Ένα μηχανικό σύστημα που αποτελείται από ένα υλικό σημείο (σώμα) που κρέμεται σε ένα μη εκτατό αβαρές νήμα (η μάζα του είναι αμελητέα σε σύγκριση με το βάρος του σώματος) σε ένα ομοιόμορφο πεδίο βαρύτητας ονομάζεται μαθηματικό εκκρεμές (άλλο όνομα είναι ένας ταλαντωτής). Υπάρχουν και άλλοι τύποι αυτής της συσκευής. Αντί για κλωστή, μπορεί να χρησιμοποιηθεί μια ράβδος χωρίς βάρος. Ένα μαθηματικό εκκρεμές μπορεί ξεκάθαρα να αποκαλύψει την ουσία πολλών ενδιαφέροντων φαινομένων. Με μικρό πλάτος ταλάντωσης, η κίνησή του ονομάζεται αρμονική.
Επισκόπηση μηχανικού συστήματος
Ο τύπος για την περίοδο ταλάντωσης αυτού του εκκρεμούς προήλθε από τον Ολλανδό επιστήμονα Huygens (1629-1695). Αυτός ο σύγχρονος του Ι. Νεύτωνα αγαπούσε πολύ αυτό το μηχανικό σύστημα. Το 1656 δημιούργησε το πρώτο ρολόι με εκκρεμές. Μετρούσαν τον χρόνο με εξαιρετικάγια εκείνες τις εποχές ακρίβεια. Αυτή η εφεύρεση έχει γίνει ένα σημαντικό ορόσημο στην ανάπτυξη φυσικών πειραμάτων και πρακτικών δραστηριοτήτων.
Αν το εκκρεμές βρίσκεται σε ισορροπία (κρέμεται κάθετα), τότε η δύναμη της βαρύτητας θα εξισορροπηθεί από τη δύναμη της τάσης του νήματος. Ένα επίπεδο εκκρεμές σε ένα μη εκτατό νήμα είναι ένα σύστημα με δύο βαθμούς ελευθερίας με σύνδεση. Όταν αλλάζετε μόνο ένα εξάρτημα, αλλάζουν τα χαρακτηριστικά όλων των εξαρτημάτων του. Έτσι, εάν το νήμα αντικατασταθεί από μια ράβδο, τότε αυτό το μηχανικό σύστημα θα έχει μόνο 1 βαθμό ελευθερίας. Ποιες είναι οι ιδιότητες ενός μαθηματικού εκκρεμούς; Σε αυτό το απλούστερο σύστημα, το χάος προκύπτει υπό την επίδραση μιας περιοδικής διαταραχής. Στην περίπτωση που το σημείο ανάρτησης δεν κινείται, αλλά ταλαντώνεται, το εκκρεμές έχει νέα θέση ισορροπίας. Με γρήγορες ταλαντώσεις πάνω και κάτω, αυτό το μηχανικό σύστημα αποκτά μια σταθερή ανάποδη θέση. Έχει και το δικό της όνομα. Ονομάζεται εκκρεμές της Καπίτσας.
Ιδιότητες εκκρεμούς
Το μαθηματικό εκκρεμές έχει πολύ ενδιαφέρουσες ιδιότητες. Όλα αυτά επιβεβαιώνονται από γνωστούς φυσικούς νόμους. Η περίοδος ταλάντωσης οποιουδήποτε άλλου εκκρεμούς εξαρτάται από διάφορες περιστάσεις, όπως το μέγεθος και το σχήμα του σώματος, η απόσταση μεταξύ του σημείου ανάρτησης και του κέντρου βάρους, η κατανομή της μάζας σε σχέση με αυτό το σημείο. Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο ο καθορισμός της περιόδου ενός κρεμασμένου σώματος είναι ένα αρκετά δύσκολο έργο. Είναι πολύ πιο εύκολο να υπολογιστεί η περίοδος ενός μαθηματικού εκκρεμούς, ο τύπος του οποίου θα δοθεί παρακάτω. Ως αποτέλεσμα παρατηρήσεων παρόμοιωντα μηχανικά συστήματα μπορούν να δημιουργήσουν τα ακόλουθα μοτίβα:
• Εάν, διατηρώντας το ίδιο μήκος του εκκρεμούς, κρεμάσουμε διαφορετικά βάρη, τότε η περίοδος των ταλαντώσεων τους θα είναι η ίδια, αν και οι μάζες τους θα ποικίλλουν πολύ. Επομένως, η περίοδος ενός τέτοιου εκκρεμούς δεν εξαρτάται από τη μάζα του φορτίου.
• Κατά την εκκίνηση του συστήματος, εάν το εκκρεμές εκτρέπεται από όχι πολύ μεγάλες, αλλά διαφορετικές γωνίες, θα αρχίσει να ταλαντώνεται με την ίδια περίοδο, αλλά με διαφορετικά πλάτη. Εφόσον οι αποκλίσεις από το κέντρο ισορροπίας δεν είναι πολύ μεγάλες, οι ταλαντώσεις στη μορφή τους θα είναι αρκετά κοντά στις αρμονικές. Η περίοδος ενός τέτοιου εκκρεμούς δεν εξαρτάται σε καμία περίπτωση από το πλάτος της ταλάντωσης. Αυτή η ιδιότητα αυτού του μηχανικού συστήματος ονομάζεται ισοχρονισμός (μετάφραση από το ελληνικό "χρόνος" - χρόνος, "ίσος" - ίσος).
Περίοδος του μαθηματικού εκκρεμούς
Αυτός ο δείκτης αντιπροσωπεύει την περίοδο των φυσικών ταλαντώσεων. Παρά τη σύνθετη διατύπωση, η ίδια η διαδικασία είναι πολύ απλή. Εάν το μήκος του νήματος ενός μαθηματικού εκκρεμούς είναι L και η επιτάχυνση της ελεύθερης πτώσης είναι g, τότε αυτή η τιμή είναι:
T=2π√L/g
Η περίοδος των μικρών φυσικών ταλαντώσεων σε καμία περίπτωση δεν εξαρτάται από τη μάζα του εκκρεμούς και το πλάτος των ταλαντώσεων. Σε αυτήν την περίπτωση, το εκκρεμές κινείται σαν μαθηματικό εκκρεμές με μειωμένο μήκος.
Καλάνσεις του μαθηματικού εκκρεμούς
Ένα μαθηματικό εκκρεμές ταλαντώνεται, το οποίο μπορεί να περιγραφεί με μια απλή διαφορική εξίσωση:
x + ω2 sin x=0, όπου x (t) είναι μια άγνωστη συνάρτηση (αυτή είναι η γωνία απόκλισης από το χαμηλότεροθέση ισορροπίας τη χρονική στιγμή t, εκφρασμένη σε ακτίνια). Το ω είναι μια θετική σταθερά, η οποία προσδιορίζεται από τις παραμέτρους του εκκρεμούς (ω=√g/L, όπου g είναι η επιτάχυνση ελεύθερης πτώσης και L το μήκος του μαθηματικού εκκρεμούς (αιώρηση).
Η εξίσωση των μικρών διακυμάνσεων κοντά στη θέση ισορροπίας (αρμονική εξίσωση) μοιάζει με αυτό:
x + ω2 sin x=0
Ταλαντωτικές κινήσεις του εκκρεμούς
Ένα μαθηματικό εκκρεμές που κάνει μικρές ταλαντώσεις κινείται κατά μήκος ενός ημιτονοειδούς. Η διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης πληροί όλες τις απαιτήσεις και τις παραμέτρους μιας τέτοιας κίνησης. Για να προσδιορίσετε την τροχιά, πρέπει να καθορίσετε την ταχύτητα και τις συντεταγμένες, από τις οποίες στη συνέχεια προσδιορίζονται ανεξάρτητες σταθερές:
x=Αμαρτία (θ0 + ωt), όπου θ0 είναι η αρχική φάση, A είναι το πλάτος ταλάντωσης, ω είναι η κυκλική συχνότητα που προσδιορίζεται από την εξίσωση της κίνησης.
Μαθηματικό εκκρεμές (τύποι για μεγάλα πλάτη)
Αυτό το μηχανικό σύστημα, που κάνει τις ταλαντώσεις του με σημαντικό πλάτος, υπακούει σε πιο περίπλοκους νόμους κίνησης. Για ένα τέτοιο εκκρεμές, υπολογίζονται με τον τύπο:
sin x/2=usn(ωt/u), όπου sn είναι το ημίτονο Jacobi, το οποίο για το u < 1 είναι περιοδική συνάρτηση, και για το μικρό u συμπίπτει με ένα απλό τριγωνομετρικό ημίτονο. Η τιμή του u καθορίζεται από την ακόλουθη έκφραση:
u=(ε + ω2)/2ω2, όπου ε=E/mL2 (mL2 είναι η ενέργεια του εκκρεμούς).
Προσδιορισμός της περιόδου ταλάντωσης ενός μη γραμμικού εκκρεμούςπραγματοποιείται σύμφωνα με τον τύπο:
T=2π/Ω, όπου Ω=π/2ω/2K(u), K είναι το ελλειπτικό ολοκλήρωμα, π - 3, 14.
Κίνηση του εκκρεμούς κατά μήκος της διαχωριστικής γραμμής
Ένα separatrix είναι μια τροχιά ενός δυναμικού συστήματος με δισδιάστατο χώρο φάσης. Το μαθηματικό εκκρεμές κινείται κατά μήκος του μη περιοδικά. Σε μια απείρως μακρινή χρονική στιγμή, πέφτει από την ακραία πάνω θέση στο πλάι με μηδενική ταχύτητα και στη συνέχεια το σηκώνει σταδιακά. Τελικά σταματά, επιστρέφοντας στην αρχική του θέση.
Αν το πλάτος των ταλαντώσεων του εκκρεμούς πλησιάζει τον αριθμό π, αυτό δείχνει ότι η κίνηση στο επίπεδο φάσης πλησιάζει τον διαχωρισμό. Σε αυτή την περίπτωση, κάτω από τη δράση μιας μικρής κινητήριας περιοδικής δύναμης, το μηχανικό σύστημα παρουσιάζει χαοτική συμπεριφορά.
Όταν το μαθηματικό εκκρεμές αποκλίνει από τη θέση ισορροπίας με μια ορισμένη γωνία φ, προκύπτει μια εφαπτομενική δύναμη βαρύτητας Fτ=–mg sin φ. Το σύμβολο μείον σημαίνει ότι αυτή η εφαπτομενική συνιστώσα κατευθύνεται προς την αντίθετη κατεύθυνση από την εκτροπή του εκκρεμούς. Όταν η μετατόπιση του εκκρεμούς κατά μήκος του τόξου ενός κύκλου με ακτίνα L συμβολίζεται με x, η γωνιακή του μετατόπιση είναι ίση με φ=x/L. Ο δεύτερος νόμος του Ισαάκ Νεύτωνα, σχεδιασμένος για προβολές του διανύσματος επιτάχυνσης και της δύναμης, θα δώσει την επιθυμητή τιμή:
mg τ=Fτ=–mg sin x/L
Με βάση αυτόν τον λόγο, είναι σαφές ότι αυτό το εκκρεμές είναι ένα μη γραμμικό σύστημα, καθώς η δύναμη που επιδιώκει να επιστρέψειείναι πάντα ανάλογο προς τη θέση ισορροπίας όχι με τη μετατόπιση x, αλλά με το sin x/L.
Μόνο όταν το μαθηματικό εκκρεμές κάνει μικρές ταλαντώσεις, είναι αρμονικός ταλαντωτής. Με άλλα λόγια, γίνεται ένα μηχανικό σύστημα ικανό να εκτελεί αρμονικές δονήσεις. Αυτή η προσέγγιση ισχύει πρακτικά για γωνίες 15–20°. Οι ταλαντώσεις του εκκρεμούς με μεγάλα πλάτη δεν είναι αρμονικές.
Νόμος του Νεύτωνα για μικρές ταλαντώσεις εκκρεμούς
Εάν αυτό το μηχανικό σύστημα εκτελεί μικρές δονήσεις, ο 2ος νόμος του Νεύτωνα θα μοιάζει με αυτό:
mg τ=Fτ=–m g/L x.
Με βάση αυτό, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι η εφαπτομενική επιτάχυνση του μαθηματικού εκκρεμούς είναι ανάλογη της μετατόπισής του με πρόσημο μείον. Αυτή είναι η συνθήκη λόγω της οποίας το σύστημα γίνεται αρμονικός ταλαντωτής. Ο συντελεστής του αναλογικού κέρδους μεταξύ μετατόπισης και επιτάχυνσης είναι ίσος με το τετράγωνο της κυκλικής συχνότητας:
ω02=g/L; ω0=√ g/L.
Αυτός ο τύπος αντικατοπτρίζει τη φυσική συχνότητα των μικρών ταλαντώσεων αυτού του τύπου εκκρεμούς. Με βάση αυτό, T=2π/ ω0=2π√ g/L.
Υπολογισμοί βάσει του νόμου διατήρησης της ενέργειας
Οι ιδιότητες των ταλαντωτικών κινήσεων του εκκρεμούς μπορούν επίσης να περιγραφούν χρησιμοποιώντας το νόμο της διατήρησης της ενέργειας. Σε αυτή την περίπτωση, θα πρέπει να ληφθεί υπόψη ότι η δυναμική ενέργεια του εκκρεμούς στο βαρυτικό πεδίο είναι:
E=mg∆h=mgL(1 – cos α)=mgL2sin2 α/2
Συνολική μηχανική ενέργειαισούται με κινητικό ή μέγιστο δυναμικό: Epmax=Ekmsx=E
Αφού γραφτεί ο νόμος διατήρησης της ενέργειας, πάρτε την παράγωγο της δεξιάς και της αριστερής πλευράς της εξίσωσης:
Ep + Ek=const
Δεδομένου ότι η παράγωγος των σταθερών τιμών είναι 0, τότε (Ep + Ek)'=0. Η παράγωγος του αθροίσματος είναι ίση με το άθροισμα των παραγώγων:
Ep'=(mg/Lx2/2)'=mg/2L2xx'=mg/Lv + Ek'=(mv2/2)=m/2(v2)'=m/22vv'=mv α, άρα:
Mg/Lxv + mva=v (mg/Lx + m α)=0.
Με βάση τον τελευταίο τύπο, βρίσκουμε: α=- g/Lx.
Πρακτική εφαρμογή του μαθηματικού εκκρεμούς
Η επιτάχυνση της ελεύθερης πτώσης ποικίλλει ανάλογα με το γεωγραφικό πλάτος, καθώς η πυκνότητα του φλοιού της γης σε ολόκληρο τον πλανήτη δεν είναι η ίδια. Όπου εμφανίζονται πετρώματα με μεγαλύτερη πυκνότητα, θα είναι κάπως υψηλότερη. Η επιτάχυνση ενός μαθηματικού εκκρεμούς χρησιμοποιείται συχνά για γεωλογική εξερεύνηση. Χρησιμοποιείται για την αναζήτηση διαφόρων ορυκτών. Απλώς μετρώντας τον αριθμό των ταλαντώσεων του εκκρεμούς, μπορείτε να βρείτε άνθρακα ή μετάλλευμα στα έγκατα της Γης. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι τέτοια απολιθώματα έχουν πυκνότητα και μάζα μεγαλύτερη από τα χαλαρά πετρώματα που βρίσκονται κάτω από αυτά.
Το μαθηματικό εκκρεμές χρησιμοποιήθηκε από εξέχοντες επιστήμονες όπως ο Σωκράτης, ο Αριστοτέλης, ο Πλάτωνας, ο Πλούταρχος, ο Αρχιμήδης. Πολλοί από αυτούς πίστευαν ότι αυτό το μηχανικό σύστημα θα μπορούσε να επηρεάσει τη μοίρα και τη ζωή ενός ατόμου. Ο Αρχιμήδης χρησιμοποίησε ένα μαθηματικό εκκρεμές στους υπολογισμούς του. Στις μέρες μας πολλοί αποκρυφιστές και μέντιουμχρησιμοποιήστε αυτό το μηχανικό σύστημα για να εκπληρώσετε τις προφητείες τους ή να αναζητήσετε αγνοούμενους.
Ο διάσημος Γάλλος αστρονόμος και φυσιοδίφης K. Flammarion χρησιμοποίησε επίσης ένα μαθηματικό εκκρεμές για την έρευνά του. Ισχυρίστηκε ότι με τη βοήθειά του ήταν σε θέση να προβλέψει την ανακάλυψη ενός νέου πλανήτη, την εμφάνιση του μετεωρίτη Tunguska και άλλα σημαντικά γεγονότα. Κατά τη διάρκεια του Β' Παγκοσμίου Πολέμου στη Γερμανία (Βερολίνο) εργάστηκε ένα εξειδικευμένο Ινστιτούτο Εκκρεμών. Σήμερα, το Ινστιτούτο Παραψυχολογίας του Μονάχου ασχολείται με παρόμοια έρευνα. Οι υπάλληλοι αυτού του ιδρύματος αποκαλούν την εργασία τους με το εκκρεμές "radiesthesia".
