Ορισμός κυλίνδρου. Φόρμουλα για όγκο. Επίλυση του προβλήματος με ορειχάλκινο κύλινδρο

2024 Συγγραφέας: Angel Austin | [email protected]. Τελευταία τροποποίηση: 2023-12-17 05:22

Η χωρική γεωμετρία, το μάθημα της οποίας μελετάται στις τάξεις 10-11 του σχολείου, εξετάζει τις ιδιότητες των τρισδιάστατων μορφών. Το άρθρο δίνει έναν γεωμετρικό ορισμό του κυλίνδρου, παρέχει έναν τύπο για τον υπολογισμό του όγκου του και επίσης λύνει ένα φυσικό πρόβλημα όπου είναι σημαντικό να γνωρίζουμε αυτόν τον όγκο.

Τι είναι ένας κύλινδρος;

Από την άποψη της στερεομετρίας, ο ορισμός ενός κυλίνδρου μπορεί να δοθεί ως εξής: είναι ένα σχήμα που σχηματίζεται ως αποτέλεσμα παράλληλης μετατόπισης ενός ευθύγραμμου τμήματος κατά μήκος μιας ορισμένης επίπεδης κλειστής καμπύλης. Το ονομαζόμενο τμήμα δεν πρέπει να ανήκει στο ίδιο επίπεδο με την καμπύλη. Εάν η καμπύλη είναι κύκλος και το τμήμα είναι κάθετο σε αυτό, τότε ο κύλινδρος που σχηματίζεται με τον τρόπο που περιγράφηκε ονομάζεται ευθύς και στρογγυλός. Φαίνεται στην παρακάτω εικόνα.

Δεν είναι δύσκολο να μαντέψει κανείς ότι αυτό το σχήμα μπορεί να ληφθεί περιστρέφοντας ένα ορθογώνιο γύρω από οποιαδήποτε πλευρά του.

Ο κύλινδρος έχει δύο ίδιες βάσεις, οι οποίες είναι κύκλοι και μια πλευράκυλινδρική επιφάνεια. Ο κύκλος της βάσης ονομάζεται κατευθυντήριος άξονας και το κάθετο τμήμα που συνδέει τους κύκλους διαφορετικών βάσεων είναι η γεννήτρια του σχήματος.

Πώς να βρείτε τον όγκο ενός στρογγυλού ευθύγραμμου κυλίνδρου;

Έχοντας εξοικειωθεί με τον ορισμό του κυλίνδρου, ας εξετάσουμε ποιες παραμέτρους πρέπει να γνωρίζετε για να περιγράψετε μαθηματικά τα χαρακτηριστικά του.

Η απόσταση μεταξύ των δύο βάσεων είναι το ύψος του σχήματος. Είναι προφανές ότι είναι ίσο με το μήκος του generatoratrix. Το ύψος θα το συμβολίσουμε με το λατινικό γράμμα h. Η ακτίνα του κύκλου στη βάση συμβολίζεται με το γράμμα r. Ονομάζεται επίσης ακτίνα του κυλίνδρου. Οι δύο παράμετροι που εισάγονται είναι αρκετές για να περιγράψουν με σαφήνεια όλες τις ιδιότητες του εν λόγω σχήματος.

Δεδομένου του γεωμετρικού ορισμού ενός κυλίνδρου, ο όγκος του μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον ακόλουθο τύπο:

V=Sh

Εδώ S είναι το εμβαδόν της βάσης. Σημειώστε ότι για οποιονδήποτε κύλινδρο και για οποιοδήποτε πρίσμα, ισχύει ο γραπτός τύπος. Ωστόσο, για έναν στρογγυλό ευθύ κύλινδρο, είναι αρκετά βολικό να το χρησιμοποιήσετε, καθώς το ύψος είναι μια γενετική διάταξη και η περιοχή S της βάσης μπορεί να προσδιοριστεί θυμόμαστε τον τύπο για την περιοχή ενός κύκλου:

S=pir²

Έτσι, ο τύπος εργασίας για τον όγκο V του εν λόγω σχήματος θα γραφεί ως:

V=pir²h

δύναμη άνωσης

Κάθε μαθητής γνωρίζει ότι αν ένα αντικείμενο βυθιστεί στο νερό, τότε το βάρος του θα μειωθεί. Ο λόγος για αυτό το γεγονόςείναι η εμφάνιση μιας άνωσης, ή Αρχιμήδειας δύναμης. Δρα σε οποιοδήποτε σώμα, ανεξάρτητα από το σχήμα και το υλικό από το οποίο είναι κατασκευασμένα. Η δύναμη του Αρχιμήδη μπορεί να προσδιοριστεί από τον τύπο:

F_A=ρ_lgV_l

Εδώ ρ_l και V_l είναι η πυκνότητα του υγρού και ο όγκος του που μετατοπίζεται από το σώμα. Είναι σημαντικό να μην συγχέετε αυτόν τον όγκο με τον όγκο του σώματος. Θα ταιριάζουν μόνο εάν το σώμα είναι πλήρως βυθισμένο στο υγρό. Για οποιαδήποτε μερική βύθιση, το V_l είναι πάντα μικρότερο από το V του σώματος.

Η άνωση F_A ονομάζεται επειδή κατευθύνεται κατακόρυφα προς τα πάνω, δηλαδή είναι αντίθετη στην κατεύθυνση της βαρύτητας. Οι διαφορετικές κατευθύνσεις των διανυσμάτων δύναμης οδηγούν στο γεγονός ότι το βάρος του σώματος σε οποιοδήποτε υγρό είναι μικρότερο από τον αέρα. Για να είμαστε δίκαιοι, σημειώνουμε ότι στον αέρα, όλα τα σώματα επηρεάζονται επίσης από μια άνωση, ωστόσο, είναι αμελητέα σε σύγκριση με την δύναμη του Αρχιμήδειου στο νερό (800 φορές λιγότερο).

Η διαφορά στο βάρος των σωμάτων σε υγρό και αέρα χρησιμοποιείται για τον προσδιορισμό της πυκνότητας στερεών και υγρών ουσιών. Αυτή η μέθοδος ονομάζεται υδροστατική ζύγιση. Σύμφωνα με το μύθο, χρησιμοποιήθηκε για πρώτη φορά από τον Αρχιμήδη για να καθορίσει την πυκνότητα του μετάλλου από το οποίο κατασκευάστηκε η κορώνα.

Χρησιμοποιήστε τον παραπάνω τύπο για να προσδιορίσετε τη δύναμη άνωσης που ασκείται σε έναν ορειχάλκινο κύλινδρο.

Το πρόβλημα του υπολογισμού της δύναμης του Αρχιμήδη που ενεργεί σε έναν ορειχάλκινο κύλινδρο

Είναι γνωστό ότι ένας ορειχάλκινος κύλινδρος έχει ύψος 20 cm και διάμετρο 10 cm. Ποια θα είναι η δύναμη του Αρχιμήδειου,το οποίο θα αρχίσει να ενεργεί πάνω του εάν ο κύλινδρος ριχτεί σε απεσταγμένο νερό.

Για να προσδιορίσετε τη δύναμη άνωσης σε έναν ορειχάλκινο κύλινδρο, πρώτα απ 'όλα, κοιτάξτε την πυκνότητα του ορείχαλκου στον πίνακα. Είναι ίσο με 8600 kg/m³ (αυτή είναι η μέση τιμή της πυκνότητάς του). Επειδή αυτή η τιμή είναι μεγαλύτερη από την πυκνότητα του νερού (1000 kg/m³), το αντικείμενο θα βυθιστεί.

Για να προσδιορίσετε τη δύναμη του Αρχιμήδη, αρκεί να βρείτε τον όγκο του κυλίνδρου και στη συνέχεια να χρησιμοποιήσετε τον παραπάνω τύπο για το F_A. Έχουμε:

V=pir²h=3, 145²20=1570 cm ³

Έχουμε αντικαταστήσει την τιμή ακτίνας 5 cm στον τύπο, καθώς είναι δύο φορές μικρότερη από τη δεδομένη στην συνθήκη του προβλήματος διαμέτρου.

Για τη δύναμη άνωσης παίρνουμε:

F_A=ρ_lgV=10009, 81157010^-6 =15, 4 H

Εδώ μετατρέψαμε τον τόμο V σε m³.

Έτσι, μια ανοδική δύναμη 15,4 N θα δράσει σε έναν ορειχάλκινο κύλινδρο γνωστών διαστάσεων, βυθισμένο στο νερό.