Το θέμα "Πολλαπλοί αριθμοί" μελετάται στην Ε' τάξη ενός ολοκληρωμένου σχολείου. Στόχος του είναι να βελτιώσει τις γραπτές και προφορικές δεξιότητες των μαθηματικών υπολογισμών. Σε αυτό το μάθημα εισάγονται νέες έννοιες - «πολλαπλοί αριθμοί» και «διαιρέτες», η τεχνική εύρεσης διαιρετών και πολλαπλασίων ενός φυσικού αριθμού, η ικανότητα εύρεσης LCM με διάφορους τρόπους.
Αυτό το θέμα είναι πολύ σημαντικό. Οι γνώσεις σχετικά με αυτό μπορούν να εφαρμοστούν κατά την επίλυση παραδειγμάτων με κλάσματα. Για να το κάνετε αυτό, πρέπει να βρείτε τον κοινό παρονομαστή υπολογίζοντας το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο (LCM).
Ένα πολλαπλάσιο του Α είναι ένας ακέραιος που διαιρείται με το Α χωρίς υπόλοιπο.
18:2=9
Κάθε φυσικός αριθμός έχει έναν άπειρο αριθμό πολλαπλασίων του. Θεωρείται ότι είναι το λιγότερο. Ένα πολλαπλάσιο δεν μπορεί να είναι μικρότερο από τον ίδιο τον αριθμό.
Εργασία
Πρέπει να αποδείξετε ότι ο αριθμός 125 είναι πολλαπλάσιο του αριθμού 5. Για να το κάνετε αυτό, πρέπει να διαιρέσετε τον πρώτο αριθμό με τον δεύτερο. Αν το 125 διαιρείται με το 5 χωρίς υπόλοιπο, τότε η απάντηση είναι ναι.
Όλοι οι φυσικοί αριθμοί μπορούν να διαιρεθούν με το 1. Ένα πολλαπλάσιο είναι διαιρέτης του εαυτού του.
Όπως γνωρίζουμε, όταν οι αριθμοί διαίρεσης ονομάζονται "μέρισμα", "διαιρέτης", "πηλίκο".
27:9=3, όπου 27 είναι το μέρισμα, 9 είναι ο διαιρέτης, 3 είναι το πηλίκο.
Οι αριθμοί που είναι πολλαπλάσιοι του 2 είναι αυτοί που, όταν διαιρούνται με δύο, δεν σχηματίζουν υπόλοιπο. Αυτοί περιλαμβάνουν όλους τους ζυγούς αριθμούς.
Οι αριθμοί που είναι πολλαπλάσιοι του 3 είναι αυτοί που διαιρούνται με το 3 χωρίς υπόλοιπο (3, 6, 9, 12, 15…).
Για παράδειγμα, 72. Αυτός ο αριθμός είναι πολλαπλάσιο του 3, γιατί διαιρείται με το 3 χωρίς υπόλοιπο (όπως γνωρίζετε, ένας αριθμός διαιρείται με το 3 χωρίς υπόλοιπο αν το άθροισμα των ψηφίων του διαιρείται με 3)
άθροισμα 7+2=9; 9:3=3.
Είναι το 11 πολλαπλάσιο του 4;
11:4=2 (υπόλοιπο 3)
Απάντηση: όχι, καθώς υπάρχει υπόλοιπο.
Ένα κοινό πολλαπλάσιο δύο ή περισσότερων ακεραίων είναι εκείνο που διαιρείται ομοιόμορφα με αυτούς τους αριθμούς.
K(8)=8, 16, 24…
K(6)=6, 12, 18, 24…
K(6, 8)=24
Το LCM (ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο) βρίσκεται με τον ακόλουθο τρόπο.
Για κάθε αριθμό, πρέπει να γράψετε ξεχωριστά πολλούς αριθμούς σε μια γραμμή - μέχρι να βρείτε τον ίδιο.
NOK (5, 6)=30.
Αυτή η μέθοδος ισχύει για μικρούς αριθμούς.
Υπάρχουν ειδικές περιπτώσεις στον υπολογισμό του LCM.
1. Εάν πρέπει να βρείτε ένα κοινό πολλαπλάσιο για 2 αριθμούς (για παράδειγμα, 80 και 20), όπου ο ένας από αυτούς (80) διαιρείται με τον άλλο (20) χωρίς υπόλοιπο, τότε αυτός ο αριθμός (80) είναι το μικρότερο πολλαπλάσιο του αυτοί οι δύο αριθμοί.
NOK (80, 20)=80.
2. Εάν δύο πρώτοι αριθμοί δεν έχουν κοινό διαιρέτη, τότε μπορούμε να πούμε ότι το LCM τους είναι το γινόμενο αυτών των δύο αριθμών.
NOK (6, 7)=42.
Ας εξετάσουμε το τελευταίο παράδειγμα. Το 6 και το 7 σε σχέση με το 42 είναι διαιρέτες. Μοιράζονταιπολλαπλάσιο χωρίς υπόλοιπο.
42:7=6
42:6=7
Σε αυτό το παράδειγμα, το 6 και το 7 είναι διαιρέτες ζεύγους. Το γινόμενο τους είναι ίσο με τον πιο πολλαπλό αριθμό (42).
6х7=42
Ένας αριθμός ονομάζεται πρώτος εάν διαιρείται μόνο με τον εαυτό του ή με το 1 (3:1=3, 3:3=1). Τα υπόλοιπα ονομάζονται σύνθετα.
Σε ένα άλλο παράδειγμα, πρέπει να προσδιορίσετε εάν το 9 είναι διαιρέτης σε σχέση με το 42.
42:9=4 (απομένουν 6)
Απάντηση: Το 9 δεν είναι διαιρέτης του 42 γιατί η απάντηση έχει υπόλοιπο.
Ένας διαιρέτης διαφέρει από ένα πολλαπλάσιο στο ότι ο διαιρέτης είναι ο αριθμός με τον οποίο διαιρούνται οι φυσικοί αριθμοί και το ίδιο το πολλαπλάσιο διαιρείται με αυτόν τον αριθμό.
Ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης των αριθμών a και b, πολλαπλασιαζόμενος με το ελάχιστο πολλαπλάσιό τους, θα δώσει το γινόμενο των ίδιων των αριθμών a και b.
Δηλαδή: GCD (a, b) x LCM (a, b)=a x b.
Κοινά πολλαπλάσια για πιο μιγαδικούς αριθμούς βρίσκονται με τον ακόλουθο τρόπο.
Για παράδειγμα, βρείτε το LCM για 168, 180, 3024.
Αυτοί οι αριθμοί διασπώνται σε πρώτους παράγοντες, γραμμένους ως γινόμενο δυνάμεων:
168=2³x3¹x7¹
180=2²x3²x5¹
3024=2⁴x3³x7¹
Στη συνέχεια, γράφουμε όλες τις παρουσιαζόμενες βάσεις μοιρών με τους μεγαλύτερους εκθέτες και τους πολλαπλασιάζουμε:
2⁴x3³x5¹x7¹=15120
NOK (168, 180, 3024)=15120.
