Το παράδοξο της θεωρίας της δημόσιας επιλογής περιγράφηκε για πρώτη φορά από τον Μαρκήσιο Κοντορσέ το 1785, το οποίο γενικεύτηκε με επιτυχία τη δεκαετία του '50 του περασμένου αιώνα από τον Αμερικανό οικονομολόγο K. Arrow. Το θεώρημα του Arrow απαντά σε μια πολύ απλή ερώτηση στη θεωρία συλλογικών αποφάσεων. Ας υποθέσουμε ότι υπάρχουν πολλαπλές επιλογές στην πολιτική, στα δημόσια έργα ή στην κατανομή εισοδήματος, και υπάρχουν άνθρωποι των οποίων οι προτιμήσεις καθορίζουν αυτές τις επιλογές.
Το ερώτημα είναι ποιες διαδικασίες υπάρχουν για τον ποιοτικό προσδιορισμό της επιλογής. Και πώς να μάθετε για τις προτιμήσεις, για τη συλλογική ή κοινωνική διάταξη των εναλλακτικών, από το καλύτερο στο χειρότερο. Η απάντηση του Arrow σε αυτήν την ερώτηση εξέπληξε πολλούς.
Το θεώρημα του Arrow λέει ότι δεν υπάρχουν καθόλου τέτοιες διαδικασίες - σε κάθε περίπτωση, δεν αντιστοιχούν σε ορισμένες και αρκετά λογικές προτιμήσεις των ανθρώπων. Το τεχνικό πλαίσιο του Arrow, στο οποίο έδωσε σαφές νόημα στο πρόβλημα των κοινωνικών συμβάσεων, και η αυστηρή απάντησή του χρησιμοποιούνται τώρα ευρέως για τη μελέτη προβλημάτων στην κοινωνική οικονομία. Το ίδιο το θεώρημα αποτέλεσε τη βάση της σύγχρονης θεωρίας της δημόσιας επιλογής.
Θεωρία της δημόσιας επιλογής
Το θεώρημα του Arrow δείχνει ότι εάν οι ψηφοφόροι έχουν τουλάχιστον τρεις εναλλακτικές, τότε δεν υπάρχει εκλογικό σύστημα που θα μπορούσε να μετατρέψει την επιλογή των ατόμων σε κοινή γνώμη.
Η συγκλονιστική δήλωση προήλθε από τον οικονομολόγο και βραβευμένο με Νόμπελ Κένεθ Τζόζεφ Άροου, ο οποίος έδειξε αυτό το παράδοξο στη διδακτορική του διατριβή και το δημοσιοποίησε στο βιβλίο του το 1951 Social Choice and Individual Values. Ο τίτλος του αρχικού άρθρου είναι "Δυσκολίες στην έννοια της κοινωνικής ασφάλισης".
Το θεώρημα του Arrow δηλώνει ότι είναι αδύνατο να σχεδιαστεί ένα εκλογικό σύστημα με τάξη που θα πληρούσε πάντα δίκαια κριτήρια:
- Όταν ένας ψηφοφόρος επιλέξει την εναλλακτική Χ έναντι Υ, τότε η κοινότητα των ψηφοφόρων θα προτιμήσει το Χ από το Υ. Εάν οι επιλογές καθενός από τους ψηφοφόρους Χ και Υ παραμείνουν αμετάβλητες, τότε η επιλογή της κοινωνίας Χ και Υ θα είναι η το ίδιο ακόμα κι αν οι ψηφοφόροι επιλέξουν άλλα ζεύγη X και Z, Y και Z, ή Z και W.
- Δεν υπάρχει "δικτάτορας της επιλογής" επειδή ένας ψηφοφόρος δεν μπορεί να επηρεάσει την επιλογή μιας ομάδας.
- Τα υπάρχοντα εκλογικά συστήματα δεν καλύπτουν τις απαιτούμενες απαιτήσεις, καθώς παρέχουν περισσότερες πληροφορίες από την τακτική κατάταξη.
Κρατικά συστήματα κοινωνικής διαχείρισης
Αν και ο Αμερικανός οικονομολόγος Kenneth Arrow έλαβε το Νόμπελ Οικονομικών, το έργο ήταν πιο χρήσιμο για την ανάπτυξη των κοινωνικών επιστημών, αφού το «Θεώρημα Αδυναμίας» του Arrow σηματοδότησε την αρχή μιας εντελώς νέας κατεύθυνσης στα οικονομικά - κοινωνική επιλογή. Αυτή η βιομηχανία προσπαθεί να αναλύσει μαθηματικά την υιοθέτηση κοινών αποφάσεων, ιδίως στον τομέα των δημόσιων συστημάτων κοινωνικής διαχείρισης.
Επιλογή είναι η δημοκρατία στην πράξη. Ο κόσμος πηγαίνει στις κάλπες και εκφράζει τις προτιμήσεις του και στο τέλος πρέπει να ενωθούν οι προτιμήσεις πολλών ανθρώπων για να πάρουν κοινή απόφαση. Γι' αυτό η επιλογή της μεθόδου ψηφοφορίας είναι πολύ σημαντική. Υπάρχει όμως πραγματικά τέλεια ψήφος; Σύμφωνα με τα αποτελέσματα της θεωρίας του Arrow, που ελήφθη το 1950, η απάντηση είναι αρνητική. Εάν "ιδανικό" σημαίνει μια προτιμησιακή μέθοδο ψηφοφορίας που πληροί τα κριτήρια που ορίζονται από εύλογες μεθόδους ψηφοφορίας.
Η προτιμώμενη μέθοδος ψηφοφορίας είναι η κατάταξη, όπου οι ψηφοφόροι βαθμολογούν όλους τους υποψηφίους σύμφωνα με τις προτιμήσεις τους και με βάση αυτές τις βαθμολογίες, το αποτέλεσμα είναι: άλλη μια λίστα όλων των υποψηφίων που θα υποβληθεί με την κοινή βούληση του λαού. Σύμφωνα με το Θεώρημα Αδυναμίας του Arrow, μπορεί να καθοριστεί μια λογική μέθοδος ψηφοφορίας:
- Χωρίς δικτάτορες (ND) - το αποτέλεσμα δεν πρέπει πάντα να ταιριάζει με την αξιολόγηση ενός συγκεκριμένου ατόμου.
- Αποτελεσματικότητα Pareto (PE) - εάν κάθε ψηφοφόρος προτιμά τον υποψήφιο Α από τον υποψήφιο Β, τότε το αποτέλεσμα πρέπει να υποδεικνύειυποψήφιος Α έναντι του υποψήφιου Β.
- Ανεξαρτησία Ασυμβίβαστων Εναλλακτικών Επιλογών (IIA) είναι η σχετική βαθμολογία των υποψηφίων Α, Β και δεν πρέπει να αλλάξει εάν οι ψηφοφόροι αλλάξουν τη βαθμολογία άλλων υποψηφίων, αλλά δεν αλλάξουν τη σχετική βαθμολογία τους Α και Β.
Σύμφωνα με το θεώρημα του Arrow, αποδεικνύεται ότι στην περίπτωση εκλογών με τρία ή περισσότερα κριτήρια, δεν υπάρχουν συναρτήσεις κοινωνικής επιλογής που θα ήταν κατάλληλες ταυτόχρονα για ND, PE και IIA.
Σύστημα ορθολογικής επιλογής
Η ανάγκη για συγκέντρωση προτιμήσεων εκδηλώνεται σε πολλούς τομείς της ανθρώπινης ζωής:
- Τα οικονομικά της ευημερίας χρησιμοποιούν μικροοικονομικές μεθόδους για τη μέτρηση της ευημερίας σε συνολικό οικονομικό επίπεδο. Μια τυπική μεθοδολογία ξεκινά με την εξαγωγή ή το συμπέρασμα μιας συνάρτησης ευημερίας, η οποία μπορεί στη συνέχεια να χρησιμοποιηθεί για την ταξινόμηση των οικονομικά υγιών κατανομών πόρων από την άποψη της ευημερίας. Σε αυτήν την περίπτωση, τα κράτη προσπαθούν να βρουν ένα οικονομικά βιώσιμο και βιώσιμο αποτέλεσμα.
- Στη θεωρία αποφάσεων, όταν ένα άτομο πρέπει να κάνει μια λογική επιλογή με βάση πολλά κριτήρια.
- Στα εκλογικά συστήματα, που είναι μηχανισμοί για να βρεθεί μια ενιαία λύση από τις προτιμήσεις πολλών ψηφοφόρων.
Υπό τις συνθήκες του θεωρήματος του Arrow, διακρίνεται η σειρά προτιμήσεων για ένα δεδομένο σύνολο παραμέτρων (αποτελέσματα). Κάθε μονάδα στην κοινωνία, ή κάθε κριτήριο απόφασης, εκχωρεί μια συγκεκριμένη σειρά προτίμησης σε σχέση με ένα σύνολο αποτελεσμάτων. Η κοινωνία αναζητά σύστημαψηφοφορία βάσει κατάταξης, που ονομάζεται συνάρτηση ευημερίας.
Αυτός ο κανόνας συγκέντρωσης προτιμήσεων μετατρέπει ένα προφίλ προτιμήσεων που έχει οριστεί σε μία παγκόσμια δημόσια τάξη. Η δήλωση του Arrow αναφέρει ότι εάν ένα διοικητικό όργανο έχει τουλάχιστον δύο ψηφοφόρους και τρία κριτήρια επιλογής, είναι αδύνατο να δημιουργηθεί μια συνάρτηση πρόνοιας που θα ικανοποιεί όλες αυτές τις προϋποθέσεις ταυτόχρονα.
Για κάθε σύνολο μεμονωμένων προτιμήσεων ψηφοφόρων, η συνάρτηση ευημερίας πρέπει να εκτελεί μια μοναδική και ολοκληρωμένη βαθμολογία δημόσιας επιλογής:
- Αυτό πρέπει να γίνει με τέτοιο τρόπο ώστε το αποτέλεσμα να είναι μια πλήρης αξιολόγηση των προτιμήσεων του κοινού.
- Πρέπει ντετερμινιστικά να δίνει την ίδια βαθμολογία όταν οι προτιμήσεις των ψηφοφόρων φαίνεται να είναι οι ίδιες.
Ανεξαρτησία από άσχετες εναλλακτικές λύσεις (IIA)
Η επιλογή μεταξύ X και Y συνδέεται αποκλειστικά με τις προτιμήσεις του ατόμου μεταξύ X και Y - αυτή είναι η ανεξαρτησία σε ζεύγη (ανεξαρτησία κατά ζεύγη), σύμφωνα με το θεώρημα "Impossibility of Democracy" του Arrow. Ταυτόχρονα, μια αλλαγή στην αξιολόγηση ενός ατόμου για άσχετες εναλλακτικές λύσεις που βρίσκονται εκτός τέτοιων ομάδων δεν επηρεάζει την κοινωνική αξιολόγηση αυτού του υποσυνόλου. Για παράδειγμα, η υποβολή τρίτου υποψηφίου σε εκλογές με δύο υποψηφίους δεν έχει καμία επίδραση στο αποτέλεσμα των εκλογών εκτός εάν κερδίσει ο τρίτος υποψήφιος.
Η κοινωνία χαρακτηρίζεται από μονοτονία και θετικό συνδυασμό κοινωνικών και ατομικών αξιών. Εάν ένα άτομο αλλάξει τη σειρά προτίμησής του προωθώντας μια συγκεκριμένη επιλογή, τότε η παραγγελίαοι προτιμήσεις της κοινωνίας θα πρέπει να αντιστοιχούν στην ίδια επιλογή χωρίς αλλαγή. Ένα άτομο δεν θα πρέπει να μπορεί να βλάψει μια επιλογή με την υψηλότερη τιμή.
Στο θεώρημα της αδυναμίας, η αποτελεσματικότητα και η δικαιοσύνη στην κοινωνία διασφαλίζονται μέσω της κυριαρχίας του πολίτη. Κάθε πιθανή κοινωνική τάξη προτίμησης πρέπει να είναι εφικτή με κάποιο σύνολο ατομικών εντολών προτίμησης. Αυτό σημαίνει ότι η συνάρτηση ευημερίας είναι επιφανειακή - έχει απεριόριστο χώρο στόχο. Μια μεταγενέστερη (1963) έκδοση του θεωρήματος του Arrow αντικατέστησε τα κριτήρια μονοτονίας και μη επικάλυψης.
Παρέτο. Αποτελεσματικότητα ή ομοφωνία;
Αν κάθε άτομο προτιμά μια συγκεκριμένη επιλογή από μια άλλη, τότε θα πρέπει να το κάνει και η σειρά κοινωνικής προτίμησης. Είναι σημαντικό η λειτουργία ευημερίας να είναι ελάχιστα ευαίσθητη στο προφίλ προτίμησης. Αυτή η μεταγενέστερη έκδοση είναι πιο γενική και έχει κάπως πιο αδύναμες συνθήκες. Τα αξιώματα της ομοιομορφίας, χωρίς επικάλυψη, μαζί με το IIA, υποδηλώνουν την αποτελεσματικότητα Pareto. Ταυτόχρονα, δεν συνεπάγεται επικάλυψη IIA και δεν συνεπάγεται μονοτονία.
Το IIA έχει τρεις σκοπούς:
- Τυπικό. Οι άσχετες εναλλακτικές δεν πρέπει να έχουν σημασία.
- Πρακτικό. Χρήση ελάχιστων πληροφοριών.
- Στρατηγική. Παροχή των κατάλληλων κινήτρων για τον αληθινό προσδιορισμό των ατομικών προτιμήσεων. Αν και ο στρατηγικός στόχος είναι εννοιολογικά διαφορετικός από το IIA, συνδέονται στενά.
Η αποτελεσματικότητα Pareto, που πήρε το όνομά της από τον Ιταλό οικονομολόγο και πολιτικό επιστήμονα Vilfredo Pareto (1848-1923), χρησιμοποιείται στα νεοκλασικά οικονομικά μαζί με τη θεωρητική έννοια του τέλειου ανταγωνισμού ως σημείο αναφοράς για την αξιολόγηση της αποτελεσματικότητας των πραγματικών αγορών. Πρέπει να σημειωθεί ότι κανένα από τα αποτελέσματα δεν επιτυγχάνεται εκτός οικονομικής θεωρίας. Υποθετικά, εάν υπήρχε τέλειος ανταγωνισμός και οι πόροι χρησιμοποιούνταν όσο το δυνατόν πιο αποτελεσματικά, τότε όλοι θα είχαν το υψηλότερο βιοτικό επίπεδο ή την αποτελεσματικότητα Pareto.
Στην πράξη, είναι αδύνατο να αναληφθεί οποιαδήποτε κοινωνική δράση, όπως μια αλλαγή στην οικονομική πολιτική, χωρίς να επιδεινωθεί η κατάσταση τουλάχιστον ενός ατόμου, επομένως η έννοια της βελτίωσης Pareto έχει βρει ευρύτερη εφαρμογή στα οικονομικά. Μια βελτίωση Pareto συμβαίνει όταν μια αλλαγή στη διανομή δεν βλάπτει κανέναν και βοηθά τουλάχιστον ένα άτομο, δεδομένης της αρχικής διανομής των αγαθών σε μια ομάδα ανθρώπων. Η θεωρία προτείνει ότι οι βελτιώσεις Pareto θα συνεχίσουν να προσθέτουν αξία στην οικονομία έως ότου επιτευχθεί μια ισορροπία Pareto, όταν δεν μπορούν να γίνουν άλλες βελτιώσεις.
Τυπική δήλωση του θεωρήματος
Έστω A το σύνολο αποτελεσμάτων, N ο αριθμός των ψηφοφόρων ή τα κριτήρια απόφασης. Δηλώστε το σύνολο όλων των πλήρων γραμμικών παραγγελιών από το A έως το L (A). Η συνάρτηση αυστηρής κοινωνικής ασφάλισης (κανόνας συνάθροισης προτιμήσεων) είναι μια συνάρτηση που συγκεντρώνει τις προτιμήσεις των ψηφοφόρων σε μια εφάπαξ σειρά προτίμησης απόΑ.
N - μια πλειάδα (R 1, …, R N) ∈ L (A) N των προτιμήσεων των ψηφοφόρων ονομάζεται προφίλ προτίμησης. Στην ισχυρότερη και απλούστερη μορφή του, το θεώρημα αδυναμίας του Arrow δηλώνει ότι όποτε το σύνολο των πιθανών εναλλακτικών A έχει περισσότερα από 2 στοιχεία, οι ακόλουθες τρεις συνθήκες γίνονται ασυνεπείς:
- Ομοφωνία ή ασθενής αποτελεσματικότητα Pareto. Εάν η εναλλακτική A κατατάσσεται αυστηρά πάνω από το B για όλες τις τάξεις R 1, …, R N, τότε το A κατατάσσεται αυστηρά πάνω από το B στο F (R 1, R 2, …, R N). Ταυτόχρονα, η ομοφωνία συνεπάγεται την απουσία επιβολής.
- Μη δικτατορία. Δεν υπάρχει ατομικό «εγώ» που να υπερισχύουν πάντα οι αυστηρές προτιμήσεις. Δηλαδή, δεν υπάρχει I ∈ {1, …, N }, το οποίο για όλους (R 1, …, R N) ∈ L (A) N, κατατάσσεται αυστηρά υψηλότερα από το B από το R. Το "I" κατατάσσεται αυστηρά υψηλότερα από το B πάνω από F (R 1, R 2, …, R N), για όλα τα A και B.
- Ανεξαρτησία από άσχετες εναλλακτικές. Για δύο προφίλ προτιμήσεων (R 1, …, R N) και (S 1, …, S N) έτσι ώστε για όλα τα άτομα I, οι εναλλακτικές A και B έχουν την ίδια σειρά στο R i όπως στο S i, οι εναλλακτικές A και B έχουν την ίδια σειρά στο F (R 1, R 2, …, R N) όπως στο F (S 1, S2, …, S N).
Ερμηνεία του θεωρήματος
Αν και το Θεώρημα Αδυναμίας είναι μαθηματικά αποδεδειγμένο, συχνά εκφράζεται με μη μαθηματικό τρόπο με τη δήλωση ότι καμία μέθοδος ψηφοφορίας δεν είναι δίκαιη, κάθε μέθοδος ψηφοφορίας κατάταξης έχει ελαττώματα ή η μόνη μέθοδος ψηφοφορίας που δεν είναι λάθος είναι μια δικτατορία. Αυτές οι δηλώσεις είναι μια απλοποίησηΤο αποτέλεσμα του Arrow, το οποίο δεν θεωρείται πάντα σωστό. Το θεώρημα του Arrow δηλώνει ότι ένας ντετερμινιστικός μηχανισμός προτιμησιακής ψηφοφορίας, δηλαδή ένας στον οποίο η σειρά προτίμησης είναι η μόνη πληροφορία στην ψηφοφορία και κάθε πιθανό σύνολο ψήφων παράγει ένα μοναδικό αποτέλεσμα, δεν μπορεί να ικανοποιήσει όλες τις παραπάνω προϋποθέσεις ταυτόχρονα.
Διάφοροι θεωρητικοί έχουν προτείνει τη χαλάρωση του κριτηρίου IIA ως διέξοδο από το παράδοξο. Οι υποστηρικτές των μεθόδων αξιολόγησης υποστηρίζουν ότι η ΔΣ είναι ένα αδικαιολόγητα ισχυρό κριτήριο που παραβιάζεται στα περισσότερα χρήσιμα εκλογικά συστήματα. Οι υποστηρικτές αυτής της θέσης επισημαίνουν ότι η αποτυχία εκπλήρωσης του τυπικού κριτηρίου IIA υπονοείται ασήμαντα από την πιθανότητα κυκλικών προτιμήσεων. Αν οι ψηφοφόροι ψηφίσουν ως εξής:
- 1 ψήφος για A> B> C;
- 1 ψήφος για B> C> A;
- 1 ψήφος για C> A> B.
Στη συνέχεια, η πλειοψηφία διπλασιάζει την προτίμηση της ομάδας είναι ότι ο Α νικάει το Β, ο Β τον Γ και ο Γ νικάει τον Α, και αυτό έχει ως αποτέλεσμα μια προτίμηση ψαλιδιού-πέτρα-ψαλίδι για οποιαδήποτε σύγκριση ζεύγους.
Σε αυτήν την περίπτωση, οποιοσδήποτε κανόνας συγκέντρωσης που ικανοποιεί τη βασική απαίτηση πλειοψηφίας ότι ο υποψήφιος με τις περισσότερες ψήφους πρέπει να κερδίσει τις εκλογές θα αποτύχει στο κριτήριο IIA εάν οι κοινωνικές προτιμήσεις πρέπει να είναι μεταβατικές ή άκυκλες. Για να το δούμε αυτό, υποτίθεται ότι ένας τέτοιος κανόνας ικανοποιεί το IIA. Από τις προτιμήσεις της πλειοψηφίαςπαρατηρούνται, η κοινωνία ευνοεί το Α - Β (δύο ψήφοι για το Α> Β και μια για το Β> Α), Β - Γ και Γ - Α. Έτσι, δημιουργείται ένας κύκλος που έρχεται σε αντίθεση με την υπόθεση ότι οι κοινωνικές προτιμήσεις είναι μεταβατικές.
Έτσι, το θεώρημα του Arrow δείχνει πράγματι ότι κάθε εκλογικό σύστημα με τις περισσότερες νίκες είναι ένα μη τετριμμένο παιχνίδι και ότι η θεωρία παιγνίων θα πρέπει να χρησιμοποιείται για την πρόβλεψη του αποτελέσματος των περισσότερων μηχανισμών ψηφοφορίας. Αυτό μπορεί να θεωρηθεί ως αποθαρρυντικό αποτέλεσμα επειδή το παιχνίδι δεν πρέπει να έχει αποτελεσματικές ισορροπίες, για παράδειγμα, η ψηφοφορία μπορεί να οδηγήσει σε μια εναλλακτική που κανείς δεν ήθελε πραγματικά, αλλά όλοι ψήφισαν.
Κοινωνική επιλογή αντί για προτίμηση
Ορθολογική συλλογική επιλογή του μηχανισμού ψηφοφορίας σύμφωνα με το θεώρημα του Arrow δεν είναι ο στόχος της κοινωνικής λήψης αποφάσεων. Συχνά αρκεί να βρεις κάποια εναλλακτική. Η εναλλακτική προσέγγιση επικεντρωμένη στην επιλογή διερευνά είτε συναρτήσεις κοινωνικής επιλογής που αντιστοιχίζουν κάθε προφίλ προτίμησης είτε κανόνες κοινωνικής επιλογής, συναρτήσεις που αντιστοιχίζουν κάθε προφίλ προτίμησης σε ένα υποσύνολο εναλλακτικών.
Όσον αφορά τις συναρτήσεις κοινωνικής επιλογής, είναι γνωστό το θεώρημα Gibbard-Satterthwaite, το οποίο δηλώνει ότι εάν μια συνάρτηση κοινωνικής επιλογής της οποίας το εύρος περιέχει τουλάχιστον τρεις εναλλακτικές είναι στρατηγικά σταθερή, τότε είναι δικτατορική. Λαμβάνοντας υπόψη τους κανόνες της κοινωνικής επιλογής, πιστεύουν ότι οι κοινωνικές προτιμήσεις στέκονται πίσω τους.
Δηλαδή θεωρούν τον κανόνα ως επιλογήμέγιστα στοιχεία - οι καλύτερες εναλλακτικές σε οποιαδήποτε κοινωνική προτίμηση. Το σύνολο των στοιχείων μέγιστης κοινωνικής προτίμησης ονομάζεται πυρήνας. Οι προϋποθέσεις για την ύπαρξη εναλλακτικής στον πυρήνα μελετήθηκαν σε δύο προσεγγίσεις. Η πρώτη προσέγγιση υποθέτει ότι οι προτιμήσεις είναι τουλάχιστον ακυκλικές, κάτι που είναι απαραίτητο και επαρκές για να έχουν οι προτιμήσεις ένα μέγιστο στοιχείο σε οποιοδήποτε πεπερασμένο υποσύνολο.
Για αυτόν τον λόγο, σχετίζεται στενά με τη χαλαρωτική μεταβατικότητα. Η δεύτερη προσέγγιση απορρίπτει την υπόθεση των ακυκλικών προτιμήσεων. Ο Kumabe και ο Mihara υιοθέτησαν αυτήν την προσέγγιση. Έκαναν την πιο συνεπή υπόθεση ότι οι ατομικές προτιμήσεις έχουν μεγαλύτερη σημασία.
Σχετική αποστροφή κινδύνου
Υπάρχουν αρκετοί δείκτες αποστροφής κινδύνου που εκφράζονται από τη συνάρτηση χρησιμότητας στο θεώρημα του Arrow Pratt. Απόλυτη αποστροφή κινδύνου - όσο μεγαλύτερη είναι η καμπυλότητα u(c), τόσο μεγαλύτερη είναι η αποστροφή κινδύνου. Ωστόσο, δεδομένου ότι οι αναμενόμενες συναρτήσεις χρησιμότητας δεν ορίζονται μοναδικά, το απαραίτητο μέτρο παραμένει σταθερό σε σχέση με αυτούς τους μετασχηματισμούς. Ένα τέτοιο μέτρο είναι το μέτρο Arrow-Pratt της απόλυτης αποστροφής κινδύνου (ARA), αφού οι οικονομολόγοι Kenneth Arrow και John W. Pratt όρισαν τον απόλυτο δείκτη αποστροφής κινδύνου ως
A (γ)=- {u '' (γ)}/ {u '(γ)}, όπου: u '(c) και u '' (γ) δηλώνουν την πρώτη και τη δεύτερη παράγωγο σε σχέση με το "c" του "u (c)".
Τα πειραματικά και τα εμπειρικά δεδομένα είναι γενικά σύμφωνα με τη μείωση της απόλυτης αποστροφής κινδύνου. σχετικό μέτροArrow Pratt Risk Aversion (ACR) ή Relative Risk Aversion Ratio ορίζεται από:
R (c)=cA (c)={-cu '' (c)} /{u '(c) R (c).
Όπως και με την αποστροφή του απόλυτου κινδύνου, οι αντίστοιχοι όροι που χρησιμοποιούνται είναι η αποστροφή σταθερού σχετικού κινδύνου (CRRA) και η φθίνουσα/αυξανόμενη αποστροφή σχετικού κινδύνου (DRRA/IRRA). Το πλεονέκτημα αυτής της ποσότητας είναι ότι εξακολουθεί να είναι ένα έγκυρο μέτρο αποστροφής κινδύνου ακόμα κι αν η συνάρτηση χρησιμότητας αλλάξει από την τάση κινδύνου, δηλαδή η χρησιμότητα δεν είναι αυστηρά κυρτή/κοίλη σε όλα τα "c". Ένα σταθερό RRA συνεπάγεται μείωση του ARA της θεωρίας του Arrow Pratt, αλλά το αντίστροφο δεν ισχύει πάντα. Ως συγκεκριμένο παράδειγμα σταθερής αποστροφής σχετικού κινδύνου, η συνάρτηση χρησιμότητας: u(c)=log(c), υποδηλώνει RRA=1.
Αριστερό γράφημα: η συνάρτηση χρησιμότητας αποφυγής κινδύνου είναι κοίλη από κάτω και η συνάρτηση χρησιμότητας αποφυγής κινδύνου είναι κυρτή. Μεσαίο γράφημα - στο διάστημα των αναμενόμενων τιμών τυπικής απόκλισης, οι καμπύλες αδιαφορίας κινδύνου έχουν κλίση προς τα πάνω. Δεξιά γραφική παράσταση - με σταθερές πιθανότητες των δύο εναλλακτικών καταστάσεων 1 και 2, οι καμπύλες αδιαφορίας αποστροφής κινδύνου πάνω από ζεύγη αποτελεσμάτων που εξαρτώνται από την κατάσταση είναι κυρτές.
Ονομαστικό εκλογικό σύστημα
Αρχικά, ο Arrow απέρριψε τη βασική χρησιμότητα ως σημαντικό εργαλείο για την έκφραση της κοινωνικής ευημερίας, έτσι επικέντρωσε τους ισχυρισμούς του στις προτιμήσεις κατάταξης, αλλά αργότερακατέληξε στο συμπέρασμα ότι ένα βασικό σύστημα αξιολόγησης με τρεις ή τέσσερις κατηγορίες είναι ίσως το καλύτερο. Σύμφωνα με το θεώρημα της αδυναμίας, η δημόσια επιλογή προϋποθέτει ότι διατάσσονται ατομικές και κοινωνικές προτιμήσεις, δηλαδή ικανοποίηση με την πληρότητα και τη μεταβατικότητα σε διάφορες εναλλακτικές. Αυτό σημαίνει ότι εάν οι προτιμήσεις αντιπροσωπεύονται από μια συνάρτηση χρησιμότητας, η τιμή της είναι χρήσιμη με την έννοια ότι έχει νόημα, καθώς μια υψηλότερη τιμή σημαίνει καλύτερη εναλλακτική λύση.
Οι πρακτικές εφαρμογές του θεωρήματος χρησιμοποιούνται για την αξιολόγηση ευρειών κατηγοριών συστημάτων ψηφοφορίας. Το κύριο επιχείρημα του Arrow υποστηρίζει ότι τα συστήματα διαταγής ψηφοφορίας πρέπει πάντα να παραβιάζουν τουλάχιστον ένα από τα κριτήρια δικαιοσύνης που περιέγραψε. Η πρακτική συνέπεια αυτού είναι ότι τα συστήματα ψηφοφορίας που δεν είναι εντάξει πρέπει να μελετηθούν. Για παράδειγμα, τα συστήματα ψηφοφορίας κατάταξης όπου οι ψηφοφόροι δίνουν βαθμούς σε κάθε υποψήφιο μπορεί να πληρούν όλα τα κριτήρια του Arrow.
Στην πραγματικότητα, ο μηχανισμός ψηφοφορίας, η ορθολογική συλλογική επιλογή του Θεωρήματος του Arrow και ο επακόλουθος διάλογος, ήταν απίστευτα παραπλανητικός στον τομέα της ψηφοφορίας. Συχνά πιστεύεται από φοιτητές και μη ειδικούς ότι κανένα σύστημα ψηφοφορίας δεν μπορεί να πληροί τα κριτήρια δικαιοσύνης του Arrow, ενώ, στην πραγματικότητα, τα συστήματα αξιολόγησης μπορούν και πληρούν όλα τα κριτήρια του Arrow.
