Γενική εξίσωση ευθείας γραμμής σε επίπεδο, στο διάστημα

2024 Συγγραφέας: Angel Austin | [email protected]. Τελευταία τροποποίηση: 2024-01-02 17:44

Στη γεωμετρία, μετά από ένα σημείο, η ευθεία είναι ίσως το απλούστερο στοιχείο. Χρησιμοποιείται στην κατασκευή οποιωνδήποτε πολύπλοκων μορφών στο επίπεδο και σε τρισδιάστατο χώρο. Σε αυτό το άρθρο, θα εξετάσουμε τη γενική εξίσωση μιας ευθείας γραμμής και θα λύσουμε μερικά προβλήματα χρησιμοποιώντας την. Ας ξεκινήσουμε!

Ευθεία γραμμή στη γεωμετρία

Όλοι γνωρίζουν ότι σχήματα όπως ορθογώνιο, τρίγωνο, πρίσμα, κύβος και ούτω καθεξής σχηματίζονται από τέμνουσες ευθείες γραμμές. Μια ευθεία γραμμή στη γεωμετρία είναι ένα μονοδιάστατο αντικείμενο που μπορεί να ληφθεί μεταφέροντας ένα συγκεκριμένο σημείο σε ένα διάνυσμα που έχει την ίδια ή αντίθετη κατεύθυνση. Για να κατανοήσετε καλύτερα αυτόν τον ορισμό, φανταστείτε ότι υπάρχει κάποιο σημείο P στο χώρο. Πάρτε ένα αυθαίρετο διάνυσμα u¯ σε αυτό το διάστημα. Τότε μπορεί να ληφθεί οποιοδήποτε σημείο Q της ευθείας ως αποτέλεσμα των ακόλουθων μαθηματικών πράξεων:

Q=P + λu¯.

Εδώ το λ είναι ένας αυθαίρετος αριθμός που μπορεί να είναι θετικός ή αρνητικός. Αν η ισότηταγράψτε παραπάνω ως προς τις συντεταγμένες, τότε παίρνουμε την ακόλουθη εξίσωση μιας ευθείας γραμμής:

(x, y, z)=(x₀, y₀, z_{0) + λ(a, b, c).}

Αυτή η ισότητα ονομάζεται εξίσωση μιας ευθείας γραμμής σε διανυσματική μορφή. Και το διάνυσμα u¯ ονομάζεται οδηγός.

Γενική εξίσωση ευθείας γραμμής σε επίπεδο

Κάθε μαθητής μπορεί να το γράψει χωρίς καμία δυσκολία. Αλλά τις περισσότερες φορές η εξίσωση γράφεται ως εξής:

y=kx + b.

Όπου k και b είναι αυθαίρετοι αριθμοί. Ο αριθμός b ονομάζεται ελεύθερο μέλος. Η παράμετρος k είναι ίση με την εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζεται από την τομή της ευθείας με τον άξονα x.

Η παραπάνω εξίσωση εκφράζεται σε σχέση με τη μεταβλητή y. Αν το παρουσιάσουμε σε πιο γενική μορφή, τότε παίρνουμε τον ακόλουθο συμβολισμό:

Ax + By + C=0.

Είναι εύκολο να δείξουμε ότι αυτή η μορφή γραφής της γενικής εξίσωσης μιας ευθείας γραμμής σε ένα επίπεδο μετατρέπεται εύκολα στην προηγούμενη μορφή. Για να γίνει αυτό, το αριστερό και το δεξί μέρος πρέπει να διαιρεθούν με τον παράγοντα Β και να εκφραστούν y.

Το παραπάνω σχήμα δείχνει μια ευθεία που διέρχεται από δύο σημεία.

Μια γραμμή σε τρισδιάστατο χώρο

Ας συνεχίσουμε τη μελέτη μας. Εξετάσαμε το ερώτημα πώς δίνεται η εξίσωση μιας ευθείας σε μια γενική μορφή σε ένα επίπεδο. Αν εφαρμόσουμε τη σημείωση που δίνεται στην προηγούμενη παράγραφο του άρθρου για τη χωρική περίπτωση, τι θα πάρουμε; Όλα είναι απλά - όχι πλέον μια ευθεία γραμμή, αλλά ένα επίπεδο. Πράγματι, η ακόλουθη έκφραση περιγράφει ένα επίπεδο που είναι παράλληλο στον άξονα z:

Ax + By + C=0.

Αν C=0, τότε περνάει ένα τέτοιο επίπεδομέσω του άξονα z. Αυτό είναι ένα σημαντικό χαρακτηριστικό.

Πώς να είναι τότε με τη γενική εξίσωση μιας ευθείας στο διάστημα; Για να καταλάβετε πώς να το ρωτήσετε, πρέπει να θυμάστε κάτι. Δύο επίπεδα τέμνονται κατά μήκος μιας συγκεκριμένης ευθείας. Τι σημαίνει αυτό? Μόνο που η γενική εξίσωση είναι το αποτέλεσμα της επίλυσης ενός συστήματος δύο εξισώσεων για επίπεδα. Ας γράψουμε αυτό το σύστημα:

• A₁x + B₁y + C₁z + D 1_=0;
• A₂x + B₂y + C₂z + D 2_=0.

Αυτό το σύστημα είναι η γενική εξίσωση μιας ευθείας στο διάστημα. Σημειώστε ότι τα επίπεδα δεν πρέπει να είναι παράλληλα μεταξύ τους, δηλαδή τα κανονικά τους διανύσματα πρέπει να είναι κεκλιμένα σε κάποια γωνία μεταξύ τους. Διαφορετικά, το σύστημα δεν θα έχει λύσεις.

Παραπάνω δώσαμε τη διανυσματική μορφή της εξίσωσης για μια ευθεία γραμμή. Είναι βολικό στη χρήση κατά την επίλυση αυτού του συστήματος. Για να γίνει αυτό, πρέπει πρώτα να βρείτε το διανυσματικό γινόμενο των κανονικών αυτών των επιπέδων. Το αποτέλεσμα αυτής της πράξης θα είναι ένα διάνυσμα κατεύθυνσης μιας ευθείας γραμμής. Στη συνέχεια, θα πρέπει να υπολογιστεί οποιοδήποτε σημείο που ανήκει στη γραμμή. Για να το κάνετε αυτό, πρέπει να ορίσετε οποιαδήποτε από τις μεταβλητές ίση με μια συγκεκριμένη τιμή, οι δύο υπόλοιπες μεταβλητές μπορούν να βρεθούν λύνοντας το μειωμένο σύστημα.

Πώς να μεταφράσετε μια διανυσματική εξίσωση σε γενική; Αποχρώσεις

Αυτό είναι ένα πραγματικό πρόβλημα που μπορεί να προκύψει εάν χρειαστεί να γράψετε τη γενική εξίσωση μιας ευθείας χρησιμοποιώντας τις γνωστές συντεταγμένες δύο σημείων. Ας δείξουμε πώς επιλύεται αυτό το πρόβλημα με ένα παράδειγμα. Αφήστε τις συντεταγμένες δύο σημείων να είναι γνωστές:

• P=(x₁, y_1);
• Q=(x₂, y_2).

Η εξίσωση σε διανυσματική μορφή είναι αρκετά εύκολο να συντεθεί. Οι συντεταγμένες του διανύσματος κατεύθυνσης είναι:

PQ=(x₂-x₁, y₂-y _1).

Σημειώστε ότι δεν υπάρχει διαφορά αν αφαιρέσουμε τις συντεταγμένες Q από τις συντεταγμένες του σημείου P, το διάνυσμα θα αλλάξει μόνο την κατεύθυνση προς το αντίθετο. Τώρα πρέπει να πάρετε οποιοδήποτε σημείο και να γράψετε τη διανυσματική εξίσωση:

(x, y)=(x₁, y₁) + λ(x_{2 -x}1_{, y}2_-y1_).

Για να γράψετε τη γενική εξίσωση μιας ευθείας γραμμής, η παράμετρος λ πρέπει να εκφραστεί και στις δύο περιπτώσεις. Και μετά συγκρίνετε τα αποτελέσματα. Έχουμε:

x=x₁ + λ(x₂-x₁)=> λ=(x-x₁)/(x₂-x_1);

y=y₁ + λ(y₂-y₁)=> λ=(y-y₁)/(y₂-y_1)=>

(x-x₁)/(x₂-x₁)=(ε-ε 1_)/(y2_-y1_).

Μένει μόνο να ανοίξουμε τις αγκύλες και να μεταφέρουμε όλους τους όρους της εξίσωσης στη μία πλευρά της εξίσωσης προκειμένου να ληφθεί μια γενική έκφραση για μια ευθεία που διέρχεται από δύο γνωστά σημεία.

Στην περίπτωση ενός τρισδιάστατου προβλήματος, ο αλγόριθμος λύσης διατηρείται, μόνο το αποτέλεσμά του θα είναι ένα σύστημα δύο εξισώσεων για επίπεδα.

Εργασία

Είναι απαραίτητο να κάνετε μια γενική εξίσωσημια ευθεία γραμμή που τέμνει τον άξονα x στο (-3, 0) και είναι παράλληλη προς τον άξονα y.

Ας αρχίσουμε να λύνουμε το πρόβλημα γράφοντας την εξίσωση σε διανυσματική μορφή. Εφόσον η ευθεία είναι παράλληλη προς τον άξονα y, τότε το κατευθυντικό διάνυσμα για αυτήν θα είναι το εξής:

u¯=(0, 1).

Στη συνέχεια η επιθυμητή γραμμή θα γραφτεί ως εξής:

(x, y)=(-3, 0) + λ(0, 1).

Τώρα ας μεταφράσουμε αυτήν την έκφραση σε μια γενική μορφή, για αυτό εκφράζουμε την παράμετρο λ:

• x=-3;
• y=λ.

Έτσι, οποιαδήποτε τιμή της μεταβλητής y ανήκει στη γραμμή, ωστόσο, μόνο η μοναδική τιμή της μεταβλητής x αντιστοιχεί σε αυτήν. Επομένως, η γενική εξίσωση θα έχει τη μορφή:

x + 3=0.

Πρόβλημα με ευθεία γραμμή στο διάστημα

Είναι γνωστό ότι δύο τεμνόμενα επίπεδα δίνονται από τις ακόλουθες εξισώσεις:

• 2x + y - z=0;
• x - 2y + 3=0.

Είναι απαραίτητο να βρεθεί η διανυσματική εξίσωση της ευθείας κατά την οποία τέμνονται αυτά τα επίπεδα. Ας ξεκινήσουμε.

Όπως ειπώθηκε, η γενική εξίσωση μιας ευθείας γραμμής στον τρισδιάστατο χώρο δίνεται ήδη με τη μορφή ενός συστήματος δύο με τρεις αγνώστους. Πρώτα απ 'όλα, προσδιορίζουμε το διάνυσμα κατεύθυνσης κατά μήκος του οποίου τέμνονται τα επίπεδα. Πολλαπλασιάζοντας τις διανυσματικές συντεταγμένες των κανονικών στα επίπεδα, παίρνουμε:

u¯=[(2, 1, -1)(1, -2, 0)]=(-2, -1, -5).

Δεδομένου ότι ο πολλαπλασιασμός ενός διανύσματος με έναν αρνητικό αριθμό αντιστρέφει την κατεύθυνσή του, μπορούμε να γράψουμε:

u¯=-1(-2, -1, -5)=(2, 1, 5).

Προςγια να βρούμε μια διανυσματική έκφραση για μια ευθεία γραμμή, εκτός από το διάνυσμα κατεύθυνσης, θα πρέπει να γνωρίζουμε κάποιο σημείο αυτής της ευθείας. Βρείτε αφού οι συντεταγμένες του πρέπει να ικανοποιούν το σύστημα εξισώσεων στην συνθήκη του προβλήματος, τότε θα τις βρούμε. Για παράδειγμα, ας βάλουμε x=0, τότε παίρνουμε:

y=z;

y=3/2=1, 5.

Έτσι, το σημείο που ανήκει στην επιθυμητή ευθεία έχει τις συντεταγμένες:

P=(0, 1, 5, 1, 5).

Στη συνέχεια παίρνουμε την απάντηση σε αυτό το πρόβλημα, η διανυσματική εξίσωση της επιθυμητής γραμμής θα μοιάζει με:

(x, y, z)=(0, 1, 5, 1, 5) + λ(2, 1, 5).

Η ορθότητα της λύσης μπορεί εύκολα να ελεγχθεί. Για να γίνει αυτό, πρέπει να επιλέξετε μια αυθαίρετη τιμή της παραμέτρου λ και να αντικαταστήσετε τις ληφθείσες συντεταγμένες του σημείου της ευθείας γραμμής και στις δύο εξισώσεις για τα επίπεδα, θα λάβετε μια ταυτότητα και στις δύο περιπτώσεις.