικό γράμμα v, για κίνηση κατά μήκος κυκλικής διαδρομής - με το ελληνικό γράμμα ω.
- Επιτάχυνση. Για μια γραμμική και κυκλική διαδρομή, χρησιμοποιούνται τα σύμβολα a και α, αντίστοιχα.
Η έννοια της τροχιάς χρησιμοποιείται επίσης συχνά. Αλλά για τους τύπους κίνησης των αντικειμένων που εξετάζουμε, αυτή η έννοια γίνεται ασήμαντη, αφού η μεταφορική κίνηση χαρακτηρίζεται από γραμμική τροχιά και περιστροφική - από κύκλο.
Γραμμικές και γωνιακές ταχύτητες
Ας ξεκινήσουμε την κινηματική της περιστροφικής κίνησης ενός υλικού σημείουαπό την έννοια της ταχύτητας. Είναι γνωστό ότι για τη μεταφορική κίνηση των σωμάτων, αυτή η τιμή περιγράφει ποια διαδρομή θα ξεπεραστεί ανά μονάδα χρόνου, δηλαδή:
v=L / t
Το
V μετριέται σε μέτρα ανά δευτερόλεπτο. Για την περιστροφή, δεν είναι βολικό να ληφθεί υπόψη αυτή η γραμμική ταχύτητα, καθώς εξαρτάται από την απόσταση από τον άξονα περιστροφής. Εισάγεται ένα ελαφρώς διαφορετικό χαρακτηριστικό:
ω=θ / t
Αυτός είναι ένας από τους κύριους τύπους της κινηματικής της περιστροφικής κίνησης. Δείχνει σε ποια γωνία θ ολόκληρο το σύστημα θα γυρίσει γύρω από έναν σταθερό άξονα σε χρόνο t.
Και οι δύο παραπάνω τύποι αντικατοπτρίζουν την ίδια φυσική διαδικασία ταχύτητας κίνησης. Μόνο για τη γραμμική περίπτωση, η απόσταση είναι σημαντική και για την κυκλική περίπτωση, η γωνία περιστροφής.
Και οι δύο τύποι αλληλεπιδρούν μεταξύ τους. Ας αποκτήσουμε αυτή τη σύνδεση. Αν εκφράσουμε το θ σε ακτίνια, τότε ένα υλικό σημείο που περιστρέφεται σε απόσταση R από τον άξονα, έχοντας κάνει μία περιστροφή, θα διανύσει τη διαδρομή L=2piR. Η έκφραση για τη γραμμική ταχύτητα θα έχει τη μορφή:
v=L / t=2piR / t
Αλλά ο λόγος των 2pi ακτίνων προς τον χρόνο t δεν είναι παρά γωνιακή ταχύτητα. Τότε παίρνουμε:
v=ωR
Από εδώ μπορεί να φανεί ότι όσο μεγαλύτερη είναι η γραμμική ταχύτητα v και όσο μικρότερη η ακτίνα περιστροφής R, τόσο μεγαλύτερη είναι η γωνιακή ταχύτητα ω.
Γραμμική και γωνιακή επιτάχυνση
Ένα άλλο σημαντικό χαρακτηριστικό στην κινηματική της περιστροφικής κίνησης ενός υλικού σημείου είναι η γωνιακή επιτάχυνση. Πριν τον γνωρίσουμε, ας τον γνωρίσουμετύπος για παρόμοια γραμμική τιμή:
1) a=dv / dt
2) a=Δv / Δt
Η πρώτη έκφραση αντικατοπτρίζει τη στιγμιαία επιτάχυνση (dt ->0), ενώ ο δεύτερος τύπος είναι κατάλληλος εάν η ταχύτητα αλλάζει ομοιόμορφα με το χρόνο Δt. Η επιτάχυνση που επιτυγχάνεται στη δεύτερη παραλλαγή ονομάζεται μέση.
Δεδομένης της ομοιότητας των μεγεθών που περιγράφουν γραμμική και περιστροφική κίνηση, για γωνιακή επιτάχυνση μπορούμε να γράψουμε:
1) α=dω / dt
2) α=Δω / Δt
Η ερμηνεία αυτών των τύπων είναι ακριβώς η ίδια όπως για τη γραμμική περίπτωση. Η μόνη διαφορά είναι ότι το a δείχνει πόσα μέτρα ανά δευτερόλεπτο αλλάζει η ταχύτητα ανά μονάδα χρόνου και το α δείχνει πόσα ακτίνια ανά δευτερόλεπτο αλλάζει η γωνιακή ταχύτητα κατά την ίδια χρονική περίοδο.
Ας βρούμε τη σύνδεση μεταξύ αυτών των επιταχύνσεων. Αντικαθιστώντας την τιμή του v, εκφρασμένη σε όρους ω, σε μία από τις δύο ισότητες για το α, παίρνουμε:
α=Δω / Δt=Δv / Δt1 / R=a / R
Ακολουθεί ότι όσο μικρότερη είναι η ακτίνα περιστροφής και όσο μεγαλύτερη η γραμμική επιτάχυνση, τόσο μεγαλύτερη είναι η τιμή του α.
Απόσταση που διανύθηκε και γωνία στροφής
Μένει να δώσουμε τύπους για το τελευταίο από τα τρία βασικά μεγέθη στην κινηματική της περιστροφικής κίνησης γύρω από έναν σταθερό άξονα - για τη γωνία περιστροφής. Όπως και στις προηγούμενες παραγράφους, γράφουμε πρώτα τον τύπο για ομοιόμορφα επιταχυνόμενη ευθύγραμμη κίνηση, έχουμε:
L=v0 t + a t2 / 2
Η πλήρης αναλογία με την περιστροφική κίνηση οδηγεί στον ακόλουθο τύπο για αυτήν:
θ=ω0 t + αt2 / 2
Η τελευταία έκφραση σάς επιτρέπει να λάβετε τη γωνία περιστροφής για οποιαδήποτε στιγμή t. Σημειώστε ότι η περιφέρεια είναι 2pi ακτίνια (≈ 6,3 ακτίνια). Εάν, ως αποτέλεσμα της επίλυσης του προβλήματος, η τιμή του θ είναι μεγαλύτερη από την καθορισμένη τιμή, τότε το σώμα έχει κάνει περισσότερες από μία περιστροφές γύρω από τον άξονα.
Ο τύπος για τη σχέση μεταξύ L και θ λαμβάνεται αντικαθιστώντας τις αντίστοιχες τιμές για ω0 και α μέσω γραμμικών χαρακτηριστικών:
θ=v0 t / R + at2 / (2R)=L /R
Η έκφραση που προκύπτει αντανακλά την έννοια της ίδιας της γωνίας θ σε ακτίνια. Αν θ=1 rad, τότε L=R, δηλαδή, μια γωνία ενός ακτινίου στηρίζεται σε ένα τόξο μήκους μίας ακτίνας.
Παράδειγμα επίλυσης προβλημάτων
Ας λύσουμε το ακόλουθο πρόβλημα της περιστροφικής κινηματικής: γνωρίζουμε ότι το αυτοκίνητο κινείται με ταχύτητα 70 km/h. Γνωρίζοντας ότι η διάμετρος του τροχού του είναι D=0,4 μέτρα, είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί η τιμή του ω για αυτόν, καθώς και ο αριθμός των στροφών που θα κάνει όταν το αυτοκίνητο διανύσει απόσταση 1 χιλιομέτρου.
Για να βρούμε τη γωνιακή ταχύτητα, αρκεί να αντικαταστήσουμε τα γνωστά δεδομένα στον τύπο για τη συσχέτισή τους με τη γραμμική ταχύτητα, παίρνουμε:
ω=v / R=7104 / 3600 / 0, 2=97, 222 rad/s.
Ομοίως για τη γωνία θ προς την οποία θα γυρίσει ο τροχός αφού περάσει1 χλμ., παίρνουμε:
θ=L / R=1000 / 0, 2=5000 rad.
Δεδομένου ότι μία περιστροφή είναι 6,2832 ακτίνια, παίρνουμε τον αριθμό των στροφών του τροχού που αντιστοιχεί σε αυτή τη γωνία:
n=θ / 6, 2832=5000 / 6, 2832=795, 77 στροφές.
Απαντήσαμε στις ερωτήσεις χρησιμοποιώντας τους τύπους του άρθρου. Ήταν επίσης δυνατό να λυθεί το πρόβλημα με διαφορετικό τρόπο: υπολογίστε το χρόνο για τον οποίο το αυτοκίνητο θα διανύσει 1 km και αντικαταστήστε τον στον τύπο για τη γωνία περιστροφής, από τον οποίο μπορούμε να λάβουμε τη γωνιακή ταχύτητα ω. Η απάντηση βρέθηκε.
